數學建模在中學教學中的應用

溫州技師學院 繆海芬

數學建模在中學教學中的應用

溫州技師學院 繆海芬

數學建模回應了教育界提出的“以問題為紐帶的教學”這一教育新理念，學習數學建模順應了當前教學改革的需要。中學階段，數學建模是貫穿整個數學課程的重要內容，滲透在每個模塊或專題中。本文采用建立相關初等數學模型的建模方法，以若干個初等數學模型為例，介紹初等數學模型的組建及應用，以期為中學數學建模教學提供參考。

數學模型 函數模型 不等式模型 數列模型

一、引言

數學模型是架于數學理論和實際問題之間的橋梁，它是解決問題的常用方法，常用來解決一些實際問題。它要求學生把實際問題轉化為一些具體的數學問題，從而使問題獲得解決。中學教材重視數學建模與應用，主要體現在數學建模作為問題解決的重要工具之一．中學階段，數學建模是貫穿整個數學課程的重要內容，滲透在每個模塊或專題中。本文以若干個初等數學模型為例，介紹初等數學模型的組建及應用，以期為中學數學建模教學提供參考。

二、中學數學建模舉例

中學數學建模的模型常見的主要有函數模型、不等式模型、方程模型。

1.函數模型

用函數的觀點解決實際問題是中學數學中最重要、最常用的方法。兩個變量或幾個變量，凡能找到它們之間的聯系，并用數學形式表示出來，建立起一個函數關系（數學模型），然后運用函數的有關知識去解決實際問題，這些都屬于函數模型的范疇。

案例1：函數的應用舉例

以下是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值表：

身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170體重/kg 6．13 7．90 9．99 12．15 15．0217．50 20．92 26．86 31．11 38．85 47．25 55．05

根據表中的數據，建立該地區未成年男性體重與身高的函數模型，并分析和討論。規定體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，問該地區某中學一男生身高為175cm，體重為78kg，他的體重是否正常？

Step1.模型假設

（1）該地區未成年人人數固定。

（2）假設體重只與身高相關，忽略其他一切因素。

Step2.建立模型

用計算機擬合表中數據，畫出散點圖（圖1）：

根據散點圖的形狀判斷，我們猜測在該地區，體重與身高的關系為y=a?bx。

Step3.求模型參數

任選兩組數據代入y=a?bx，近似求出參數a,b，所選式子的待定常數的值。

例如，選數據x=70,y=7.90和x=160,y=47.25，代入

所以，該地區未成年男性體重關于身高的近似函數關系式可選為y=2×1.02x。

Step4.檢驗

將已知數據代入所得函數解析式，或作出所得函數的圖象（圖2），可知所求函數能較好地反映該地區未成年男性體重與身高的關系。

把表中數據代入函數y=2×1.02x，檢驗函數值是否與已知體重數據基本吻合。

Step5.模型的改進

為了使所求得的參數a,b的值更精確，可采用參數估計法，例如線性回歸模型求參數，并進行各種檢驗或殘差分析等。

2.不等式模型

在現實生活中，存在著大量的不等關系，例如投資決策、生產規劃、追求利潤、人口控制、環境保護、交通運輸等問題的求解過程，都可歸結為不等關系的論證與求解。利用不等式知識解決實際問題，將實際問題中的一些變量如何對應轉化到這些模型中去，是解決問題的關鍵。

案例2： 飲料罐制造用材問題

問題：怎樣使飲料罐制造用材最省？

模型假設：

（1）把飲料罐假設為圓柱體。

（2）假設用金屬（如鋁材）制造飲料罐，并設其厚度為b。

（3）設飲料罐各部分厚度均勻，即飲料罐上、下底和側面的厚度相同。

（4）制造中不考慮折邊（焊接）長度。

引入參數：罐裝飲料的體積為V，半徑為r，圓柱高為h，制罐用材的總面積為A。

模型建立和求解：

制罐用材的總面積A，即A=(2πr2＋2πrh)b。

討論和改進：由上知，罐高h為半徑r的2倍，即罐高與直徑相等時，飲料罐制造用材最省。事實上，測量幾家著名的飲料如可口可樂、百事可樂、健力寶等飲料罐后，發現其高和半徑的比約為4：1。難道它們都沒發現h:r=2:1時，用材最省嗎？查閱相關資料后，得知由于飲料罐上底的厚度比罐的其它部分厚，一般厚三倍左右。因此，假設（3）進一步改為“飲料罐上底的厚度為3b, 其它部分為b”。

3.方程模型

霍金曾說，科學家和工程師喜歡用方程的形式表達他們的思想，因為方程是描述數學思想簡明而精確的方法和手段，有了方程就能夠得到數量的準確值。

案例1 ：“錘子、剪刀、布”

問題背景：約定：“布”贏“錘子”得9分，“錘子”贏“剪刀”得5分，“剪刀”贏“布”得2分。小明和某同學玩游戲過程中，小明贏了21次，得108分。列出各種可能的贏法。

分析：這是一個簡單的一次不定方程,由初中二元一次方程組的應用題改編而成。

Step1.問題假設

①假設約定：“布”贏“錘子”得9分，“錘子”贏“剪刀”得5分，“剪刀”贏“布”得2分。

②假設“小明贏了21次，得108分”符合客觀事實。

Step2.模型建立

設“布”贏“錘子” 為x次，“錘子”贏“剪刀”為y次,“剪刀”贏“布”為z次, （x,y,z均為正整數）。

由問題得不定方程

Step3.模型求解

方程⑴有若干組正整數解，利用maple語句：

＞ for z from 0 to 21 do

isolve({x+y+z=21,9*x+5*y+2*z=108});

od;

很容易求得解為：

{x=3,y=15,z=3},{x=6,y=8,z=7},{x=9,y=1,z=11}

Step4.小結

本題中，小明贏了21次，得108分，共有三種贏法，列表如下：

“剪刀”贏“布”第一種 3 15 3第二種 6 8 7第三種 9 1 11“布”贏“錘子”“錘子”贏“剪刀”

Step5.討論

在不考慮客觀事實下，即將贏的次數或總得分任意更改，則所有的可能贏法會相應改變，例如：

①將“21次、108分”改為 “21次、142分”，則有兩種贏法：

｛x=10,y=10,z=1｝,{x=13,y=3,z=5}；②將“21次、108分”改為 “21次、45分”，則有一種贏法：｛x=0,y=1,z=20｝；③將“21次、108分”改為 “21次、32分”，則無解。如果更改假設①的約定，則贏法種類又會相應變化。利用maple編程很容易得到。

三、結論和討論

數學建模能幫助我們獨辟蹊徑，簡潔有效地解決一些實際問題。在數學教學過程中，要選擇具有關鍵作用的變量及相應的數學工具，從而使復雜問題簡單化，具體問題抽象化。最后將實際數據代人數學模型，即模型的應用。在高中階段，教材非常重視數學建模與應用,數學建模是貫穿整個數學課程的重要內容，并滲透在每個模塊或專題中，在教學中不斷進行研究性學習，并不斷加以完善，以發展的眼光豐富中學數學建模的內容。

[1]姜啟源．數學模型（第二版）[M]．北京:高等教育出版社，1998

[2]劉來福，曾文藝．數學模型與數學建模[M]．北京:北京師范大學出版社，1998

[3]黃忠裕．初等數學建模[M]．成都:四川大學出版社，2004

[4]人民教育出版社中學數學室．全日制普通高級中學教科書（必修）數學第一冊（上）[M]．北京:人民教育出版社，2003

ISSN2095-6711/Z01-2015-08-0191