夯實(shí)基礎(chǔ) 厚積薄發(fā)

華建鋒

【緣起與思考】三角形的面積一課是繼學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積之后的又一節(jié)幾何概念課。三角形的面積計(jì)算公式及方法對于學(xué)生來說不是完全空白的，有相當(dāng)一部分學(xué)生已經(jīng)知道三角形的面積公式，但是真正理解公式的卻鳳毛麟角。

課前我在班內(nèi)做過一個(gè)調(diào)查，我班學(xué)生31人：已經(jīng)知道三角形面積計(jì)算公式的有9人，對三角形面積公式有一定理解的只有3人;對課中所述的三個(gè)三角形，會(huì)進(jìn)行面積計(jì)算的學(xué)生分別有29、23、23人;標(biāo)有底和高的等腰三角形，能夠利用學(xué)過的知識(shí)來證明“三角形的面積=底×高÷2”這個(gè)結(jié)論（答案）是正確的，有24人（因?yàn)楫?dāng)時(shí)沒有可供學(xué)生操作的材料，所以學(xué)生只想到一種方法“沿底邊上的高剪開，通過旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)長方形”，其他方法沒有想到。這應(yīng)該是學(xué)生一種真實(shí)思維水平的反映）。

這節(jié)課是通過復(fù)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算公式而引入的。教學(xué)中先出示三角形的面積公式，讓學(xué)生明白知道了公式不是最終目的，更為重要的是知道公式是怎么來的，怎樣證明這個(gè)公式是正確的，即本節(jié)課的價(jià)值定位不是“公式應(yīng)用”，而是三角形面積的“公式推導(dǎo)”。所以本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)不是讓學(xué)生會(huì)進(jìn)行三角形面積的計(jì)算，而是使學(xué)生理解并掌握三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并滲透轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生合作、積極動(dòng)腦思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，特別是發(fā)展學(xué)生的空間觀念和思維能力。

至此，本課有三點(diǎn)引發(fā)了我的思考。

思考1：如何把握新知的附著點(diǎn)，突出三角形面積計(jì)算公式的本質(zhì)及其知識(shí)結(jié)構(gòu)的連貫性和延伸性？

小學(xué)生學(xué)習(xí)三角形面積計(jì)算公式，形成抽象的數(shù)學(xué)概念并發(fā)展空間觀念，絕不是一次完成的，而是要經(jīng)歷復(fù)雜的認(rèn)識(shí)過程。教學(xué)中要讓學(xué)生在自己原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過有效空間想象的支撐，從而揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)而發(fā)展空間觀念。

教學(xué)中要充分考慮知識(shí)的形成線索和學(xué)生的認(rèn)知線索，以突出知識(shí)結(jié)構(gòu)的連貫性和延伸性。從數(shù)學(xué)本質(zhì)來看，三角形面積計(jì)算公式是平行四邊形面積公式的特殊形式，當(dāng)平行四邊形的其中一條底長度逐漸變短直至變?yōu)?時(shí)，平行四邊形就成了三角形;三角形面積公式的探究過程，主要是通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生去體悟三角形面積公式的習(xí)得過程，在建構(gòu)概念的過程中獲得數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。

思考2：推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式的“兩種策略”孰輕孰重還是兩者兼顧？

推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式不外乎是兩種基本策略：一種是“剪拼法”，即將一個(gè)三角形沿中位線剪切并通過旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)平行四邊形（如圖1所示），或者沿高線中點(diǎn)并垂直于高剪開后旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)長方形（如圖3所示）;另一種是“拼組法”，即將兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。對于以上兩種策略，在教學(xué)中肯定只能側(cè)重一種，將另一種作為補(bǔ)充，以豐富學(xué)生對概念的建構(gòu)。那么到底選擇哪一種呢？我認(rèn)為當(dāng)以拼組法為重，原因有二：其一，學(xué)生對三角形剪拼成平行四邊形知識(shí)儲(chǔ)備還不足，因?yàn)橹形痪€的概念尚未建立;其二，之前學(xué)習(xí)平行四邊形的面積采用的是割補(bǔ)法，沿平行四邊形的高剪開后將兩部分拼成一個(gè)長方形，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，之后將要學(xué)習(xí)推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式，既可以將一個(gè)梯形剪成一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，又可以將一個(gè)梯形剪拼成一個(gè)三角形或平行四邊形，還可以用兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形。誠然，“拼組法”應(yīng)當(dāng)成為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。（圖4-圖7）

圖1 圖2 圖3

圖1、2、3的三角形面積=平行四邊形（或長方形）面積。

（1）三角形面積=底×（高÷2）=底×高÷2;

（2）三角形面積=（底÷2）×高=底×高÷2;

（3）三角形面積=底×（高÷2）=底×高÷2。

歸納得出：三角形面積=底×高÷2。

圖4 圖5 圖6 圖7

平行四邊形面積=底×高 ? 三角形面積=底×高÷2

思考3：研究三角形面積計(jì)算公式的本質(zhì)內(nèi)涵在關(guān)注基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)時(shí)，是否需要把握操作的遞進(jìn)關(guān)系？

小學(xué)生學(xué)習(xí)的是“經(jīng)驗(yàn)幾何”，揭示幾何模型需要學(xué)生在豐富的感性積累和具備了相當(dāng)抽象思維能力的基礎(chǔ)上才能逐步完成。本課學(xué)習(xí)的目的不再是為那些顯性的“陳述性知識(shí)（什么是三角形面積）和程序性知識(shí)（三角形面積=底×高÷2）”而學(xué)習(xí)，而更關(guān)注學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)自主建構(gòu)的策略性知識(shí)（三角形面積和已有圖形面積之間的聯(lián)系并如何建立聯(lián)系）的體悟和感受。

平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)往往內(nèi)容相近且思想方法相同。就平行四邊形面積計(jì)算而言，主要是喚醒學(xué)生先前的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（尤其是剪拼）并突出轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學(xué)思想方法;三角形面積計(jì)算，主要是把平行四邊形面積公式推導(dǎo)中的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推廣并讓學(xué)生經(jīng)歷不同層次的剪拼活動(dòng)（主要是拼組），并突出歸納推理的思維過程;梯形面積計(jì)算，可以強(qiáng)調(diào)從多角度探究平面圖形的面積（既可以是剪切也可以是拼組），積累基本操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并突出轉(zhuǎn)化方法的多樣化。總之，教師必須深入挖掘教材體系的縱橫聯(lián)系，以期學(xué)生在基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累方面獲得更多的體驗(yàn)和感受。

【教學(xué)實(shí)踐心路】

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)引入，初步建構(gòu)三角形面積計(jì)算方法

1.回顧平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程。

（1）平行四邊形的面積是怎樣計(jì)算的？（板書：平行四邊形的面積=底×高）

（2）平行四邊形的面積計(jì)算公式我們是怎樣推導(dǎo)出來的？

生：將平行四邊形剪拼成長方形……（課件演示剪拼過程）

（3）你為什么要把平行四邊形變成長方形？實(shí)際上我們是應(yīng)用了數(shù)學(xué)上的一種什么思想？（板書：轉(zhuǎn)化）

（4）轉(zhuǎn)化之前的平行四邊形和轉(zhuǎn)化之后的長方形有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒有變？

2.師：看到這個(gè)平行四邊形，老師想到了與這個(gè)平行四邊形有關(guān)的幾個(gè)三角形，同學(xué)們能猜出老師心里想的三角形的樣子長什么模樣嗎？哪位同學(xué)上來指給大家看一看？endprint

學(xué)生匯報(bào)后課件出示與原來平行四邊形等底等高的等腰三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

師（指圖講述）：現(xiàn)在你知道三角形的面積計(jì)算方法嗎？

生1：三角形的面積=底×高÷2。（板書：三角形的面積=底×高÷2）

師：這一節(jié)課老師就和大家一起來研究三角形的面積。（揭示課題）三角形的面積與哪些因素有關(guān)？

生2：與底和高有關(guān)。

師：你能選擇其中一個(gè)三角形來證明三角形面積可以用“底×高÷2”來計(jì)算嗎？

生3：我選擇了等腰三角形沿底邊上的高剪開，然后拼成一個(gè)長方形，長方形的底是原來三角形底的一半，長方形的寬等于原來三角形的高，所以三角形的面積=底×高÷2。

師（追問）：除了剪拼成長方形還能拼成其他圖形嗎？

生3：還可以拼成一個(gè)平行四邊形。

師：你能剪拼給大家看一看嗎？（如圖8）

圖8

師：其他的三角形也能這樣剪拼嗎？（學(xué)生一時(shí)答不上來）為什么等腰三角形剪拼能成功，而一般三角形剪拼卻不一定成功？

生4：等腰三角形沿高剪開以后是兩個(gè)完全一樣的直角三角形，而一般三角形沿高剪開以后是兩個(gè)不一樣的三角形。

【設(shè)計(jì)意圖：三角形面積與等底等高的平行四邊形面積有關(guān)，所以本課從復(fù)習(xí)平行四邊形面積引入，以喚醒學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。另外等腰三角形（屬于常態(tài)標(biāo)準(zhǔn)材料）沿高剪開以后是兩個(gè)完全一樣的直角三角形，而一般三角形沿高剪開以后是兩個(gè)不一樣的三角形。體會(huì)：要能剪成兩個(gè)完全一樣的三角形才能用剪拼進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則不能轉(zhuǎn)化。同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)到兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。這一點(diǎn)也就是三角形面積公式推導(dǎo)中為什么使用拼組的方法更具普適性的原因所在。在平行四邊形的面積一課中，學(xué)生已經(jīng)初步體驗(yàn)了運(yùn)用化歸思想方法來解決問題的方法和策略，即通過剪拼將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。因而在學(xué)習(xí)三角形面積時(shí)應(yīng)該首先想到的轉(zhuǎn)化方法是剪拼。但事實(shí)上三角形的面積公式推導(dǎo)通過剪拼來轉(zhuǎn)化并不是最理想的方法，教材中也是利用拼組的方法——用兩個(gè)完全一樣的三角形拼組成一個(gè)平行四邊形，相對來說解釋和理解都相對容易，但是拼組的方法不一定就能如教師預(yù)設(shè)和期望的那樣能順利地在課堂教學(xué)中展現(xiàn)出來。所以課堂教學(xué)中還是要從學(xué)習(xí)的常規(guī)思維基礎(chǔ)出發(fā)，即剪拼的方法出發(fā)，為后續(xù)教學(xué)所用。】

環(huán)節(jié)二：解構(gòu)三角形面積計(jì)算方法

1.學(xué)習(xí)探究：老師給你提供一些學(xué)習(xí)材料（信封中有完全一樣的銳角三角形、完全一樣的直角三角形、完全一樣的鈍角三角形，還有等底不等高的三角形、等高不等底的三角形等），利用這些材料想辦法驗(yàn)證三角形的面積計(jì)算公式，并把自己的想法在小組內(nèi)交流。

2.學(xué)生操作，教師巡視指導(dǎo)。

3.匯報(bào)交流。

師：同學(xué)們，你們都研究出什么了嗎？誰愿意與大家分享一下你們研究的成果？請停下手中的操作，聽一聽其他同學(xué)所想的和你的一樣嗎？

預(yù)設(shè)1：（根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)依次在黑板上貼上圖片）

預(yù)設(shè)2：（若學(xué)生在拼的時(shí)候沒有強(qiáng)調(diào)兩個(gè)完全一樣的三角形來拼，則教師作如下引導(dǎo)）

師：同學(xué)們真的很會(huì)動(dòng)腦筋，不過老師聽了你們的想法之后，也想試一試。請看，老師這也有兩個(gè)三角形（出示兩個(gè)不一樣的三角形），該如何來拼呢？

師：為什么同學(xué)們選取的兩個(gè)三角形能拼成平行四邊形（長方形）？而老師選取的兩個(gè)三角形卻不能拼成平行四邊形（長方形）呢？

師：原來同學(xué)們是選取兩個(gè)完全一樣的三角形來拼的，那怎么證明這兩個(gè)三角形就是完全一樣的三角形呢？

生：把兩個(gè)三角形重疊在一起進(jìn)行比較。（重疊法）

4.總結(jié)操作成果

師：通過實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

引導(dǎo)學(xué)生得出：只要是兩個(gè)完全一樣的三角形都能拼成一個(gè)平行四邊形。

師：誰能說說，每個(gè)三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

生：拼成的平行四邊形是三角形面積的二倍。每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形的面積的一半。

5.歸納公式

師：同學(xué)們，我們以上的探索過程就是數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)走過的歷程，這一過程中用了數(shù)學(xué)的哪一種思想方法？這些方法實(shí)際上都是把今天所要研究的不會(huì)求面積的三角形先轉(zhuǎn)化成什么圖形？

師：請同學(xué)們觀察黑板上的轉(zhuǎn)化過程，無論什么樣的三角形，只要是兩個(gè)完全一樣的三角形，都可以拼成一個(gè)平行四邊形，誰能說說，每個(gè)三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關(guān)系？三角形的底和高與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？現(xiàn)在，你能得到三角形面積的計(jì)算公式嗎？（根據(jù)學(xué)生回答板書：三角形的面積=底×高÷2）

師：底×高表示什么？為什么要除以2？

師：如果用S表示三角形面積，用a和h分別表示三角形的底和高，你能用字母寫出三角形的面積公式嗎？（結(jié)合學(xué)生回答板書：S=ah÷2）

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生找到了新舊知識(shí)的連接點(diǎn)與轉(zhuǎn)化方式，而且使學(xué)生正確掌握操作方法，形成操作技能，從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)背景出發(fā)引出新課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下的教材編寫有兩條線：一條是明線即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，是有形的線索;另一條是暗線即數(shù)學(xué)思想方法，是無形的線索。這樣編排教材的目的是為了突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)?；瘹w思想是小學(xué)數(shù)學(xué)最重要、最基本的思想之一。轉(zhuǎn)化與化歸是把未知的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至簡單的問題。轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無處不在，教學(xué)中要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，長期訓(xùn)練將有利于強(qiáng)化學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的思維能力和技能、技巧。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。簡單地說，解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。endprint

教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法不像教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)那樣能在短期內(nèi)初見成效，它必須經(jīng)歷一個(gè)長期的認(rèn)識(shí)過程，才能被學(xué)生所體悟、理解和自覺運(yùn)用?；瘹w思想是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法。任何數(shù)學(xué)問題的解決過程，都是一個(gè)未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程?；瘹w是基本而典型的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)思想的靈魂和精髓。

本環(huán)節(jié)就是以“化歸”思想為理論武器，實(shí)現(xiàn)了長方形、正方形、平行四邊形、三角形的面積計(jì)算公式間的同化，從而構(gòu)建和完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。后續(xù)的學(xué)習(xí)中還將和梯形、圓形面積計(jì)算公式進(jìn)行同化，幫助學(xué)生建立完整的平面圖形求面積公式。

經(jīng)過長期的強(qiáng)化訓(xùn)練和學(xué)生的感悟，學(xué)生也就自覺地養(yǎng)成了運(yùn)用“化歸”思想去探究、解決實(shí)際問題的思維品質(zhì)，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)有機(jī)融合。本課教學(xué)的目的不是讓學(xué)生掌握三角形的面積計(jì)算公式，而是讓學(xué)生在學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)能深刻領(lǐng)會(huì)其知識(shí)背后的思想方法，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)?！?/p>

環(huán)節(jié)三：二次建構(gòu)與拓展三角形面積計(jì)算方法

師：你們知道嗎？今天我們一起動(dòng)手推導(dǎo)、驗(yàn)證出來的三角形的面積計(jì)算公式，很早以前，我們的祖先就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，熱愛數(shù)學(xué)的人們不停地思考，還研究出了其他的方法，我們一起來看一看。（多媒體演示“割補(bǔ)法”）先作底邊上的高和中位線，沿高的一半旋轉(zhuǎn)180度拼成一個(gè)平行四邊形。

師：你看懂了嗎？能解釋給大家聽聽嗎？

師：我國古代數(shù)學(xué)家固然偉大，但是老師覺得你們也很了不起！咱們不也找到三角形面積的計(jì)算方法了嗎？把熱烈的掌聲送給咱們自己！

【設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)驗(yàn)，并非總是親歷所得。對數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，一般有兩種途徑，一種是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)由學(xué)生親歷所得，它是獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要方式，但不是唯一方式;另一種是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指學(xué)生間接經(jīng)歷了活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)。以上教學(xué)過程中適時(shí)運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，給學(xué)生提供和創(chuàng)造像“觀察性經(jīng)驗(yàn)”一類的替代性經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在觀察、模仿、想象這些替代性經(jīng)驗(yàn)中獲得類似于親臨其境的實(shí)實(shí)在在的經(jīng)歷和體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生獲得廣泛的豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。】

環(huán)節(jié)四：重構(gòu)與提升三角形面積計(jì)算方法和意義

師：這一節(jié)課同學(xué)們通過探究推導(dǎo)出了三角形的面積計(jì)算公式，課后可以繼續(xù)探究，看看還能探究出哪些方法？下面我們就用相關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問題。

計(jì)算下面三角形的面積：

（1）計(jì)算三角形的面積你需要知道哪些條件？

（2）出示相關(guān)數(shù)據(jù)：分別計(jì)算出它們的面積是多少平方厘米。

（3）交流：計(jì)算出三角形的面積后還有問題要提嗎？

若學(xué)生沒有問題，則教師提問：

（1）45×16表示什么意思？能在你所說的圖形上指一指嗎？

（2）老師也想了一個(gè)平行四邊形，是這樣的（課件演示），可以嗎？

（3）為什么計(jì)算這個(gè)三角形的面積還要除以2呢？

（4）求第二個(gè)三角形的面積時(shí)，如果要以5厘米為底，那么它的高在哪里呢？你會(huì)求嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)遵循“前有鋪墊、中有突破、后有提升”的教學(xué)原則，融例題和知識(shí)教學(xué)為一體，例題教學(xué)的目的不是為了公式的應(yīng)用，而是要挖掘知識(shí)背后更深層次的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從“三角形面積是兩個(gè)完全一樣的三角形所拼成的平行四邊形面積的一半”中解構(gòu)出來，并重新建構(gòu)：三角形面積是“等底等高平行四邊形面積的一半”。至此學(xué)生所建構(gòu)的三角形面積計(jì)算公式才是豐滿的。】

【教后思考】

思考1：怎樣避免數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)在同一水平上徘徊？

數(shù)學(xué)知識(shí)總是有它固有的結(jié)構(gòu)和邏輯體系的，平面圖形面積計(jì)算公式的建構(gòu)從某種意義上來說是同源的，也是一脈相承的;在教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注其發(fā)展性、延伸性和傳承性。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要進(jìn)行教學(xué)前端分析即教學(xué)起點(diǎn)分析，它應(yīng)包含兩個(gè)層面：教材層面——數(shù)學(xué)知識(shí)及知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系;學(xué)生層面——學(xué)生原認(rèn)知基礎(chǔ)。

三角形面積計(jì)算是在學(xué)生已經(jīng)掌握平行四邊形面積計(jì)算并認(rèn)識(shí)三角形特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，所以，必須以平行四邊形的面積計(jì)算以及三角形的底和高相對應(yīng)的知識(shí)為基礎(chǔ)，使“三角形面積計(jì)算”這一新知識(shí)納入學(xué)生原有的知識(shí)體系中，運(yùn)用遷移和轉(zhuǎn)化的思考方法，通過“動(dòng)手操作，合作探究”等教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生切實(shí)理解和掌握三角形面積計(jì)算公式，同時(shí)加深平面圖形之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，為后面推導(dǎo)梯形的面積公式做好鋪墊。

本課教學(xué)過程中運(yùn)用了先立后破、由破再立的策略。立——等腰三角形的剪拼，發(fā)現(xiàn)等腰三角形沿高剪開可以拼成長方形或平行四邊形，得出等腰三角形可以通過剪拼來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化;破——不是所有的三角形都能進(jìn)行剪拼，讓學(xué)生進(jìn)行一般三角形（非標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)材料，如銳角三角形和鈍角三角形）剪拼實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)一般三角形沿高剪開難以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化;再立——任何兩個(gè)完全一樣的三角形都能拼成平行四邊形。進(jìn)而將等腰三角形和一般三角形進(jìn)行對比，找到將一般三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化的另一種方法——拼組。至此，學(xué)生在矛盾沖突的過程中掌握了知識(shí)，發(fā)展了空間觀念，完善了對化歸思想的認(rèn)識(shí)?？傊?dāng)?shù)學(xué)思想的積淀要逐級遞進(jìn)、螺旋上升。

思考2：學(xué)生是重復(fù)操作還是層層深入？

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累的。課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：教學(xué)“圖形與幾何”應(yīng)該幫助學(xué)生建立空間觀念，讓學(xué)生經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。

希爾伯特說：幾何圖形是一種數(shù)學(xué)符號，是直觀空間幫助記憶的符號，幾何思維與算術(shù)思維是一致的，數(shù)、形不能割裂。在知識(shí)建構(gòu)階段更多地采用實(shí)物操作，操作要到位，不能流于形式，讓操作與思維聯(lián)系起來，讓操作成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的源泉。讓新知識(shí)在學(xué)生操作中產(chǎn)生，技能在操作中熟練，方法在操作中創(chuàng)生，創(chuàng)新意識(shí)在操作中萌發(fā)。在知識(shí)解構(gòu)、重構(gòu)階段更多地采用表象操作和思維操作，讓學(xué)生在回憶、想象、分析、綜合等一系列的思維活動(dòng)中，進(jìn)行智慧火花的碰撞，特別是讓學(xué)生在借助口頭語言表達(dá)自己想法的同時(shí)，能夠?qū)⒈硐蟮恼?、加工、歸納的思維過程進(jìn)行綜合，完成從感性到理性的完整認(rèn)識(shí)，同時(shí)提升思維水平?？傊?，從圖形觀察到空間想象，動(dòng)態(tài)研究幾何與圖形將會(huì)引發(fā)學(xué)生更深入的數(shù)學(xué)思考。

思考3：對知識(shí)的理解是停留在工具性理解層面還是要強(qiáng)化關(guān)系性理解？

對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有兩種模式：一種是“工具性理解”，還有一種是“關(guān)系性理解”。工具性理解是對數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)對象的表層理解，是對一個(gè)規(guī)則及所指定的每一個(gè)步驟是什么的理解，“只知其然，不知其所以然”，“只管公式，不管理由”，“只知道做什么，不知道為什么要這樣做”;關(guān)系性理解是對數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)的理解和把握，還需加上符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)，獲得符號指代物意義的途徑及規(guī)則本身有效的邏輯依據(jù)等，“不僅知道要做什么，而且知道理由”，“不僅知其然而且知其所以然”。關(guān)系性理解的學(xué)習(xí)不僅可以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力，同時(shí)也能有效地引領(lǐng)學(xué)生探索未知的數(shù)學(xué)關(guān)系，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。本課教學(xué)中事先向?qū)W生交代三角形的面積計(jì)算公式，然后引導(dǎo)學(xué)生從“三角形面積是兩個(gè)完全一樣的三角形所拼成的平行四邊形面積的一半”中解構(gòu)出來，并重新建構(gòu)為三角形面積是“等底等高平行四邊形面積的一半”。沿著“建構(gòu)——解構(gòu)——重構(gòu)”的路徑幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并把學(xué)生對三角形面積計(jì)算公式從工具性理解引向縱深的關(guān)系性理解。

思考4：練習(xí)設(shè)計(jì)是要關(guān)注技能訓(xùn)練還是更多地突出思維提升？

練習(xí)設(shè)計(jì)不求華麗但求內(nèi)涵豐富，在練習(xí)中要更加突出空間想象的思維訓(xùn)練，包括同一思維水平的橫向運(yùn)用、縱向運(yùn)用。皮亞杰指出：學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)需要經(jīng)歷從具體操作到表象操作，再到形式操作的過程。本節(jié)課教師沒有安排過多的單一的技能操練，而是設(shè)計(jì)了一組前后相生的問題：第一層基本練習(xí)，旨在鞏固、熟練公式;第二層設(shè)計(jì)實(shí)踐應(yīng)用，使學(xué)生對三角形面積和等底等高平行四邊形的面積之間的關(guān)系加深理解;第三個(gè)層次，主要訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性與逆向思維能力，掌握怎樣選擇底和高，已知面積怎樣求高。在這組練習(xí)中教師不只關(guān)注答案是什么，更要關(guān)注運(yùn)用，如果教學(xué)中過多關(guān)注技能而對思維操作訓(xùn)練沒有進(jìn)行深加工，學(xué)生很難在課外再進(jìn)行深入體驗(yàn)，而技能的訓(xùn)練還可以在課外和后續(xù)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步得以落實(shí)。

（責(zé)編 金 鈴）endprint