基于分類解耦模糊PID 控制的倒立擺系統

呂 志

(商丘師范學院 物理與電氣信息學院，河南 商丘476000)

倒立擺系統是一種典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的自然不穩定系統［1］。對于這樣一個復雜系統各國學者做了大量的研究工作，從理論上涉及到系統控制中的許多關鍵問題:如非線性問題、魯棒性問題、鎮定問題、隨動問題以及跟蹤問題等［2－5］。

以倒立擺系統為研究對象，通過對數學模型分析，采用一種分類解耦的線性化方法。隨著理論的發展，模糊PID 控制算法作為一種非線性智能控制方法，已在多變量、非線性等復雜系統的控制中發揮了重要的作用，為此文中將模糊PID 控制應用于倒立擺系統中，最后通過Matlab 仿真證明該設計方案的有效性與優越性。

1 倒立擺系統模型及其線性化

如圖1 所示，將倒立擺系統看作為小車和勻質桿件組成的系統。根據其結構和動力學原理，可以建立倒立擺系統的數學模型［6－9］。

圖1 倒立擺系統原理示意Fig.1 Diagram of inverted pendulum system principle

其中，小車質量為M，擺桿質量為m，在小車上的控制力為F，擺桿轉動慣量為I，擺桿轉動軸心到桿質心長度為l，x 代表小車位移，φ 代表擺桿與豎直向上方向的夾角，小車的摩擦系數為b，重力常數g;且有擺桿擺角θ = π + φ。

由于研究該系統的主要目的是使倒立擺在外力的作用下小車上的擺桿仍然保持目標狀態，即豎直向上的狀態，所以擺桿產生的擺角幅度較小，為此認為:φ ＜＜1，則有如下關系近似成立:cosθ ≈－1，sinθ ≈θ，˙θ2≈0，帶入上式方程可得式(2):

由方程(2)可以看出，該系統有4 個輸入變量即為(˙x，x，˙θ，θ)，將式(2)整理為矩陣形式可以得到式(3):

由式(3)可見，系統中變量、位移x 與擺桿擺角θ 之間存在一定的耦合關系，不能直接實現閉環控制，所以先對變量進行線性化解耦。在解耦的過程中，考慮到輸入變量為位移與速度兩大類，屬于二維變量。為了便于實現控制，對控制變量進行分類解耦，具體方法是將式(3)中¨x，θ¨參數進行轉換，即可得到式(4)。式(4)實現了對系統變量的線性化解耦。

為此，系統中變量位移x 與變量擺桿擺角θ 之間的耦合關系通過式(4)分類解耦實現了線型處理，從而可以分別對其設計模糊PID 控制器，不必擔心2 個變量間的互相干擾問題。

2 模糊PID 的控制器設計

如上所述，倒立擺系統是一個多變量、非線性、強耦合不穩定的高階系統，其系統的控制目標是系統在外力的干擾下擺桿仍然保持豎直向上的狀態。然而，根據該系統自身的特點，即在對倒立擺擺桿角度進行控制的同時，還應對倒立擺系統的小車位置進行輔助控制，因此提出擺角與位置分類解耦控制。

為了最簡單化的實現目標控制，文中在變量分類解耦的基礎上，提出基于分類解耦模糊PID 控制方案，即在經典控制理論算法上，建立其模糊控制規則，然后再通過對倒立擺系統誤差及誤差變化率的計算，最終實現對倒立擺系統PID 參數的最佳調整。其結構如圖2 所示。

圖2 分類解耦模糊PID 控制結構Fig.2 Structure diagram of classification decoupling fuzzy PID control

模糊自整定PID 控制器以誤差e 和誤差變化率˙e 作為輸入，PID 參數kp，ki，kd 作為輸出。根據前面的分類解耦，已將系統的4 個輸入變量轉化成兩個獨立的兩輸入三輸出的變量系統。在此只需設計兩個模糊控制函數即可。這里將誤差和誤差變化率作為模糊控制器的兩個輸入、輸出分別為擺桿擺角與小車位移。

文中采用三角隸屬度函數來定義輸入、輸出變量，并取每個輸入輸出變量有5 個模糊子集，對其定義為負大(NB)，負小(NS)，零(Z0)，正小(PS)，正大(PB)。同時根據隸屬度函數與仿真觀察，可分別確定各模糊控制器輸入輸出變量的論域和量化因子如表1 所示。根據仿真驗證采用的模糊控制規則如表2 ～3 所示。

表1 各模糊控制器輸入輸出變量的論域和量化因子Tab.1 Domain and quantitative factors of kinds of fuzzy controller input and output variables

表2 位置模糊規則Tab.2 Table of position fuzzy rules

表3 擺角模糊規則Tab.3 Table of pendulum angle fuzzy rules

3 仿真實驗

文中取小車的質量M = 2 kg，擺桿質量m =0.1 kg，倒擺長度l = 0.5 m，擺桿轉動慣量為I =0.02 kg·m2，小車的摩擦系數為b =5 kg/s;并設定該系統中小車的初始位置為0.5 m，擺桿的初始擺角為0.1 rad。對上述倒立擺控制系統進行仿真，其仿真實驗結果如圖3，4 所示。其中，圖3 為分類解耦下的模糊PID 控制仿真結果，圖4 為分類解耦下的常規PID 控制仿真結果。

圖3 模糊PID 控制仿真結果Fig.3 Fuzzy PID control simulation results

圖4 常規PID 控制仿真結果Fig.4 Conventional PID control simulation results

由此可以看出，使用模糊PID 控制方案不但使系統達到了所要求的性能指標，而且用該控制策略的性能明顯優于僅僅采用常規PID 控制的性能品質，它有效地縮小了系統的超調量，縮短了穩定時間，減少了系統的輸出振蕩，同時也提高了系統的魯棒性能。

4 結 語

針對倒立擺系統是一個多變量、非線性、強耦合不穩定的高階系統，通過對倒立擺系統數學模型分析，采用了一種分類解耦的線性化方法，對分類偶的變量分別進行模糊PID 控制，然后使兩種控制器在不同范圍內發揮其各自優勢，即在誤差和誤差變化率都不大的情況下，發揮PID 控制精度高、穩態特性好的優勢，在誤差和誤差變化率較大的情況下發揮模糊控制器的抗干擾能力強和快速性的優勢。仿真結果表明，這種控制器不但降低了PID 參數整定的難度，提高了系統的動態性能與穩態性能，而且提高了系統的魯棒性。

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