大功率直線感應電動機推力脈動研究

聶世雄， 孫兆龍， 馬偉明， 馬名中， 許金， 魯軍勇， 張育興

(海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，湖北武漢430033)

0 引言

直線感應電動機(linear induction motor，LIM)在汽車加速碰撞試驗、電磁發射等大載荷運輸場合的應用受到越來越高的關注［1－3］，且隨著負載質量及出口速度的增加，直線電機的功率日益增大。為了滿足高速度要求，直線電機設計為雙邊長初級短次級結構且次級不含鐵心僅為一塊鋁板，磁路在雙邊初級鐵心形成閉合回路。邊端效應是直線電機初級鐵心和次級開斷所致的固有效應［4－5］，該效應會引起電機電磁推力不同頻率的脈動。靜態縱向邊端效應是由直線電機初級鐵心的開斷所致，表現出來為電機各相互感不對稱，即通入各相對稱電壓，各相電流不平衡［6－8］，其中負序電流會引起推力工作頻率兩倍頻的脈動。動態縱向邊端效應是由次級的開斷所致，即在次級運動過程中，次級進入端的表面磁場是從空載氣隙值減小到氣隙合成值，次級滑出端是從氣隙合成值增大到空載氣隙值［9］。表現出來的即為次級邊端感應渦流局部增加，且產生一個轉差頻率兩倍頻的推力脈動。推力脈動的存在增加了電機高平穩控制的困難，因此很多文獻對如何在控制過程中消除邊端效應的影響進行了較為詳細的研究，其方法主要是對等效電路和參數進行修正［10－17］。雖然這些邊端效應補償方法在仿真和試驗驗證中起到了一定的效果，但沒有文獻對上述雙邊長初級短次級直線感應電動機的靜態和動態縱向邊端效應對電磁推力的影響機理、推力脈動頻率和推力脈動幅值進行過系統、詳細的研究。

本文首先根據直線感應電動機電磁推力表達式推導得到了靜態和動態縱向邊端效應所引起推力脈動頻率。然后建立直線電機電磁分析模型，基于電磁場方程對動態縱向邊端效應的影響機理進行了解析計算，得到了計及動態縱向邊端效應時次級感應渦流的分布規律，據此計算得到了動態縱向邊端效應所引起的推力脈動幅值及其和電機參數的關系。上述分析計算結論的正確性通過峰值功率20MW，最大出力900kN的大功率直線感應電動機實驗系統靜態推力測試進行了驗證。

1 推力脈動頻率分析

假設直線感應電動機為三相電機，且沿次級運動方向的繞組分布為 A+C－B+A－C+B－。，由于靜態縱向邊端效應的影響，電機三相互感不相等［8］，在施加對稱電壓的情況下，直線電機初級三相電流不平衡，經對稱分量變換后分別存在正序、負序和零序分量;同理由于動態縱向邊端效應的影響，直線電機次級三相電流也不平衡，經對稱分量變換后分別存在正序、負序和零序分量。零序電流產生的脈振磁場對電磁推力沒有影響，因此在后續的分析中不予考慮，于是可以得到直線電機初級和次級電流分別如式(1)、(2)所示。

其中:I為電流幅值，ψ為相位角，ω為電角頻率，下標s，r分別代表初級量和次級量，下標1，2分別代表正序和負序分量，ωs為轉差電角速度。

電磁推力的表達式如式(3)所示。

其中:F為電磁推力，β為線速度角速度轉換系數，且有 βg=π/τ，Lm為激磁電感。

分別將初級和次級電流帶入到推力表達式可以得到:

電磁推力公式共包括四項表達式，其中第一項為初級和次級電流正序分量產生的做有用功的電磁推力，在電機參數和電流確定的情況下，該推力為一恒定值;第二項為初級電流的正序分量和次級電流的負序分量產生的推力脈動，脈動頻率為轉差頻率的兩倍;第三項為初級電流的負序分量和次級電流的正序分量產生的推力脈動，脈動頻率為工作頻率的兩倍;第四項為初級和次級電流的負序分量產生的推力脈動，由于初級電流的負序分量和次級電流的負序分量和正序分量相比差近一個數量級，因此二者的乘積基本可以忽略不計。

綜上，由于直線感應電動機固有的靜態縱向邊端效應和動態縱向邊端效應的影響，電機電磁推力存在兩個頻率的脈動:靜態縱向邊端效應引起工作頻率兩倍頻的脈動，動態縱向邊端效應引起轉差頻率兩倍頻的脈動。其中工作頻率兩倍頻的脈動大小取決于初級電流的負序分量和次級電流的正序分量，轉差頻率兩倍頻的脈動大小取決于初級電流的正序分量和次級電流的負序分量。文獻［8］對電機靜態縱向邊端效應的影響機理進行過詳細的研究，并得到了其影響規律和電機極數及邊端鐵心的關系。這里將重點分析由動態縱向邊端效應所致的轉差頻率兩倍頻推力脈動的影響規律。

2 動態縱向邊端效應解析分析

2.1 電機模型及假設條件

電機分析模型包括一個充滿整個氣隙g的次級鋁板，這種結構和鋁板只占氣隙的一部分是等價的，只是此時次級的等效導電率為σ(w/g)，其中σ為次級鋁板材料的體導電率，w為次級板厚度的一半。為便于分析，以次級作為參考坐標系，且沿長度方向定義為變量x，初始位置(x=0)為次級板的最左側，次級的長度等于電機極距的m倍，即mπ/β，其中β=π/τ。模型示意圖如圖1所示。

圖1 直線電機分析模型Fig.1 Model of LIM

為了便于分析，需要對模型進行簡化，因此做如下假設:

1)氣隙為常數，即定子表面到次級的中心線距離為常數;

2)定子繞組為正弦分布，即忽略繞組諧波效應;

3)忽略橫向邊端效應;

4)和極距相比，氣隙足夠小，即可以利用一維磁路法來求解;

5)假設電機鐵心不飽和。

2.2 電磁場方程

2.2.1 電機激勵

次級感應渦流的激勵源是定子電流產生的磁場。磁場強度定義為Hs，該激勵相對于次級以轉差角速度ωs在運動，于是激勵源可以表達為:

其中:hs為激勵源的幅值，為常數，和定子電流層的幅值K有關:

K取決于繞組布置方案，且和線圈的電流密度幅值相關。

2.2.2 電磁場方程

次級鋁板感應渦流產生的磁場強度定義為T，則根據麥克斯韋方程組的安培定律，可以得到次級鋁板的感應渦流J如下式所示。

氣隙磁場的磁場強度等于定子繞組電流產生的磁場強度和次級感應渦流產生的磁場強度之和，如下式所示。

其中:H為氣隙磁場強度，Hs為定子繞組電流產生的磁場強度。

可以繼續寫出Faradays電磁感應定律的積分形式:

考慮到次級板和氣隙的相對磁導率為μ0，我們可以將Faradays電磁感應定律的積分形式依據之前定義的變量得到其穩態形式:

將系數提出，根據T的散度為零可以得到:

為了簡化方程描述，調用一個“邊端系數”:

根據該系數，可以得到次級板上的感應渦流分布方程:

根據該方程可以求解得到考慮邊端效應時的次級感應渦流，從該方程同樣可以得到推力的修正系數，這是一個關于空間變量x的二階微分方程。

2.3.3 邊界條件:

為了解決上述二階微分方程，必須在次級板邊端設置邊界條件，邊界條件如下:

1)電流分布在次級板內部;

2)當x趨于無窮時，與次級相關的干擾可以忽略。

這些標準和下列數學式等價:

次級板上的凈電流等于次級邊端電矢位T的微分，只要次級邊端值相同，電流守恒即滿足(基爾霍夫電流定律)。設置T=0，則次級電流在次級外的區域沒有影響，令無窮遠處的磁場為源磁場。

2.3.4 方程求解

對次級內部的T進行求解可以分成兩個部分:

1)考慮次級板對場源反應時/將次級板視為無窮大的解法/在次級的邊端不滿足/T=0的條件/，將該部分定義為T1;

2)因補償邊界條件產生的次級邊端局部擾動，定義該部分為T2。

因為T1部分的解法類似于將次級視為無窮長，故具體求解過程不再贅述，結果如下:

注意到次級邊端(x=0，mπ/β)存在如下條件:

現在，T2解法滿足如下邊界條件的解法的一部分:

且滿足如下邊界條件:

利用常規的微分方程求解方法，可以得到:

這種形式的求解結果并不直觀，如果次級極數足夠多，邊端效應基本沒有影響，上述解法和考慮邊端效應的指數衰減擾動較為接近:

那么，次級板的總電流分布式如下(利用T2的近似表達式):

所以次級板的電流密度為:

其中g/w系數為實際的次級寬度和總的氣隙比，將上式展開即可得到電流密度的表達式:

根據上述解析表達式不難得到動態縱向邊端效應所引起的次級感應渦流脈動及其隨參數變化規律:

1)次級邊端存在較大電流脈動，會引起次級局部過熱;

2)當sm增加時邊端效應脈動增加;

3)sm增加時，邊端效應脈動在短距離內削弱。

3 電磁推力計算

既然已經得到次級板感應渦流的解答方法，該方法同樣適用于推導出相對于無限長次級板模型的電磁推力。電磁推力通過在整個次級板內的區域對JxB積分得到，對于一半厚度的次級板，單位定子長度產生的推力為:

注意到既然次級板邊端效應表現出(等效三相電流)不平衡性，因此其推力應該會出現轉差頻率兩倍頻的波動(定子側的三相電流不平衡會出現推力的供電頻率兩倍頻的波動)，為了正確的得到該分量，積分中利用的J和Hs均是時間的函數。

電磁推力的綜合表達式非常復雜和繁瑣，電磁推力的穩態部分(sm＞0)為

其中上述表達式的第一部分為忽略邊端效應時m極次級的推力，第二個部分則為邊端效應引起的電磁推力。有趣的是，邊端效應所引起的推力在轉差頻率為 1 +時為正向推力，過了該點后則為反向推力。該電磁推力的震蕩頻率為轉差頻率的兩倍，其幅值為:

將電機參數帶入，利用Matlab繪圖可以得到兩個推力隨轉差頻率的變化關系分別如圖2和圖3所示。

圖2 不考慮邊端效應的電磁推力隨轉差頻率變化曲線Fig.2 Curve of thrust vs.slip frequency

圖3 推力脈動峰值隨轉差頻率變化曲線Fig.3 Curve of thrust ripple vs.slip frequency

在電流和轉差頻率一定的情況下，不考慮邊端效應時的推力為一恒定值，而邊端效應引起的推力脈動幅值和頻率也是固定的，假設不考慮電流上升過程，電流維持3 s內的計算推力波形如圖4所示。

圖4 固定電流和轉差頻率時的推力曲線Fig.4 Curve of thrust at fixed slip frequency and current

以15極次級為例，設計轉差頻率約為1 Hz，對于該情況，脈動系數約為3.6%。由于推導該公式時坐標定位在次級上，且忽略定子和次級的速度差，故該公式適用于低轉差頻率的工況，即次級速度約為同步速度。

4 試驗驗證

本文試驗數據來自大功率直線感應電動機，最大出力900 kN，峰值功率20 MW。性能測試主要是堵轉工況時的電磁推力測試。試驗系統以儲能電機作為試驗電源，經過整流器和逆變器轉換成所需的頻率和幅值的三相電壓給直線感應電動機供電，利用高精度LEM電流霍爾傳感器、高壓探頭以及高采樣頻率數據采集系統采集電機端口電壓、電流波形。電磁推力采用拉力計測量(量程100噸，精度0.1噸)。直線感應電動機及其試驗設備如圖5所示。

圖5 大功率直線感應電動機試驗裝置Fig.5 Experimental facility of LIM

6 000 A、4 Hz的靜態推力測試工況下的實測電流曲線如圖6所示，實測推力曲線如圖7所示。

圖6 實測三相電流波形Fig.6 Experimental current waveform

圖7 實測推力波形Fig.7 Experimental thrust waveform

由于電流閉環控制克服了靜態縱向邊端效應，據圖6可看出三相電流對稱性較好，可忽略靜態縱向邊端效應引起的工作頻率兩倍頻的脈動。觀察圖7所示的推力曲線不難看出存在一個轉差頻率兩倍頻(8Hz)的脈動，脈動系數約為5.9%，該脈動即為動態縱向邊端效應引起，根據脈動系數計算公式可以得到脈動系數為7.2%，和實測值吻合較好。

另外，根據圖6和圖7可以看出在通電時間內電流和推力在逐漸減小，這主要是因為瞬時大電流導致電機鐵心和繞組發熱從而引起電機阻抗增加，在電壓不變的情況下，電流會逐漸減小。由于轉差頻率沒有變化，因此電流的減小會導致推力逐漸降低。

5 結論

本文對直線電機固有的邊端效應引起的推力脈動進行了研究，其中重點利用簡化模型推導得到動態縱向邊端效應對電機次級鋁板感應渦流及推力性能的影響，并得到如下結論:

1)直線電機電磁推力存在兩個頻率的脈動:靜態縱向邊端效應引起工作頻率兩倍頻的脈動，動態縱向邊端效應引起轉差頻率兩倍頻的脈動。

2)動態縱向邊端效應導致次級鋁板邊緣產生較大電流脈動，從而導致次級邊端局部過熱。

3)動態縱向邊端效應導致次級等效三相電流不均衡，故產生的電磁推力存在一個兩倍轉差頻率的脈動，脈動系數約為3.6%;

4)在低轉差頻率的前提下可以利用分析所得的公式計算由動態縱向邊端效應引起的推力脈動。

如何利用上述分析結論并通過控制算法消除邊端效應對電機電磁推力的影響，從而達到對負載平穩加速的目的，尚需進一步研究。

［1］DOYLE M R，SAMUEL D J，CONWAY T.Electromagnetic aircraft launch system-EMALS［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1995，31(1):528 －533.

［2］DOYLE M，SULISH G，LEBRON L.The benefits of electromagnetically launching aircraft［J］.Naval Engineering Journal，2000，112(3):77－82.

［3］WOLCOT B.Induction for the birds［J］.Mechanical Engineering，2000，122(2):66 －70.

［4］龍瑕令.直線感應電動機的理論和電磁設計方法［M］.北京:科學出版社，2006:38.

［5］葉云岳.直線電機原理與應用［M］.北京:機械工業出版社，2000:41－45.

［6］魯軍勇，馬偉明，李朗如.高速長初級直線感應電動機縱向邊端效應研究［J］.中國電機工程學報，2008，28(30):73 －78.LU Junyong，MA Weiming，LI Langru.Research on longitudinal end effect of high speed long primary double-sided linear induction motor［J］.Proceedings of the CSEE，2008，28(30):73 －78.

［7］魯軍勇，馬偉明，孫兆龍，等.多段初級直線感應電動機靜態縱向邊端效應研究［J］.中國電機工程學報，2009，29(33):95－101.LU Junyong，MA Weiming，SUN Zhaolong，et al.Research on static longitudinal end effect of linear induction motor with multisegment primary［J］.Proceedings of the CSEE，2009，29(33):95－101.

［8］孫兆龍，馬偉明，魯軍勇，等.長初級雙邊直線感應電動機靜態縱向邊端效應及阻抗矩陣研究［J］.中國電機工程學報，2010，30(18):72 －77.SUN Zhaolong，MA Weiming，LU Junyong，et al.Research of static longitudinal end effect and impedance matrix for long primary double-sided linear induction motors［J］.Proceedings of the CSEE，2010，30(18):72 －77.

［9］魯軍勇，馬偉明，許金.高速長初級直線感應電動機縱向邊端效應研究［J］.中國電機工程學報，2008，28(30):73 －78.LU Junyong，MA Weiming，XU Jin.Longitudinal end effect research of high speed long primary linear induction motors［J］.Proceedings of the CSEE，2008，28(30):73 －78.

［10］FUJII N，HOSHI T，TANABE Y.Methods for improving efficiency of linear induction motor for urban transit［J］.Mechanical Systems，Machine Elements and Manufacturing，2004，47(6):512－517.

［11］KIM Daekyong，KWON Byungil.A novel equivalent circuit model of linear inductionmotor based on finite element analysis and its coupling with external circuits［J］.IEEE Trans Magn，2006，42(10):3407－3409.

［12］DOLINAR D，STUMBERGER G，GRCAR B.Calculation of the linear induction motor model parameters using finite element［J］.IEEE Trans Magn，1998，34(5):3640－3643.

［13］AHN Sungchan Jr，LEE Jungho，HYUN Dongseok.Dynamic characteristic analysis of LIM using coupled FEM and control algorithm［J］.IEEE Trans Magn，2000，36(4):1876 －1880.

［14］IM D H，KWON B I，LEE J H.Dynamic characteristics analysis of LIM’s vector control using FEM［J］.Proceedings of LDIA’95，1995:307－310.

［15］IM D H，KIM C E.Finite element force calculation of a linear induction motor taking account of the movement［J］.IEEE Trans on Magnetics，1994:30(5):3495 －3498.

［16］DUNCAN J，ENG C.Linear induction motor-equivalent-circuit model［J］.Proc Inst Electr Eng，1983，130(1):51 －57.

［17］PAI R M，BOLDEA I，NASAR S A.A complete equivalent circuit of a linear inducion motor with sheet secondary［J］.IEEE Trans Magn，1988，24(1):639－654.