自適應(yīng)CKF強跟蹤濾波器及其應(yīng)用

丁家琳，肖建，趙濤（.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 6003；.西南交通大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院，四川成都 6003）

自適應(yīng)CKF強跟蹤濾波器及其應(yīng)用

丁家琳1，肖建1，趙濤2
（1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 610031；2.西南交通大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院，四川成都 610031）

∶針對強跟蹤濾波器（STF）的理論局限以及基于UT變換的強跟蹤濾波器（UTSTF）處理高維非線性系統(tǒng)時濾波精確度下降甚至發(fā)散等問題，提出一種基于容積卡爾曼濾波（CKF）算法的強跟蹤濾波器（CKFSTF）。CKFSTF兼具了STF和CKF的優(yōu)點∶魯棒性強，濾波精度高，數(shù)值穩(wěn)定性好，計算速度快，容易實現(xiàn)且應(yīng)用范圍廣。此外，對于目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)過程噪聲統(tǒng)計特性未知的情況，在CKFSTF的基礎(chǔ)上應(yīng)用Sage-Husa噪聲估值器對噪聲統(tǒng)計特性進(jìn)行在線估計，形成自適應(yīng)CKFSTF。仿真結(jié)果驗證了新算法的有效性。

∶強跟蹤濾波器；容積卡爾曼濾波；自適應(yīng)性；目標(biāo)跟蹤

0 引言

由于實際應(yīng)用系統(tǒng)的復(fù)雜性與時變性，非線性系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)的估計一直受到廣泛的關(guān)注。為了能對系統(tǒng)實現(xiàn)精確的控制，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作并提出了許多經(jīng)典的非線性濾波算法。其中，擴(kuò)展卡爾曼濾波器（extendKalmanfilter，EKF）因其算法簡單、收斂速度快等優(yōu)點得到了廣泛的應(yīng)用。遺憾的是EKF關(guān)于模型不確定的魯棒性較差，此外，在系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時，EKF將喪失對突變狀態(tài)的跟蹤能力。為此，文獻(xiàn)［1］提出了一種帶次優(yōu)漸消因子的擴(kuò)展卡爾曼濾波器，即強跟蹤濾波器（strongtrackingfilter，STF）［2］，以避免由模型不確定而引起的魯棒性差、濾波發(fā)散等問題，并且對系統(tǒng)狀態(tài)的突變具有很強的跟蹤能力［3］。由于STF是在EKF的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)得到的，所以仍然存在一些自身無法克服的問題，如∶對于強非線性系統(tǒng)，線性化會產(chǎn)生較大的估計誤差，甚至使得濾波發(fā)散；要求非線性系統(tǒng)模型連續(xù)可微，且需要計算非線性模型的雅可比矩陣等。為此，文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］分別提出了基于Unscented變換和中心差分變換的強跟蹤濾波器。該方法通過對非線性高斯系統(tǒng)狀態(tài)的后驗均值和協(xié)方差進(jìn)行逼近，避免了雅可比矩陣的計算，且有效的提高了濾波精度。

但由于無跡卡爾曼濾波器（unscentedKalman filter，EKF）和中心差分濾波器（centraldifference Kalmanfilter，CDKF）的性能易受參數(shù)取值的影響，僅適用于解決低維（n＜3）的非線性濾波問題，在狀態(tài)維數(shù)較高時會出現(xiàn)濾波性能不佳甚至發(fā)散現(xiàn)象［6-8］。而基于UKF和CDKF的強跟蹤濾波器也因此存在相同的問題。為了克服上述缺點，Arasaratnam等人［6］基于球面徑向規(guī)則采用一組等權(quán)值的容積點來逼近系統(tǒng)狀態(tài)的后驗分布，提出了容積卡爾曼濾波（cubatureKalmanfilter，CKF）。由于CKF在濾波過程中其權(quán)值始終為正，從而保證了協(xié)方差的正定性，所以適用于解決從低維到高維的非線性濾波問題，具有更廣的應(yīng)用范圍。雖然UKF 與CKF有著相似的計算復(fù)雜度，由于UKF可看作二階EKF的特殊形式，經(jīng)過非線性傳遞后UT變換不能總保存一階和二階矩信息［9］，而CKF比UKF能更精確的保存一階和二階矩信息，所以CKF有著更高的濾波精確度和數(shù)值穩(wěn)定性［8，10］。由于這些顯著的優(yōu)點，近年來CKF也得到了廣泛的應(yīng)用［11］。考慮到在目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，量測噪聲的統(tǒng)計特性一般可以事先由傳感器的物理特性得到，而過程噪聲由于人為有意識的操作和外界干擾等，使它的統(tǒng)計特性往往是未知或時變的［12］，如果將不準(zhǔn)確的噪聲統(tǒng)計特性應(yīng)用到濾波過程中，可能會導(dǎo)致較大的估計誤差甚至濾波發(fā)散等。

為此，本文提出一種帶Sage-Husa噪聲統(tǒng)計估值器的CKF強跟蹤濾波器（CKFSTF）。該方法能兼具上述改進(jìn)強跟蹤濾波器的優(yōu)點，又能克服高維情況下存在濾波性能不佳甚至發(fā)散等現(xiàn)象，且具有更優(yōu)的計算速度和數(shù)值穩(wěn)定性，通過對未知噪聲統(tǒng)計特性的在線估計和修正，增強濾波器應(yīng)對噪聲統(tǒng)計特性變化的自適應(yīng)能力。

1 基于CKF的強跟蹤濾波器

1.1 強跟蹤濾波理論

考慮如下非線性離散動態(tài)系統(tǒng)

式中∶xk∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量；uk∈Rm是已知的控制輸人；zk∈Rp是系統(tǒng)的觀測向量；函數(shù)fk∶Rn× Rm→Rn和hk∶Rn×Rm→Rp分別為已知的非線性函數(shù)；vk∈Rn和wk∈Rp是帶時變均值和協(xié)方差且線性無關(guān)的高斯白噪聲。

式中，δkj為Kronecher-δ函數(shù)。初始狀態(tài)x0服從高斯分布N（x?0，P0），且與vk和wk互不相關(guān)。

為了增強濾波器關(guān)于系統(tǒng)模型不確定的魯棒性以及系統(tǒng)狀態(tài)突變的跟蹤能力，周東華等人在EKF的基礎(chǔ)上提出了強跟蹤濾波器的概念。基本思想是選擇一個適當(dāng)?shù)臅r變增益矩陣Kk+1，使得［1］

其中，εk+1=zk+1-z?k+1｜k。條件①為EKF的性能指標(biāo)，條件②要求不同時刻的殘差序列處處保持相互正交。但在實際系統(tǒng)中，由于模型的不確定使得濾波器的狀態(tài)估計值偏離真實值，從而造成輸出殘差序列不再正交。為了保持強跟蹤濾波器的優(yōu)良特性，在預(yù)測狀態(tài)誤差協(xié)方差陣中引人次優(yōu)漸消因子，通過在線調(diào)整增益陣，強迫殘差序列仍然保持相互正交，從而保證濾波器對實際系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤，算法的具體步驟為［1］

其中

表示未引人漸消因子的狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣。0＜ρ≤1為遺忘因子，一般取ρ=0.95［13］。β≥1為一個選定的弱化因子，加人弱化因子是目的是避免有可能造成的過調(diào)節(jié)，使得狀態(tài)估計值更加平滑，此數(shù)值可憑經(jīng)驗選定，這里我們?nèi)ˇ?4.5。

1.2 基于CKF的強跟蹤濾波理論

CKF與UKF、CDKF同屬確定采樣型濾波，至少能以二階泰勒精度逼近非線性高斯?fàn)顟B(tài)的后驗分布，所以估計精度均高于EKF且能有效克服EKF的理論局限。但UKF和CDKF受參數(shù)取值的影響使其僅適用于處理低維（n＜3）的非線性狀態(tài)估計問題，在高維情況下CKF的估計精度和數(shù)值穩(wěn)定性都優(yōu)于UKF［6-8］。另一方面，盡管UKF與CKF有著相似的計算復(fù)雜度，但在每次采樣過程中CKF都比UKF少一個采樣點，所以計算速度更快，實時性更好。因此考慮將CKF與強跟蹤濾波器結(jié)合，根據(jù)強跟蹤濾波器的思想，在CKF的狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差矩陣中引人時變漸消因子，得到CKF強跟蹤濾波器（CKFSTF）。具體分析如下∶

由標(biāo)準(zhǔn)CKF算法步驟有∶

1）初始化

2）預(yù)測更新

3）狀態(tài)更新

根據(jù)強跟蹤濾波器的思想，要避免由模型不確定而引起的魯棒性差、濾波發(fā)散等問題，并且對系統(tǒng)狀態(tài)的突變具有很強的跟蹤能力，應(yīng)對誤差協(xié)方差陣和相應(yīng)的增益矩陣進(jìn)行在線調(diào)整，使得輸出殘差序列保持相互正交，因此需要在狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣中引人時變漸消因子λk+1，即

再根據(jù)步驟3），即可得到調(diào)整后的增益矩陣進(jìn)而對狀態(tài)和誤差協(xié)方差陣進(jìn)行更新有

所以有

將式（39）和式（40）代人式（12）和式（13），則Nk+1和Mk+1可按下式計算得到

同理，對于引人漸消因子λk+1后的狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣Pk+1｜k，輸出預(yù)測協(xié)方差陣Pzz，k+1｜k和交叉協(xié)方差陣Pxz，k+1｜k也可以推導(dǎo)出類似式（39）和式（40）的表示為

則有

于是將式（45）和式（46）代人式（8）和式（10），可得

顯然，式（47），式（48）與式（35），式（37）是一致的，由此也進(jìn)一步說明上述的等價表示是可行的。所以在CKFSTF算法中，可以利用式（42）～式（43）在避免求取雅可比矩陣的情況下計算時變漸消因子λk+1，進(jìn)而實現(xiàn)對狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣的在線調(diào)整。

CKFSTF既能保持強跟蹤濾波器關(guān)于模型不確定的魯棒性以及對系統(tǒng)狀態(tài)突變的跟蹤能力，并且無需計算雅可比矩陣，還具備更高的濾波精確度和數(shù)值穩(wěn)定性，適用于解決從低維到高維的非線性濾波問題。考慮到在實際應(yīng)用中系統(tǒng)的噪聲統(tǒng)計特性往往是未知或時變的，若利用不準(zhǔn)確的噪聲統(tǒng)計特性可能會導(dǎo)致濾波精確度降低甚至使得濾波發(fā)散。因此要保持CKFSTF的濾波性能，增強濾波器應(yīng)對噪聲統(tǒng)計特性變化的自適應(yīng)能力是非常重要的。

2 自適應(yīng)CKF強跟蹤濾波算法

2.1 Sage-Husa過程噪聲自適應(yīng)估計算法

對于系統(tǒng)的過程噪聲統(tǒng)計特性未知或時變的情況，為了能以較高的濾波精度實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定的跟蹤，需要對未知或時變的噪聲統(tǒng)計特性進(jìn)行實時估計和修正，使得濾波器對噪聲統(tǒng)計特性的變化具有魯棒性。而Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法因其計算簡單，原理清晰，可同時估計出噪聲的一、二階矩被廣泛的應(yīng)用［15］。

對于非線性系統(tǒng)（1），我們假設(shè)系統(tǒng)過程噪聲的均值q=0，結(jié)合EKF與Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法，可得到時變過程噪聲統(tǒng)計特性的遞推估計為［14］

其中，dk+1=（1-b）/（1-bk+1），0＜b＜1為遺忘因子，其值要經(jīng)實驗確定，一般取0.95～0.99。

在CKFSTF濾波過程中，對噪聲統(tǒng)計特性進(jìn)行在線估計時，為避免求取雅可比矩陣所以同樣需要對Fk+1｜k和Hk+1進(jìn)行等價代換，如前一節(jié)所述利用式（15），則式（49）可表示為

再利用式（47）的等價表示以及式（20）可得到自適應(yīng)CKFSTF中時變噪聲統(tǒng)計特性的遞推估計為

將式（51）嵌人到CKFSTF算法，即式（16）～式（37），進(jìn)行交替運算則構(gòu)成自適應(yīng)CKFSTF算法。

2.2 防止濾波發(fā)散的改進(jìn)算法

根據(jù)式（49）的推導(dǎo)可知，噪聲協(xié)方差陣的無偏估計是對在對初始的有偏估計方程進(jìn)行了修正得到的，因此要保證協(xié)方差陣的半正定或正定性，可采用噪聲協(xié)方差陣初始的有偏估值器，即

采用有偏的噪聲協(xié)方差估值器可以完全阻止濾波器的發(fā)散，但可能會造成較大的估計誤差，因此在該方法的基礎(chǔ)上稍加改進(jìn)，其計算公式為

算法1∶自適應(yīng)CKFSTF算法

fork=1，2，…，do

預(yù)測更新∶

狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣的在線調(diào)整∶

根據(jù)式（42）～式（43），由式（11）得到時變漸消因子λk+1，對狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣進(jìn)行修正

測量更新∶

遞推估計系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計特性∶

3 仿真分析和比較

3.1 實例1

考慮如下不連續(xù)不可微的非線性離散系統(tǒng)

顯然，由式（56）可知非線性系統(tǒng)的量測函數(shù)是不連續(xù)不可微的，因此STF將不再適用。下面我們將采用本文所提出CKFSTF算法對非線性系統(tǒng)式（55）～式（56）的狀態(tài)以及參數(shù)進(jìn)行估計，驗證其算法的有效性。假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)的理論初始值為

由于存在未知參數(shù)，所以系統(tǒng)的模型參數(shù)需要與狀態(tài)進(jìn)行同時估計，對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)維處理有

而對應(yīng)于參數(shù)估計的噪聲va，k～N（0.01，0.012）。取系統(tǒng)狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差陣的初始值為

由前面的理論分析可以得知，對式（55）和式（56）這樣不連續(xù)不可微非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題STF已失效，并在仿真研究中也得到了驗證。而由圖1可知，CKFSTF算法能有效的處理此類問題，并且系統(tǒng)的狀態(tài)估計與參數(shù)估計是并行進(jìn)行的。仔細(xì)分析圖1可看出，在濾波過程的初始階段，由于模型參數(shù)ak的不準(zhǔn)確，使得狀態(tài)估計產(chǎn)生較大的估計誤差。但隨著模型參數(shù)ak對真實值的逐步逼近，系統(tǒng)狀態(tài)的估計誤差也在逐漸減小；而且大致能在15s以后，模型參數(shù)ak的估計值開始準(zhǔn)確跟蹤上真實值，此時系統(tǒng)狀態(tài)的估計誤差也近似于零。由此也說明了在模型參數(shù)未知或不準(zhǔn)確的情況下，CKFSTF能有效的對不連續(xù)不可微非線性系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的跟蹤，它具有較強的關(guān)于模型不確定的魯棒性。

圖1 CKFSTF算法下狀態(tài)及模型參數(shù)的估計值Fig.1 Estimationsofstateandparameterin CKFSTFalgorithm

3.2 目標(biāo)跟蹤

考慮典型的空中交通管制情況，飛行器以一未知角速度在水平面內(nèi)執(zhí)行機動轉(zhuǎn)彎，其旋轉(zhuǎn)運動的動力學(xué)模型可由如下非線性方程描述為

式中∶飛行器的狀態(tài)x=［ξ.ξ η.η Ω］T；ξ和η表示位置，.ξ和.η分別表示飛行器在x方向和y方向的速度；T是兩次量測的時間間隔。雷達(dá)固定在飛行器的初始位置，對飛行器的飛行距離r以及方位角θ進(jìn)行測量，那么量測方程可表示為

情況1∶系統(tǒng)的噪聲統(tǒng)計特性精確已知，且滿足∶過程噪聲vk～N（0，Q），量測噪聲wk～N（0，R），其中

系統(tǒng)狀態(tài)的理論初始值為

狀態(tài)估計的初始值x?0從分布N（x0，P0）中隨機選取，進(jìn)行100次MonteCarlo仿真，每次仿真的步數(shù)為80。分別采用本文所提出的CKFSTF算法、UTSTF算法以及STF對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計。對于UKF的參數(shù)選擇為α=1e-3，β=2，κ=-2。定義均方根誤差（Rootmeansquareerror，RMSE），即

其中，N為MonteCarlo仿真次數(shù)。通過均方根誤差定量的比較3種算法的性能。

圖2、圖3和圖4分別為采用CKFSTF算法、基于UT變換的強跟蹤算法以及STF進(jìn)行狀態(tài)估計時位置、速度和角速度的均方根誤差曲線比較。表1給出了在進(jìn)行100次MonteCarlo仿真后，3種算法進(jìn)行單次MonteCarlo仿真所用的平均計算時間。

從仿真結(jié)果可看出，CKFSTF的濾波效果明顯優(yōu)于UKF強跟蹤濾波器和STF。說明在處理高維非線性系統(tǒng)狀態(tài)變化的估計問題時，CKFSTF能有效克服其他強跟蹤濾波器所出現(xiàn)的濾波精度不佳甚至濾波發(fā)散等現(xiàn)象，正與前面分析的一致。對于計算時間，由于CKF和UKF采樣相同的濾波框架，且CKF比UKF少一個采樣點，理論上CKF強跟蹤濾波器要比UKF強跟蹤濾波的計算速度更快，表1的仿真結(jié)果也驗證了該理論分析的正確性。

圖2 3種算法下位置的均方根誤差Fig.2 RMSEsofpositioninthreealgorithms

圖3 3種算法下速度的均方根誤差Fig.3 RMSEsofvelocityinthreealgorithms

表1 3種算法下進(jìn)行單次MonteCarlo仿真的平均計算時間Table1 AveragecalculationtimesofsingleMonte Carlosimulationinthreealgorithms

圖4 3種算法下角速度的均方根誤差Fig.4 RMSEsofangularvelocityinthreealgorithms

情況2∶系統(tǒng)過程噪聲的統(tǒng)計特性未知或時變。

從圖6和圖7的仿真結(jié)果得知，通過自適應(yīng)CKFSTF所得到的速度、角速度均方誤差小于CKFSTF的均方誤差，而表2的定量比較也給出自適應(yīng)CKFSTF關(guān)于位置的濾波精度是高于CKFSTF，可見自適應(yīng)CKFSTF能有效的減小因噪聲統(tǒng)計特性不準(zhǔn)確而產(chǎn)生的估計誤差，有效的提高了濾波精度。另外，在仿真研究中發(fā)現(xiàn)不準(zhǔn)確的噪聲統(tǒng)計特性還容易導(dǎo)致CKFSTF發(fā)散，如圖8所示，而帶噪聲估值器的自適應(yīng)CKFSTF能有效的克服發(fā)散現(xiàn)象。由此也驗證了在系統(tǒng)過程噪聲統(tǒng)計特性未知或不準(zhǔn)確的情況下，自適應(yīng)CKFSTF仍能準(zhǔn)確的對狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，具有更強的應(yīng)對過程噪聲統(tǒng)計特性變化的自適應(yīng)能力。

圖5 兩種算法下位置的均方根誤差Fig.5 RMSEsofpositionintwoalgorithms

圖6 兩種算法下速度的均方根誤差Fig.6 RMSEsofvelocityintwoalgorithms

圖7 兩種算法下角速度的均方根誤差Fig.7 RMSEsofangularvelocityintwoalgorithms

表2 兩種算法下狀態(tài)估計RMSEs的均值Table2 AverageRMSEsofstateestimationin twoalgorithms

4 結(jié)論

針對STF需求取雅可比矩陣并要求非線性系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)和量測函數(shù)連續(xù)可微等理論局限以及基于UT變換的強跟蹤算法處理高維非線性濾波問題濾波精度不佳甚至發(fā)散等問題，本文將強跟蹤濾波器與容積卡爾曼濾波器結(jié)合，提出了CKFSTF算法。理論分析與仿真結(jié)果表明，對于模型不確定的強非線性系統(tǒng)，CKFSTF能實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)和狀態(tài)的快速準(zhǔn)確跟蹤，有效的克服了STF的理論局限。相比于UT變換的強跟蹤器，CKFSTF能對高維（n≥3）非線性系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確估計，且有效縮短了計算時間。此外，對于過程噪聲統(tǒng)計特性未知的目標(biāo)跟蹤問題，將CKFSTF進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)，增加了Sage-Husa噪聲統(tǒng)計估值器，得到了自適應(yīng)CKFSTF算法，它能增強濾波器關(guān)于噪聲統(tǒng)計特性變化的自適應(yīng)能力，有效地提高狀態(tài)估計精確度。

∶

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［15］鄧自立，王建國.非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)推廣的Kalman濾波［J］.自動化學(xué)報，1987，13（5）∶375-379. DENGZili，WANGJianguo.AdaptiveextendKalmanfilterfor nonlinearsystem［J］.ActaAutomaticaSinica，1987，13（5）∶375-379.

［16］張漢國，張洪鉞.阻止自適應(yīng)Kalman濾波發(fā)散的補救方法［J］.控制與決策，1991，6（1）∶53-56. ZHANGHanguo，ZHANGHongyue.RescuemethodforpreventingthedivergenceofadaptiveKalmanfiltering［J］.Controland Decision，1991，6（1）∶53-56.

（編輯∶劉琳琳）

AdaptiveCKFstrongtrackingfilterandapplication

DINGJia-lin1，XIAOJian1，ZHAOTao2
（1.SchoolofElectricalEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China；2.SchoolofTransportationandLogistics，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China）

∶FortheproblemthatStrongtrackingfilter（STF）hassometheoreticallimitationsandtheSTF basedonunscentedtransformation（UTSTF）declinesinaccuracyandfurtherdivergeswhensolvingthe nonlinearfilteringprobleminhighdimension，acubatureKalmanfilter（CKF）withstrongtrackingbehavior（CKFSTF）wasproposed.CKFSTFcombinesadvantagesofSTFandCKF∶strongrobustness，highaccuracy，strongnumericalstability，fastcalculationspeed，easyimplementationandwiderangeof applications.Furthermore，adaptiveCKFSTFwasproposedwhenthepriornoisestatisticisunknownand time-varying，whichusingSage-HusanoisestatisticestimatorbasedonCKFSTF.Validityofthenewproposedalgorithmwasverifiedbythesimulationexamples.

∶strongtrackingfilter；cubaturekalmanfilter；adaptability；targettracking

∶TP273

∶A

∶1007-449X（2015）11-0111-10

∶2013-10-06

∶國家自然科學(xué)基金（51177137）；國家自然科學(xué)基金重點項目（61134001）

∶丁家琳（1986—），女，博士研究生，研究方向為非線性濾波算法及其在電機狀態(tài)估計中應(yīng)用；肖 建（1950—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流傳動系統(tǒng)，模糊控制和計算機控制；趙 濤（1988—），男，博士研究生，研究方向為二型模糊系統(tǒng)、智能控制。

∶丁家琳

DOI∶10.15938/j.emc.2015.11.017