改進模型參考自適應控制及其在解耦控制中的應用

李杰， 齊曉慧， 劉新海， 湯子鑫， 韓帥濤

(1.軍械工程學院無人機工程系，河北 石家莊 050003 2.總裝備部南京軍事代表局駐福州地區軍事代表室，福建 福州 350000;3.解放軍63880部隊，河南 洛陽 471000)

改進模型參考自適應控制及其在解耦控制中的應用

李杰1， 齊曉慧1， 劉新海1， 湯子鑫2， 韓帥濤3

(1.軍械工程學院無人機工程系，河北 石家莊 050003 2.總裝備部南京軍事代表局駐福州地區軍事代表室，福建 福州 350000;3.解放軍63880部隊，河南 洛陽 471000)

提出了一種基于擴張狀態觀測器(extended state observer，ESO)的任意參考模型自適應控制方法，解決了被控對象狀態信息不可測以及存在不確定因素導致模型參考自適應控制(model reference adaptive control，MRAC)效果變差甚至使系統不穩定的問題。在簡述ESO數學模型的基礎上提出了基于ESO的模型參考自適應控制方法并進行了嚴格的穩定性分析，仿真結果表明所設計方法具有跟蹤速度快、穩態誤差小、控制量小以及參考模型容易選擇等特點。然后，提出基于改進MRAC的解耦控制方法并應用于三輸入三輸出的四旋翼飛行器姿態控制系統解耦控制，仿真結果表明該解耦控制方法具有魯棒性好的特點。該方法無需按照通常的做法設計神經網絡對不確定因素導致的誤差進行補償，大大簡化了控制器設計過程。

模型參考自適應控制;擴張狀態觀測器;解耦控制;四旋翼飛行器;姿態控制

0 引 言

針對因被控對象存在不確定性和外界干擾而難以控制的問題，人們提出了自適應控制理論。目前，有多種不同類型的自適應控制系統，如模型參考自適應控制系統、自校正控制系統、智能自適應控制系統及其他形式的自適應控制系統。但從理論研究成果和實際應用情況來看，應當首推模型參考自適應控制系統和自校正控制系統［1］。

采用可調系統的狀態變量構成模型參考自適應控制律的設計方案，需要準確獲得對象的全部狀態信息，這對許多實際系統來說往往是不現實的，設計一個自適應觀測器來估計對象的未知參數和狀態是一種解決方案［2］。此外，許多文獻［3-8］對輸出反饋自適應進行了研究，以規避狀態信息難以獲得的問題，但輸出反饋自適應在同等條件下要遜色于狀態反饋自適應。

實際系統往往存在外界干擾和測量噪聲，系統建模時還可能存在未建模動態，而基于穩定理論設計的自適應律嚴格地說只能保證理想系統的穩定。自適應控制系統是一個非線性系統，在設計模型參考自適應控制時，應當考慮簡化模型、外擾和噪聲對系統的影響，否則穩定性得不到保證，這就提出了模型參考自適應系統的魯棒性問題［2］。為了克服系統存在未建模動態及外擾等不確定因素時自適應控制器性能降低甚至不穩定的不足，很多文獻［9-13］利用神經網絡可以逼近任意非線性映射的能力，對不確定因素導致的誤差進行補償，獲得了較好的效果。但神經網絡的設計往往較為復雜，不同的網絡本身也存在一些不足，這增加了解決實際問題的難度［14-16］

中科院韓京清研究員設計的擴張狀態觀測器能同時估計對象的狀態信息以及系統存在的未建模動態和外擾［17］?；?，提出基于擴張狀態觀測器的模型參考自適應控制，克服被控對象狀態信息不可測以及存在不確定因素導致控制效果變差甚至不穩定的問題，尤其是無需按照通常的做法設計神經網絡，大大簡化了控制器設計過程。同時，只要ESO設計合適，參考模型在與被控對象同階并滿足期望的性能指標前提下幾乎是可以任意選擇的，無需考慮被控對象的結構，這為高階尤其是非線性的高階被控對象參考模型的選擇提供了極大便利。此外，利用擴張狀態觀測器還能有效地解決多輸入多輸出系統的解藕控制問題，且較傳統的動態逆方法具有獨特優勢，因為傳統的動態逆方法對系統數學模型的準確性要求很高(亦即魯棒性差)［18-20］，而利用擴張狀態觀測器解決這個問題具有簡單、魯棒性的特點。

本文在介紹ESO的數學模型的基礎上提出了一種基于ESO的模型參考自適應控制方法并進行了穩定性分析，進而通過實例仿真對其控制效果進行驗證分析;然后，提出基于ESO-MRAC解藕控制方法并應用于三輸入三輸出的四旋翼飛行器姿態控制，最后通過仿真與動態逆方法進行了對比。

1 擴張狀態觀測器的數學模型

設受未知外擾作用的非線性不確定對象為:

其中，w(t)未知外擾，f(x，x.，…，x(n-1)，w(t))(簡寫為f(.)，下同)為系統模型(包括已知模型部分和未建模動態)和外擾的總和，u及y分別為系統輸入和輸出，b0為已知常數。取上述對象的狀態變量為x (t)，x.(t)，…x(n)(t)，假設f(.)是可微的且令h(x，w)=f′(.)，令xn+1(t)=f(.)稱為系統的擴張狀態變量，則系統擴張的狀態方程為:

對這個擴張的系統可建立如式(3)所示線性狀態觀測器(LESO)，方程組如下:

其中，l1，l2，...，ln+1為待選取為正的常系數。這個系統能夠很好地估計系統(2)的各狀態變量以及被擴張狀態變量，即x?1(t)→x1(t)，…，x?n(t)→xn(t)，x?n+1(t)→xn+1(t)=f(.)。有了這個被擴張狀態xn+1(t)的估計值x?n+1(t)，控制量可以取成u=u0-x?n+1(t)/ b0，對象變成

美國克里夫蘭州立大學高志強給出了用帶寬確定LESO參數的簡便方法［21］?？紤]一特殊情況，選增益如下:

［l1l2…ln+1］=［ω0α1ω20α2…ωn+10αn+1］，(5)其中，ω0＞0，αi，i=1，2，…，n+1的選擇要使特征多項式sn+1+α1sn+…+αns+αn+1滿足勞斯判據。為簡便，使sn+1+α1sn+…+αns+αn+1=(s+1)n+1，其中，。這樣線性狀態觀測器的特征多項式變為:λ0=(s+ω0)n

并且觀測器的帶寬ω0成為了唯一可調參數。

2 基于ESO的模型參考自適應控制

2.1 基于ESO的模型參考自適應控制律設計

如圖1為所設計的基于ESO的模型參考自適應控制器結構圖。圖中i=1，2，..，(n-1)，取［r1，。只要整定的擴張狀態觀測器參數合理，估計狀態能很好地跟蹤真實狀態，理想狀態下

圖1 基于ESO的模型參考自適應控制器結構圖Fig.1 Block diagram of MRAC based on ESO

設被控對象形如式(1)所示，參考模型為:

則被控對象輸入

將式(9)代入式(10)，可得

進而可得

又根據假設條件

則可認為

取系數ki(i=1，2，..，n)為定常數，對于這樣一個高階常系數齊次線性微分方程，其特征方程為

將式(16)右邊展開，可解算得到ki(i=1，2，..，n)?？紤]最簡單的情況，即特征方程具有單負實根，則跟蹤誤差

2.2 穩定性分析

文獻［22-23］從不同理論角度分別證明了LESO在一大類干擾下的觀測誤差有界，給出了LESO穩定性的理論依據，文獻［24］對非線性擴張狀態觀測器(NLESO)的收斂性進行了證明。結合這些成果，這里給出基于LESO的模型參考自適應控制系統穩定性的證明。證明分兩步，第一步證明LESO的狀態估計誤差有界，第二步證明LESO的狀態估計誤差有界情況下系統是穩定的，跟蹤誤差是有界的。

2.2.1 證明LESO的狀態估計誤差有界

其中，

按照前述帶寬概念確定的αi(i=1，2，…，n+1)使得矩陣A滿足勞斯判據。

定理1 如果h(x，w)是有界的，那么存在一個常數σi和一個有限T1＞0，對于任意的t≥T1＞0和 ω0＞0，使得。其中，σi，k是正整數。

證明:解方程(19)得:

因為h(x(τ)，w)是有界的，即h(x(τ)，w)≤δ，其中，δ是一個正常數。這樣，對于i=1，2，…，n+ 1，有

由式(19)中A和B的定義，得

由于矩陣A滿足勞斯判據，那么存在有限T1＞0，使得當t≥T1，i=1，2，…，n+1時，存在:

因此當t≥T1，i=1，2，…，n+1時，也存在:

其中T1決定于

由式(22)、(23)和(26)可得，當t≥T1，i=1，2，…，n+1時有:可得

由式(20)得:

證畢。

如式(30)描述，LESO的估計誤差是有界的，并且它的上界隨著觀測器帶寬的增加單調遞減。

2.2.2 證明系統穩定、跟蹤誤差有界

定理2 如果h(x，w)是有界的，存在一個常數pi＞0，和有限時間常數T2＞0，當?t≥T2＞0，ω0＞0和ωc＞0時，使得。另外為正整數。

證明:由式(8)和(12)可得:

令ei=ri-xi，i=1，2，…，n，可得:

解式(33)得:

根據式(34)和定理1，得:

又由于Ae是滿足勞斯判據的，因此存在一個有限時間常數T2＞0使得當t≥T2，i，j=1，2，…，n時有:

T2決定于Ae。取，則當t≥T3，i，j=1，2，…，n，有

進而有:

由式(36)、(37)和(40)得，當t≥T3時有:

由式(34)得:

根據式(37)，(41)～(43)，得當t≥T3，i，j=1，2，…，n時有:

其中，

證畢。

如式(44)描述，基于LESO的閉環系統各狀態對參考模型各狀態跟蹤誤差是有界的，并且它的上界隨著觀測器帶寬的增加單調遞減。

而根據文獻［24］的結論:基于NLESO的狀態估計誤差有界，結合第二步，可得到系統是穩定的、收斂是有界的。因此，無論采用LESO還是NLESO，只要能保證有界收斂，就能保證系統穩定、有界收斂。

2.3 實例仿真分析

設某二階線性被控對象如式(45)所示

取二階參考模型為

控制器參數設置:l1=40，l2=400，l3=800，k1=80，k2=250。對二階系統而言，這個k1、k2有明確的物理意義，對應傳統PID中的kd(微分)、kp(比例)。為體現本文所提方法優越性，考察單位階躍響應，并依次與輸出反饋自適應(無微分項，令kd=0)、無ESO補償控制效果進行比較分析，且仿真對比過程中各項參數保持不變。仿真結果如圖2～圖7所示。

圖2 基于ESO的模型參考自適應控制器階躍響應Fig.2 Diagram of step response of MRAC based on ESO

圖3 ESO對系統模型和外擾總和的估計效果Fig.3 System“disturbance summation”and its estimation based on ESO

圖4 ESO對系統狀態的估計效果Fig.4 System states and their estimation based on ESO’

圖5 狀態反饋自適應和輸出反饋自適應的跟蹤誤差Fig.5 Track error of adaptive control respectively based on state feedback and output feedback

圖6 無補償的被控對象階躍響應Fig.6 Diagram of step response w ithout com pensation

圖7 有/無ESO的控制量Fig.7 control quantity w ith/w ithout ESO

由仿真結果圖2可知，基于ESO的模型參考自適應控制能夠使被控對象較好地跟蹤參考模型輸出，且具有如下優點:

1)由圖3、圖4可知，利用ESO可以進行狀態估計，且由圖5可知所設計方法較未采用狀態估計的輸出反饋自適應控制性能要好。從形式上看，輸出反饋自適應只是P控制，而利用基于ESO進行狀態估計利用了微分信息，實際上是PD控制，這也是較輸出反饋自適應控制效果要好的原因。

2)由圖6可知，利用擴張狀態進行補償，可以提高穩態精度。ESO既能抑制常值擾動，而且能夠抑制消除幾乎任意形式的擾動。雖然傳統的靠誤差積分反饋也能夠抑制常值擾動，但常常使閉環系統的反應遲鈍、容易產生振蕩和控制量飽和等負作用。神經網絡也能擾動估計、補償，但設計復雜，且不具備狀態觀測器的功能。

3)由圖7可知，由于ESO擴張狀態的估計和補償，使得控制作用大大減弱，這對工程應用有很大價值。

設某二階非線性被控對象如式(47)所示

參考模型仍取式(17)所示，各項參數設置保持不變。仿真結果如圖8、圖9所示。

圖8 基于ESO的模型參考自適應控制器階躍響應Fig.8 Diagram of step response of MRAC based on ESO

圖9 ESO對系統模型和外擾總和的估計效果Fig.9 System“disturbance summation”and its estimation based on ESO

由圖8、圖9可知，盡管式(47)所示非線性被控對象與式(45)所示線性被控對象采用的均是同一參考模型，且參數設置保持不變，但依然能較好的跟蹤參考模型的階躍響應。其根本原因在于對于任意的被控對象(形如式(1))，由于a(t)=f(x，x.，…，x(n-1))+ω(t)的引入，轉換為x(n)(t)=a(t)+b0r，只要a(t)能被很好地跟蹤(擴張狀態觀測器參數設置合理即可)并進行補償，對于對象模型、未建模動態以及內、外擾動都不再是選擇參考模型需要特別考慮的。這就說明所設計控制器能移植于同階被控對象的控制，也就降低了對選擇參考模型的要求，這為高階尤其是非線性的高階被控對象參考模型的選擇提供了極大便利。這都得益于ESO能對系統模型和擾動進行較好的估計，因此，只要設計一個合適的ESO，參考模型在保證具有期望的動態響應前提下幾乎是可以任意選擇的。另外，由于動態補償線性化，整個系統工作于線性狀態，規避了前面提到的自適應穩定魯棒性問題。魯棒性主要體現在ESO對“總和擾動”的估計上。

3 基于ESO-MRAC的多輸入多輸出系統解耦控制

多輸入多輸出系統的解藕控制方法無論是控制理論界還是控制工程界都是追求解決的重要問題。依靠系統模型的解決辦法是有的，但是需要很大的計算量。利用ESO對擾動的估計和補償可以解決好這個問題，所需計算量也不大，特別是控制器的魯棒性很好。

3.1 解耦控制原理

為節省篇幅以及為后文仿真驗證作鋪墊，直接以三輸入三輸出的四旋翼飛行器姿態控制系統為例，介紹基于ESO的多輸入多輸出系統MRAC解藕控制方法。按照文獻［25］小型四旋翼飛行器姿態非線性動力學模型，經過進一步整理得到如下形式:

其中，

式(48)和式(49)中:p、q、r分別為機體角速度ω在機體坐標系三個坐標軸ox、oy、oz上的分量;φ、θ、ψ分別為滾轉角、俯仰角、偏航角，l為螺旋槳中心至機體坐標系原點的距離;Ix、Iy、Iz分別為x、y、z軸上的慣性力矩;U1滾轉輸入控制量;U2俯仰控制輸入量;U3偏航控制輸入量;fi(i=1，2，3)為模型的藕合部分。

引入虛擬控制量Vi(i=1，2，3)及外擾ωi(t)(i=1，2，3)，設

可見，每個通道的虛擬控制量Vi與被控輸出yi為單輸入-單輸出關系，即實現了Vi和yi之間的解藕。將模型“動態藕合”部分fi(.)及外擾wi(t)作為第i通道上的“擾動總和”，通過擴張狀態觀測器估計擾動量并加以補償。這樣，在控制向量V和輸出向量y之間并行嵌入3個模型參考自適應控制器就能實現系統的解藕控制。這時，實際的控制量U=［U1U2U3］可由虛擬控制量V=［V1V2V3］得到，即U=B-1(φ，θ，ψ，t)V。

按照這一原理進行設計基于ESO的模型參考自適應姿態解藕控制器，結構如圖10所示。

圖10 基于ESO的四旋翼姿態系統MRAC解耦控制Fig.10 Schematic diagram of MRAC decoupling control based on ESO

以上以三輸入三輸出系統為例闡述基于ESO的解藕控制方法，可以推廣到m輸入m輸出系統，只需要在形式(維數)上進行拓展。

3.2 仿真

由式(48)可知，每個通道都是二階的，因此，仍可選擇式(46)所示二階參考模型。各物理參數:l= 0.198m，Ix=Iy=2.353×10-3kg.m2，Iz=5.562× 10-2kg.m2控制器參數設置:β1=20，β2=200，β3=600，k1=60，k2=200。為驗證本文方法的解藕控制效果以及魯棒性，對控制矩陣中慣性力矩Ix、Iy、Iz引入攝動+20%，并與基于動態逆解藕的模型參考自適應控制方法(不對不確定因素進行補償)進行比較，初始狀態姿態角φ=θ=ψ=0°，目標值θ=30°，φ=ψ=0°，俯仰通道仿真結果如圖11所示。

圖11 俯仰通道解耦控制仿真結果Fig.11 Simulation result of decoupling control for pitching channel

由圖11可知，在存在參數攝動情況下，基于動態逆解藕的模型參考自適應控制方法跟蹤效果變差，有發散的趨勢，而基于ESO的模型參考自適應姿態解藕控制方法依然能保持較好的控制效果，魯棒性好。

4 結 論

本文提出了一種基于ESO的模型參考自適應控制方法，并進行了穩定性分析和仿真驗證。在此基礎上，進一步提出了基于ESO-MRAC的解藕控制方法，并應用于四旋翼飛行器姿態解藕控制中。理論及實例仿真分析表明本文方法不僅設計簡單，還具有如下特點:

1)較輸出反饋自適應控制性能要好;

2)利用擴張狀態進行估計和補償，提高了穩態精度;

3)控制作用大大減弱;

4)參考模型選擇更加容易;

5)較動態逆方法解決多變量系統的解藕控制問題，具有簡單、魯棒性好的優點。

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(編輯:張詩閣)

Improved model reference adaptive control and its application in decoup led control

LIJie1， QIXiao-hui1， LIU Xin-hai1， TANG Zi-xin2，HAN Shuai-tao3
(1.Department of Unmanned Aerial Vehicle Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China; 2.General Equipment Department’s Military Representive at Fuzhou，Fuzhou 350000，China; 3.The PLA Unit 63880，Luoyang 471000，China)

An improved adaptive controlwith arbitrary referencemodewas presented based on the extended state observer(ESO)，focusing on solving the problems:(i)the system state is notmeasurable;(ii) themodel reference adaptive control(MRAC)is less effective or even make the system unstable when there exist internal or external uncertainties.After briefly describing themathematicalmodel of ESO，the improved MRAC was put forward and a strict stability analysiswas given.The simulation results show that the improved MRAC possesses quick tracking rate，high steady state accuracy and small controlmoment，including easily choosing a referencemodel.Then，a robust decoupling controlmethod based on the improved MRAC was proposed and applied to decoupling control of the attitude control for the quadrotor aircraftwith three inputs and three outputs.The simulation result shows that it has strong robustness.It is not necessary to design a neural network as usual to compensate for the uncertainties，which greatly simplified the process of controller design.

model reference adaptive control;extended state observer;decoupling control;quadrotor aircraft;attitude control

10.15938/j.emc.2015.05.016

TP 13;V 249

A

1007-449X(2015)05-0112-09

2013-12-02

總裝創新工程項目;預研基金項目

李 杰(1988—)，男，博士研究生，研究方向為自抗擾控制、飛行器控制;

齊曉慧(1962—)，女，教授，博士生導師，研究方向為飛行器控制理論與應用;

劉新海(1987—)，男，講師，研究方向為裝備測試驗證與評估;

湯子鑫(1987—)，男，助理工程師，研究方向為雷達工程、彈藥工程;

韓帥濤(1988—)，男，助理工程師，研究方向為飛行器控制、電磁兼容。

李 杰