數學分析與復變函數課程教學內容的類比分析

張節松

(淮北師范大學數學科學學院，安徽淮北235000)

數學分析和復變函數是數學專業的兩門重要基礎課，前者建立在實數域上，后者以復數為自變量討論問題。由于實數為復數的特殊子集，這兩門課程在教學內容上存在諸多類似之處。鑒于復變函數為數學分析的后續課程，恰當地將二者進行類比不僅能幫助學生理解，還可以激發他們的學習熱情，啟發他們的科研意識。例如，在教學實踐中曾有學生問道:在數學分析中，講完單變量微積分，還講授了多變量微積分，為什么在復變函數課程中沒有多變量函數的理論呢?這是根據兩課程聯系而提出的一個自然問題，然而回答起來卻并不容易。實際上，多復變分析已成為當代數學研究的一個主流方向[1]。恰當地應用數學分析知識幫助解決一些復分析問題，也可以使學生溫故知新，培養他們運用已學知識解析問題的能力。

需要說明的是，只有部分數學分析的結論在復變函數中得以保持，有些卻有所差異，甚至截然不同。因此，在復變函數的課程教學中探究哪些可以保持、哪些不再成立、有什么內在的本質原因等問題，顯得尤為重要，也是學生學習和運用復變函數知識時需要特別注意的。另外，對于那些不再成立的結論，是否存在復數域內的相應形式，如果存在又是什么?這些問題同樣值得探討。

出于上述考慮，本文首先將數學分析與復變函數這兩門課程的相關教學內容進行類比，分別指出在復變函數中得以保持和不能照搬的結論并給予討論，對部分在復數域內不再成立的結論指出了相應研究成果。并結合數學分析知識證明復變函數的一些結論，進一步明晰這兩門課程的聯系。

1 教學內容的類比

1.1 數與函數

與實數域的情形相同，復數滿足運算的一般定律，加法遵守交換律與結合律，乘法遵守交換律與結合律且遵守乘法對加法的分配律。根據解析函數的惟一性定理這一內在原因，一切代數恒等式在復數域內仍然成立，如a2－b2=(a+b)(a－b)。對數函數的基本性質也是成立的，如ln(z1z2)=lnz1+lnz2，ln(z1/z2)=lnz1－lnz2等。關于復指數函數ez，就實數z=x來說，復指數函數ez的定義與實指數一致，ez在復平面上也是可微且滿足加法定理的，即(ez)'=ez，ez1+z2=ez1ez2。類似地，正弦函數sinz和余弦函數cosz對于z為實數來說，一致于數學分析情形，在z平面上可微且(sinz)'=cosz，(cosz)'=－sinz。同樣，sinz是奇函數，cosz是偶函數，并遵從通常的三角恒等式，如sin2z+cos2z=1，sin(z1+z1)=sinz1cosz2+cosz1sinz2;它們都是以2π為周期的周期函數;sinz的零點還是z=nπ，cosz的零點還為z=(n+1/2)π。此外，完備性定理(如波爾查諾(Bolzano)－魏爾斯特拉斯定理、閉集套定理、海涅－波萊爾(Heine－Borel)覆蓋定理也依然保持。

但是，與實數域內|sinx|≤1的情形不同，正余弦函數ez在復數域內均不再有界;復指數函數ez變成了以2πi為周期的周期函數;在數學分析中，指數函數ex與三角函數sinx、cosx沒有直接關聯，而在復變函數中，它們通過尤拉公式eiz=cosz+i sinz進行溝通;在實對數函數中，負數是沒有對數的，而復對數函數可以對任何一個非零復數定義，并且正實數的復對數是無窮多值的;復變函數的極限的定義與單變元實變函數的極限概念盡管形式上一樣，但極限要求z要沿著任意方向趨向z0時的極限均相同。對比數學分析中一元實變函數f(x)的極限，指在實軸上x只沿x0左右兩個方向，復變函數極限存在的要求顯然苛刻得多，這也是復變函數與數學分析的根本性區別。可微且不恒為零的實變函數，其零點不一定孤立，可微且不恒為零的解析函數，其零點則必然孤立;有界閉區域上的實連續函數，其最大值不一定在邊界上取得，而復變函數中存在最大模定理，有界閉區域上非常數的解析函數一定在邊界上達到最大值。

1.2 函數的導數與中值定理

數學分析中函數求導包括復合函數求導的法則在復變函數中仍然保持，洛必達(L’Hospital)法則也是成立的。關于復變函數中洛必達法則的詳細討論可參見文獻[2－3]。不過，數學分析的主要研究對象為連續函數，復變函數則主要研究解析函數。解析是較連續強得多的條件，也具有更多的良好性質，如無窮可微性、冪級數展開等。這些對于連續函數而言是絕不可能的，因為其導函數不一定存在;在數學分析中，處處連續而處處不可微的函數很難得到，需要復雜的構造，而在復函數中幾乎隨手可得。

由文獻[4]可知，數學分析的微分中值定理不能直接推廣到復平面，關于其內在原因的探討可參見文獻[5]。那么在復數域內，是否存在相應形式的中值定理?文獻[6]研究了這一問題，遺憾的是其立論基礎(定理1)并不成立[7]。文獻[8]進一步討論了該問題，得到了復函數的一個一般性微分中值公式。

1.3 積分

從定義上看，實、復積分都是分割、取近似值、求和取極限的思路，復變函數積分保持著黎曼積分的大部分基本性質，如線性性、分段積分不變性、積分與路徑的無關性、絕對值不等式、連續必可積，可積必有界等。重要的牛頓－萊布尼茨公式也相應成立(需在單連通區域內且解析)。復積分建立在復平面上，實為沿曲線積分，相當于兩個二元實函數的線積分，格林公式搭建了沿閉曲線積分與二重積分的聯系。

在計算方法上，解析函數積分的計算更加靈活多樣，數學分析中的積分中值定理不能直接推廣到復積分上來，如

關于復變函數和數學分析主要內容的類比以及類比教學法在復變函數教學中應用的討論還可參見文獻[5，9 －10]。

2 數學分析在復變函數課程教學中的應用

2.1 一個注記的證明

在復變函數的經典教材[4](第111頁)有一個注記但未予證明，即“設E、F是平面上兩個點集，ρ(E，F)=是點集E與F的距離。若E，F是兩不相交的閉集，且E有界，則有ρ(E，F)＞0”。下面應用數學分析的知識給予證明。

根據下確界的定義，存在點列{ξn}?E與{ηn}?F，使

由于E有界，所以{ξn}有界。由波爾查諾(Bolzano)－魏爾斯特拉斯定理，存在子列{ξnk}收斂于z1，且因E為閉集，z1∈E。此時易見{ηnk}也有界，因而它有子列{ηnkj}收斂于一點z2∈F，對應的子列{ξnkj}仍是收斂于 z1的。于是

因 E∩F=?，故 z1≠z2，所以 ρ(E，F)＞0。

2.2 柯西積分定理的證明

柯西積分定理被認為是研究復變函數的一把鑰匙，此定理由柯西于1825年提出，黎曼首先在添加條件“f'(z)在D內連續”的前提下給予了證明，古爾薩(Goursat)不添加任何條件給出了定理的完全證明。文獻[4]采用了古爾薩證明，但其過程較為繁瑣，不便于在教學實踐中講授。文獻[11]利用調和分析的方法給出了一個新的證明，其中還用到了控制收斂定理等實分析的高級工具。若采用該證法，則知識點可能超綱。為此，文獻[12]利用數學分析的知識構造了一個簡單的恒同逼近函數。由此應用逼近思想，成功地用滿足柯西－黎曼條件的連續可微的函數逼近一般的可微函數，給出了柯西積分定理的一個初等證明，方便了復變函數論中這一關鍵性定理證明的教學。

2.3 亞純函數在周線C內至多只有有限個內部零點和極點的證明

設(1)C是一條周線，f(z)在C的內部是亞純的，且連續到C;(2)f(z)沿C不為零，則(試證)函數f(z)在C的內部至多只有有限個零點和極點。

對于該問題，文獻[13]給出了分析。從嚴格意義上還需證明D1為區域。為避免這一問題，下面結合數學分析知識，給出新證法。

(反證)假設f(z)在C內有無限多個極點，根據聚點定理知，存在極點列{zn，n≥1}使zn→z∈C0+C，下證a也是f(z)的極點。若不然，由題設條件知f(z)在a點連續，因此ε=1對，必存在σ1＞0，使得只要|z－a|＜σ1，就有|f(z)－f(a)|＜1。

根據zn→a知，對σ1＞0，存在N使得當n＞N 時，有|zn－a|＜σ1，特別地，|zN+1－a|＜σ1。由于 zN+1∈⊙(a，σ1)，所以存在 σ2＞0，使得圓⊙(zn+1，σ2)?⊙(a，σ1)。又由 zN+1為極點，所以對 M=|f(a)|+2，存在σ3＞0，使得只要0＜ |z－zN+1|＜σ3，就有|f(z)|＞M=|f(a)|+2。

于是，當0＜ |z－zN+1|＜min(σ2，σ3)時，有|z－a|＜σ1，|f(z)|＞ |f(a)|+2且|f(z)－f(a)|＜1。由此推出|f(a)|=|f(a)－f(z)+f(z)|≥|f(z)|－|f(z)－f(a)|＞|f(a)|+2－1=|f(a)|+1。

則產生矛盾。可見，當極點無限多時，所求得的極限點a亦為極點，鑒于zn→a，顯然不可能為孤立奇點，即極點a非孤立。

因為f(z)連續到C，所以a必然屬于C的內部C0，注意到a為函數1/f(z)的零點，而a非孤立，其任意鄰域內還存在函數1/f(z)的其它零點，這與解析函數零點的孤立性矛盾。可見函數f(z)的極點不可能無限多，于是結論得證。

實際上，利用數學分析證明復分析結論的例子還很多，如函數解析的充要條件[12]等。另外，利用復分析知識同樣可解決數學分析的相關問題，如冪級數理論的本質描述、利用留數定理計算實積分等。這很好地詮釋了數學的奧秘在于它們相通而不是孤立的存在。

3 結語

在復變函數的課程教學中，常常能感受到其與數學分析課程有著諸多近似，但差異之處同樣不時出現，因此需要謹慎對待。本文類比了這兩門課程主要教學內容的內在聯系與區別，為復變函數課程的教學提供參考，有利于學生增強聯想、猜想以及探索的意識。同時，這也啟示我們在復變函數的教學實踐中對可移植的內容適當復習并說明一致性即可;對差異之處要特別強調，以避免學生想當然地照搬數學分析的知識點，出現理解錯誤、應用不當的情況。另外，還應將數學分析的相關知識點引入復分析若干結論的證明中，以促進新舊知識銜接，幫助學生融會貫通不同學科的知識，培養自如運用所學知識創新的意識和能力。

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