“數學建模”在物理學習中的運用

■周耀才

周耀才，天津市瑞景中學校長辦公室主任，中學高級教師。獲得天津市優秀教師、教改積極分子等榮譽稱號。先后主持或參與市級以上科研課題研究8項，獲獎、公開發表論文20篇。

一、問題的提出

高中學生普遍反映，物理教學內容課上能聽懂，但題不會做，遇到問題，不知從何處入手解決。學生缺少的是研究物理問題的思維方法，而方法是隱性的，它的形成需要一個較長的時間，物理教學的目的就是幫助學生建構解決物理問題的方法。

為此，我認真分析了高中物理難學的原因。

一是學生思維離不開具體經驗。學生由初中升入高中，從認知角度看，開始由具體運算階段進入形式運算階段，開始從具體事物中解脫出來，能在頭腦中將形式和內容區分開來，能初步運用語詞或符號進行邏輯思維，抽象思維能力有所發展。但是，思維還常常與具體事物相聯系，離不開具體經驗，缺乏概括能力，抽象推理能力尚未很好地發展。

二是數學知識的編排跟不上物理內容的學習進度。進入高中后，很快學習矢量概念，數學上向量的概念在必修四才講述，學生理解矢量的概念很困難；高一物理用V-t圖求加速度，卻無法直接用直線的斜率來描述加速度，因為數學直線方程的斜率放在高二上學期才講述……數學知識的編排落后于物理學習的節奏，使學生理解物理概念不到位，較快接受比值定義法、極限法、微元法處理物理問題很困難。

三是數學運算能力達不到物理學習的要求。進入高中后，物理學習中量化計算陡然增多，而學生的數學應用能力往往較差，不能很好地推理、分析和綜合。有時，即使學生對題目考查的物理知識點非常了解，但由于學生數學知識運用水平低，不能很好地使用題目給出的已知條件找到各個量之間的函數關系，快速地解決問題，導致物理學習很困難。

二、理論依據

斯皮羅認為，建構有兩方面的含義：一是對新信息的理解是通過運用已有經驗，超越所提供的信息而建構成的。二是從記憶系統中提取的信息本身，也要按具體情況進行建構，而不單是提取。學習者主動創造意義而不是獲得意義，而教學的作用是向學習者展示如何建構知識，促進互相合作，分享交流不同認識。幫助學生建構意義就是要幫助學生對學習內容所反映的事物的性質、規律以及該事物與其他事物之間的內在聯系達到較深刻的理解。

在此理念的基礎上，我們簡化并歸納出同類問題的研究模式，提煉出“數學建模”解決物理問題的思想方法，歸納出“建模法解決物理問題”的若干環節，使同類問題的思維程序化，從而有目的地培養和提高學生運用“數學建模法”解決物理問題的能力。

三、創新過程與方法——跨學科建構知識、解決問題、形成能力

1.指導學生正確認識數學知識與物理學習之間的聯系，強調數學為“物理學習的語言和工具”。

上課伊始，我從初中物理測距談起。測量較近、較小的物體間距我們常常用刻度尺，要測更大更遠的距離需要用數學方法。如，測高大建筑物的高度，可以根據太陽光照射留下的影子，利用相似三角形對應邊成比例求得。我告訴學生，物理學研究的是物質最普遍、最基本的運動形式及其相互轉化規律，自然界各種物質的運動，在量上都是守恒的，在質上也是守恒的，于是才有了能量守恒定律，它的最簡潔的描述就是用數學等式表達的；通過數學運算與邏輯推理再返回物理世界，才能解決大量的物理問題。

我再進一步告訴學生，數學為考察物理對象提供簡潔精確的形式化語言，提供數學分析和數值計算的方法，提供嚴密推理和邏輯證明的工具和抽象思維的能力，讓學生認識到數學知識對物理學習的重要性，引起學生對數學知識學習的高度重視。

2.跨學科建構模型解決物理問題。

（1）積極開展研究性學習。在講述新的物理概念前，把新章節中要用到的數學知識，指導學生從數學教材中找出來，弄明白這些知識點的數學意義，為建構數學模型做好鋪墊。在講述矢量及運算前，要求學生找到數學必修四課本，指導學生預習數學上的向量概念和運算法則；學習V-t圖、X-t圖前指導學生認識直線斜率的意義……在講述物理教學內容前，引導學生了解新章節中的數學知識，借助數學理解物理概念。

（2）啟發學生學會用數學語言表述物理概念，用數學方法構建物理規律。在物理教學過程中，對用到的數學知識，為學生做準確的示范和描述，啟發學生學會用數學語言表述物理概念，用數學方法構建物理規律。帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡與圓的知識緊密聯系。遇到這樣的問題，適時講解圓、弦、切線的幾何性質，為學生做準確的示范，通過加強數學基礎知識的教學為物理學習服務。

（3）選取典型例題、習題，指導學生嘗試利用“數學建模法”解決物理問題。如追及與相遇問題，用到一元二次不等式的解法，可以建立“一元二次方程模型”；也可以由V-t圖通過計算面積、建立“圖像模型”來判斷是否追上。通過典型問題，啟發學生的思維向縱深發展，依次是：提要素—挖本質—理關系—建模型。

（4）創設開放性實驗室，讓學生進行實地測量、分析，學會構建數學模型，體驗用建模法解決問題。實驗室內存有生物標本，如何推算生物死亡的年代？可以利用放射性衰變的規律來求得。只要測得死亡生物體每克碳的放射性活度，就可算出標本死亡的年代。利用放射性衰變的規律也可推算出落到地球上隕石的年齡，進而估算太陽系的年齡。

（5）利用活動課，讓學生逐步嘗試構建多種數學模型，利用建模法解決學習和生活中遇到的問題。在活動課上，要鼓勵學生交流和討論，利用建模法解決學習和生活中遇到的問題。把一個真空罐放于光滑水平面上，當其右側被刺破一個小孔時，罐子將做什么運動？對這個問題，若以真空罐和最終進入罐內的空氣組成的系統為研究對象，系統的合外力為零，遵守動量守恒定律，可通過構建“二體碰撞”模型來處理。若沒有“人船模型”的概念，很難思考此類問題。

四、創新成果

探索出解決物理問題的一個方法——“數學建模法”，歸納出用“數學建模法”解決物理問題的流程：“探究—數學建模—邏輯推理—物理解釋”。

構建數學模型，解決物理問題的關鍵在于：將物理問題數學化，在分析物理情景、理解物理問題要素的基礎上，通過列表、畫圖、建立直角坐標系等方式把物理問題轉化為數學問題，建立數學模型，把文字語言翻譯成數學語言，然后對得到的數學模型進行求解，得到數學解。

由于數學表達形式簡潔，內涵豐富，用較少的符號就能言簡意賅地說明問題，“數學建模法”在物理概念、規律的建立過程中被廣泛采用。

五、學生的變化

該方法充分利用數學思想為物理學習服務，引導學生結合數學思想，將物理圖景、本質相近的問題歸為一類，將它們的條件、過程進行合理的抽象、簡化并歸納出同類問題的研究模式，使同類問題的思維程序化。

通過“滲透—體驗—積累—內化”的過程，學生理解了建模法的“精髓”——“建模、識模、用模”，從而有效地培養和提高學生運用“數學建模法”解決物理問題的能力，我們看到了學生的可喜變化。

學生學習物理的興趣提高了，積極建構數學模型解決物理問題。隨著力、電、磁、光、原子等物理教學知識的深入，出現了不同的物理問題，學生構建了多種數學模型以解決物理問題，如，函數模型、三角模型、圖像模型、不等式模型、一元二次方程模型、圓與切線模型……思維得到發展，能力得到培養。學生養成了自己推導物理公式的習慣；對于新的數學知識，學生學會思考它在物理上的應用；當物理學習中涉及不理解的數學運算時，學生知道主動查閱數學知識的出處，熟悉數學知識；對于生活中的現象，學生知道了結合數學的觀點來思考和處理；知道借助數學知識理解物理概念；知道采用精確的數學分析結合實驗數據來研究物理問題；知道積累數學知識和數學方法為物理學習服務。

六、思考

教師為提高學生的物理能力和水平，在教學過程中應該有目的地培養和提高學生運用數學知識和方法解決物理問題的能力，不僅要講述用數學知識為物理學習服務的技巧，也要適時講述數學的精神、價值，數學對物理進步所起的作用，從而鼓勵學生從更高的境界認識數學思想、方法對物理學習的影響。

專家評介：

高中物理難學，存在著“數學知識在物理學習中的瓶頸問題”，這是一個物理教學中較為普遍的問題。針對這一問題，周耀才老師進行了研究和教學改進實踐，并提出了“數學建模法解決物理問題”的教學思想，該建模法的精義在于“建模·識模 用模”，即將物理圖景、本質相近的問題歸為一類，將它們的條件、過程進行合理的抽象、簡化并歸納出同類問題的研究模式，使同類問題的思維程序化。經過不斷的研究實踐，周老師總結提煉出了用該建模法解決物理問題的操作程序，即“探究—數學建模—邏輯推理—物理解釋”。

在物理教學中運用“數學建模”較好地解決了高中物理難學的問題。周老師充分利用數學思想和方法為物理教學服務，建構數學模型，在此基礎上生成新的知識。學生通過“滲透—體驗—積累—內化”，學會了從數學角度觀察、闡釋物理現象和分析問題，較好地實現了跨學科建構知識和解決問題，并掌握了良好的思維方法、形成了良好的思維習慣。（天津市教育科學研究院研究員胡振京）