數學教學中的知識學習與能力培養

楊有龍+吳艷

[摘 要] 簡要論述了“知識學習”和“能力培養”的關系，指出在教學中培養創新能力的重要性，重點探討了教學直覺思維的培養、求異思維的培養以及逆向思維的培養，論述了慣性思維隱藏的危險性，同時通過具體實例加以論證。最后指出創新能力的培養就是盡量挖掘教學內容和創造性元素，激發學生的創新意識。

[關鍵詞] 數學教育;教學方法;知識學習;創新能力

[中圖分類號] G424.74 [文獻標志碼] A [文章編號] 1005-4634（2014）04-0062-04

0 引言

受中小學應試教育“熏陶”，邁入高等學府的青年學生往往以為“知識學習”就是大學生活的全部，豈不知“能力培養”才是學習的目的;當教學管理者只以學生課業成績的高低評價教師教學水平、評定學生的獎學金時，進一步使青年學生誤認為只要課業分數高就擁有一切。這種現象、認識與教育教學目的背道而馳，與培養創新人才、精英人才的目的相向而行。本文論述了大學數學教學中“知識學習”和“能力培養”的關系，探討了能力培養的途徑和方法，以期為大學數學教學改革研究提供一個視角，確定一條主線。

1 數學“能力培養”是“知識學習”的提升

通過中小學的學習，大學在校生具備了較好的數學知識學習能力，例如對數學定義的理解、簡單性質和定理的推導、模仿例題求解相似的數學題等。還有一部分學生通過做大量的習題提高計算能力，我國著名數學家蘇步青當年學習微積分時，做了一萬道習題，可見大師也是付出了辛苦的汗水。“知識學習”是“能力培養”的前提條件，只有掌握了扎實的基礎知識，才會具有培養能力的保障。特別是工科學生，掌握“數學”這個工具是進一步學好專業的基礎，要達到靈活運用“數學”工具的目的，還需要深刻領會數學的內在規律，提出問題，建立模型，運用知識解決問題。這就涉及到“數學能力的培養”，學習數學知識，重在應用，應用的需求反過來推動知識的學習，靈活運用數學知識的本質就是具有“數學思維”的能力。因此“數學能力”的培養在于教學過程中“數學思想”的培養和訓練，“數學能力”的培養也是數學“知識學習”的提高和深化。

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識;基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展著的。通過數學思想的培養，數學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數學思想，就是掌握數學的精髓。

創新是在國際上搶占科技和經濟的制高點、在國際競爭中立于不敗之地的基本保證。要大力強調創造性人才的培養，把不斷提高培養質量、培養更多的高層次創造性人才作為教育的重要任務。當前及以后的國際競爭就是綜合國力的競爭。綜合國力的競爭歸根結底是人才的競爭。誰擁有大量的高素質、創造性人才，誰就能搶占、控制科技和經濟的制高點，誰就能在國際競爭中掌握主動，立于不敗之地。數學作為基礎學科，不僅是學生進一步學習的工具、認識的工具，還是思維的工具;不僅具有很強的思想性、綜合性，而且還具有很強的實踐性。數學是思維的體操，是一切抽象科學方法的基礎。數學教學實質是數學思維過程的教學[1，2]。

2 直覺思維是數學能力的源泉

直覺思維是創造發明的先導，是進行創造活動的基本心理成分，著名物理學家愛因斯坦根據自己親身的科學創造實踐認為，科學研究“真正可貴的因素是直覺思維”。他把科學創造的過程簡捷地概括為這樣一種模式：經驗-直覺-概括或假設-邏輯推理-理論。可見，直覺思維是創造的關鍵，一般創造發明多是在觀察和實驗所取得經驗材料的基礎上，通過直覺思維提出假設、猜測而形成新思想。所以院校進行學生創造能力的培養，必須注意直覺思維的培養。

直覺思維的教學方法不同于分析思維的教學方法，分析思維的教學方法是按照知識內部的邏輯結構循序漸進的推理，最后得出結論。例如，在講解定積分定義的時候，從歷史發展的背景、問題的提出、解決問題到總結歸納，進行逐步分析，最后得出定積分的定義。這種方法有利于學生基礎知識的掌握，但長期循規蹈矩，不利于培養學生的創造能力。直覺思維的教學方法是積極引導學生從整體上、本質上研究問題，在學生初步觀察了解學習材料的基礎上，直接提出核心的本質的問題，讓學生立即動員全部生活經驗和知識進行快速思維，對問題進行試探性地猜測和假設，跟著感覺走[3]。然后通過邏輯分析對問題的答案進行檢查驗證。例如，在線性代數中，可以讓學員憑直覺判斷在矩陣運算中，“若AB=0，則A和B，至少有一個是零矩陣”的命題是否正確，然后論證。講解空間解析幾何可利用平面解析幾何的諸多結論，直接判斷或直接寫出在空間解析幾何中的結論，然后加以論證，不僅使學生有一種成就感，而且學生會更加注意論證過程，從而由論證過程得到分析問題、猜測結論、證明結論的一套思維訓練。

直覺思維有利于培養學生思維的靈活性、敏捷性、創造性，提高學生對問題的洞察能力和應變能力。學生掌握了基本理論、學科的知識結構，知識就能廣泛遷移，成為推理的依據和直覺思維的基礎。無論在科學研究還是在日常生活中，直覺思維都非常重要。一個人不能直覺思維，在科學研究中就不可能提出假說和設想;一個人不能直覺思維，工作中遇事就會優柔寡斷，學習中就不可能擁有主動權。

3 求異思維是數學能力的核心

求異思維是創造力的核心，思維要敢于不遵循已有的軌跡，敢于想前人不曾想或不敢想的事物，敢于用別人不曾用過的方法去探索。這要求學生要有獨立果斷的品質，因此，在教學中培養學生要敢于發表自己獨立的見解，不謀求唯一正確的答案，求同辨異。課堂上給學生留出時間空間，積極為學生提供討論學習的機會，努力形成教與學之間、學與學之間的思維活動，讓學生自由發表意見。這些意見對每一個學生而言都是一種信息刺激，如被理解就會被納入自己的認知結構，在新信息與舊信息融合時，或者在新信息的刺激下，通過聯想作用激活另一個有價值的新概念，這種新觀點便是學生自己的獨立見解，在求同辨異中創造性學習的結果。數學發展歷史上，經典的例子是通過求異思維由歐氏幾何發展了非歐幾何，由標準分析產生了非標準分析。

教師要肯定學生的標新立異和異想天開，從而保護學生的好奇心、求知欲和想象力。激發學生的創新熱情，學生不是接受知識的“容器”，而是未來文明的創造者，只有今天敢于質疑、敢于批判，明天才能善于創新、善于超越。一個美國孩子在美術課上畫了一個藍色的太陽。老師問為什么，孩子答道：“我畫的是大海里的太陽”。多么奇特的觀察和想象，老師讓全班同學為他鼓掌，這個奇怪的“藍太陽”得了最高分。這是老師對孩子與眾不同想法的充分肯定。鼓勵還是扼殺“特別”，會直接影響孩子的創造思維的發展。

思維的獨創性是指學生思維具有創見性。它不僅能揭示客觀事物的本質特征和內部規律，而且能產生新穎的、從未有過的思維效果。在教學過程中抓住分析問題的時機，引導學生大膽設疑、標新立異，拓寬思維空間。尋找多種有效解題的方法，培養學生思維的獨創性。教師要善于調動學生積極參與，明確目標、合理猜想、提出問題，使學生主動參與知識的形成過程，誘發良好的思維情感，使學生的思維更積極、感知更敏銳、想像更豐富、記憶更牢固。求異思維的內核是：敏于生疑，敢于存疑，勇于質疑。由生疑，到存疑，到質疑[1]，到新發現、新發明，這往往是各種創新活動的共同歷程。相反，由輕信，到篤信，乃至到迷信，則往往導致人們漸漸喪失自主的理性、智性，喪失自主判識的自尊自信，漸漸地陷入只知唯書、唯上、唯權、唯命是從的馴服心理和盲從心態。

當然，倡導求異思維，并不是讓人們不著邊際地去胡思亂想、去異想天開、去任意蠻干。求異思維也是要在科學精神、科學理性、科學方法的引導下，才會有正確的方向和積極的成果。創新是人類社會發展與進步的永恒主題，具有個性化的求異思維能力是創新能力的一個重要體現，興趣和學生求異思維的不可分割性，要求教師要創造性地運用教材，積極激發并保持學生學習興趣，最終啟發學生的求異思維。

4 逆向思維是數學能力的創新

逆向思維是一種啟發智力的方式，它有悖于通常人們的習慣，而正是這一特點，使得許多靠正常思維不能或是難于解決的問題迎刃而解。一些正常思維能解決的問題，在它的參與下，過程可以大大簡化，效率可以成倍提高，正思與反思就象分析的一對翅膀，不可或缺。人們習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法。然而習慣于正向思維的人一但得到了逆向思維的幫助，就象戰爭的統帥得到了一支奇兵。其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉，甚至因此而有所發現，創造出驚天動地的奇跡來，這就是逆向思維的魅力。

在教學中有時碰到一些問題，順向思維易陷入困境，從反方向思維往往茅塞頓開。例如，欲求極限，這是型未定式，顯然必須變形，如何變形呢？中學階段學的方法是分母有理化，變形后仍為型未定式。如果教師提示學生采用逆向思維，讓學生采用分子有理化，變形后便可得所求極限。有些題目既可以引導學生用正向思維去解答，也可以從所求的結論出發，反向推理。尋找所需的已知條件、概念、原理和規律，引導學生利用逆向思維來解題。這樣做既培養了學生從正逆兩個方向去解決具體問題的能力，又促進了正逆向思維的聯結，使兩者相互檢驗、相互補充，進而產生良好的交叉效應。任何事物都是矛盾的統一體，如果從矛盾的不同方面去引導學生逆向思維，往往能認識事物更多的方面。例如，在講到羅爾中值定理時，教師給出了四個函數：

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）中的函數不滿足羅爾中值定理的任何條件，但卻有羅爾定理的結論。（2）、（3）、（4）中的函數僅不滿足羅爾中值定理的某一個條件，但卻沒有羅爾定理的結論。通過對這4個反例的設置，學生就會清楚地認識到羅爾中值定理的條件只是充分條件，而非充要條件。因此在應用羅爾定理時，若得不到想要的結果，就需另辟蹊徑。

在日常生活中，有許多通過逆向思維取得成功的例子。例如有4個相同的瓶子，怎樣擺放才能使其中任意兩個瓶口的距離都相等呢？原來，把3個瓶子放在正三角形的頂點，將第4個瓶子放在三角形的中心位置，答案就出來了。逆向思維最寶貴的價值是它對人們認識的挑戰，由此而產生不可估量的威力，人們應當自覺地運用逆向思維方法，創造更多奇跡。

5 慣性思維是數學能力的羈絆

事實上，本文只是簡單舉例并討論了直覺思維、求異思維和逆向思維等數學思想，還有函數思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想、隱含條件思想和概率統計等數學思想沒有涉及。同時還要注意避免慣性思維的潛在危害，例如人們習慣于把有限運算的法則不知不覺地運用到無限運算中去。當人們為某些正確的成果而歡欣鼓舞的時候，往往忽略了思維中的潛在危險。

例如有人用除法得到：=及=，兩式相加，因為+=0，推得的這個等式成立嗎？看似上述推理毫無錯誤，卻不知已經觸礁“思維中的潛在危險”。

當然不能成立。因為=只有在時才成立，而=，只有在時才成立。由于這兩個級數的收斂域沒有公共點，因此不能相加。

又例如：三個學生用不同的方法，計算式子，竟然得出各不相同的結果。

甲學生：原式=（11）+（11）+（11）+…=0+0+0…=0

乙學生：原式=1+（1+1）+（1+1）+（1+1）+…=1+0+0+0+…=1

丙學生：令…，因為1（11+11+11+…）=，所以，

這正是把有限運算的法則，不知不覺地運用到無限運算中去的典型錯誤。

古希臘的學者芝諾曾提出一個著名的“追龜”詭辯題[3]。烏龜素以動作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄，善跑的神。芝諾斷言：阿基里斯與烏龜賽跑，如果開始時烏龜在阿基里斯前面，那么阿基里斯將永遠追不上烏龜。芝諾的理由是：假設阿基里斯開始時在 處，烏龜在 處，為了趕上烏龜，阿基里斯必須先跑到烏龜的出發點，當他到達 點時，烏龜已前進到點;當他到達點時，烏龜已前進到 點，如此等等。當阿基里斯到達烏龜前次到達過的地方，烏龜已向前又爬動了一段距離。因此，阿基里斯是永遠追不上烏龜的。芝諾的論斷顯然違背常理，是錯誤的。無限多個很小的量的和，未必是無限大，“無限”地累加，也可能得出有限的結果。

設阿基里斯的速度是烏龜的10倍，烏龜在前面100米，當阿基里斯跑了100米時，烏龜已前進了10米;當阿基里斯再追10米時，烏龜又前進了1米;阿基里斯再追1米時，烏龜又前進了米，如此等等。于是，阿基里斯追上烏龜所跑的路程（單位：米）為：+…，利用等比級數的公式可知，=（米）。

例如求極限+…+，有些學生認為，括號中的每一項的極限均為零，即對于，=0，因此+…+=（）=++…+=0

如果所求極限是有限個式子的和，上述的思路顯然正確。正是因為所求極限是無限個式子的和，要避免思維陷入誤區，謹記無限多個很小的量的和，未必是無限大，也未必是無限小。設上述所求極限為，可知，利用夾逼定理可得=1。

6 結束語

數學能力的培養不是一蹴而就的事，需要教師和學生的長期鉆研和體會，它是創新能力的基礎訓練，需要創新教學模式。創新教學模式不僅要教給學生知識，更重要的是要學生掌握知識是怎樣形成的，既知其然，又知其所以然，盡量挖掘教學內容和創造性元素，激發學生的創新意識;訓練學生把分散的、個別的知識，經過分析、分類變成綜合的、系統的知識，這種綜合能力是學生創新能力[2]的重要體現;不僅教會學生知識，更重要的是教會學生學習，走自主學習與創新之路，這對學生來說，終生受用無窮[4]。

數學教育的目的在于培養全面領會數學功能的人才，使他們既會應用數學知識解決實際問題，又能掌握科學的精神、思想和方法。例如，學過數學的大多數人，一生中可能很少使用已學過的專業知識，但這并不等于說他們的學習沒有效用。很可能它們最大的收益在于掌握了數學的精神、思想和方法，提高了自己的思維能力，而且終身受益。不僅如此，數學研究水平的提高也需要深厚的思想基礎，只有深刻理解和掌握數學精神和思想的人，才有可能取得數學理論和應用上的卓越成就。

在教學中，過分地強調數學思想，學生會感覺老師像在打太極，聽的糊涂。怎樣把握數學思想和數學表現形式二者之間的度就成為教學中很重要的一環，同樣值得研究和探討。希望數學教育教學能夠豐富學生觀察世界的方式，激發學生求知的欲望，鍛煉學生的理性思維，發揚學生的探索精神和創新意識，使其利用自己的勤奮和智慧去做出發明和創造[5]。

參考文獻

[1]吳艷，楊有龍.淺談教學中的數學思想[J].西安電子科技大學學報（社會科學版），2005，（1）：41-44.

[2]吳艷.培養創新意識開發創新能力[J].高等教育研究，2001，（4）：71-72.

[3]黃曉學.讓鮮活的思想在數學課堂中流淌[J].數學教育學報， 2005，（1）：16-19.

[4]王光明.數學教育需要重視的兩個問題[J].數學教育學報， 2005，（1）：31-34.

[5]張順燕.關于數學教學的若干認識[J].數學教育學報，2004，（1）：3-5+9.