靜止邊界法在永磁同步發(fā)電機旋轉磁場及鐵心損耗計算中的應用

郭健， 劉闖， 李凱琪

(南京航空航天大學自動化學院，江蘇南京210016)

0 引言

有限元法是計算永磁同步發(fā)電機鐵心損耗分布的有效途徑之一［1－2］。而鐵耗的計算又是以轉子對應不同位置磁場分布(旋轉磁場分布)的計算為基礎，然后再根據(jù)電機求解區(qū)域磁密的時域波形和鐵耗模型，進一步計算得到損耗分布及總損耗的大小。

目前，對于旋轉磁場分布的計算一般都是采用模型重構的方法［3－6］，即通過建立轉子處于不同位置時的有限元磁場模型來實現(xiàn)，其基本的求解流程如圖1所示。可以看出，這種方法對于每一個轉子位置的磁場分析都需要重復經(jīng)歷建模－劃分網(wǎng)格－加載激勵和邊界－求解的過程，若所分析電機的結構較復雜時，其反復的建模將使得整個分析過程效率低下。同時，由于定子鐵耗計算的基礎是單元磁密的時域波形，但是模型重構法在計算每個時刻磁場時(即轉子處于不同位置)都要重新建模－網(wǎng)格劃分，這將導致單元的形狀、大小及節(jié)點信息都有可能發(fā)生變化，而每個時刻得到的磁場結果都會由于下一個時刻重構模型后單元信息的變更而無法保存，這就給定子鐵耗的準確計算帶來了困難［7－9］。

圖1 轉子旋轉過程中磁場計算流程Fig.1 Calculation flow in the process of rotor rotation

針對模型重構法存在的問題，文獻［10－11］提出一種處理電磁場有限元運動問題的新方法－運動邊界法。在該方法中，沿電機氣隙的中心線畫兩條完全重合的圓弧，將氣隙一分為二，它們分別屬于定子和轉子。對定子和轉子采用兩套相對獨立的坐標系，定子坐標系固定在定子上，不轉動。轉子坐標系固定在轉子上，并將隨轉子同步轉動。由于運動邊界法不需要在計算過程中不斷地對有限元網(wǎng)格進行調整，因此，計算的效率得到了提高，同時也為鐵耗準確計算提供了可能。本文將在文獻［10－11］的基礎上，將運動邊界法中轉子的運動坐標系統(tǒng)一到定子的靜止坐標下，進一步簡化旋轉磁場計算的前處理過程。以靜態(tài)邊界取代動態(tài)邊界的本質是定子、轉子都固定不動，轉子的旋轉僅通過邊界節(jié)點磁位耦合的順序來等效，從而使得計算效率進一步提高。通過對電機磁力線及磁密分布的計算，證明了本文方法的有效性和高效率。同時本文還對靜止邊界法在永磁同步發(fā)電機鐵耗計算中的應用進行了研究。

1 靜止邊界法

1.1 電機磁場計算的有限元模型

對于軸向對稱的永磁同步發(fā)電機，忽略定子鐵心渦流弱磁作用，電機內的磁場可簡化為二維靜態(tài)磁場來分析。若采用矢量磁位法，求解電機二維靜磁場的邊值問題為:

式中:Az為矢量磁位;Jz為電流密度矢量;v為磁阻率。

1.2 靜止邊界條件引入

靜止邊界即將整個電機模型從定、轉子間氣隙中心線割成兩個獨立的部分進行建模和劃分網(wǎng)格，定子部分的內邊界與轉子部分的外邊界在分割線位置重合、但不共線，如圖2所示。模型建好后，定、轉子模型就固定不動，轉子的旋轉只要通過改變定子內邊界與轉子外邊界上對應節(jié)點的磁位耦合順序來等效，從而實現(xiàn)了轉子、定子坐標系的統(tǒng)一。

在保證旋轉磁場及氣隙磁場準確計算的前提下，邊界節(jié)點的數(shù)量需根據(jù)電機槽、齒的數(shù)量進行調整。為了方便理解靜止邊界法，本文以360個節(jié)點為例進行介紹，其它節(jié)點數(shù)量的處理方式以此類推。如圖3中，若轉子的旋轉速度為V(度/秒)，靜止邊界線上的節(jié)點為360個(定子、轉子邊界線各360個節(jié)點，且相鄰節(jié)點間等間距，間距為1度。)，在t=0時刻，通過將(r0，s0)、(r1，s1)…(r359，s359)對應節(jié)點的磁位Az進行耦合即可得到轉子初始位置的磁場分布，耦合方程如式(2)。

圖2 靜止邊界模型Fig.2 The stationary boundary model

在 t=45°/V 時刻將(r45，s0)、(r46，s1)…(r89，s44)、(r90，s45)…(r44，s359)對應節(jié)點的磁位進行耦合(如圖3(b)所示)，即可得到轉子旋轉45°位置的磁場分布;在 t=90°/V 時刻，將(r90，s0)、(r91，s1)…(r359，s269)、(r0，s270)…(r89，s359)對應節(jié)點的磁位進行耦合即可得到轉子旋轉90°位置的磁場分布，耦合方程如式(3);以此類推即可得到轉子旋轉一周在電機中各位置產(chǎn)生的旋轉磁場波形。

圖3 轉子不同位置時靜止邊界線上的節(jié)點耦合Fig.3 Stationary boundary node’s coupling order corresponding to the positions of rotor

靜止邊界法通過邊界節(jié)點的磁位耦合順序來等效轉子的位置及旋轉，磁場分析的效率大大提高，其對應的求解流程如圖1所示;同時靜止邊界條件的引入因為不需要重構模型，從而保證了單元的標號、形狀及位置都不會隨著轉子的等效旋轉而發(fā)生改變，這就為準確計算鐵心單元磁場時域解提供可能，同時也為后續(xù)鐵心損耗分布的準確計算及溫度場計算時候分布熱源的耦合加載提供了便利的條件。

2 靜止邊界法驗證

2.1 驗證模型

本文以一臺500 W/100 000 r/min的高轉速永磁發(fā)電機為例，進行靜止邊界法的有效性驗證，驗證模型的拓撲結構如圖2(a)所示，模型對應的參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

2.2 靜止邊界法對轉子旋轉的等效

針對表1模型參數(shù)，分別采用模型重構法和靜止邊界法對電機空載狀態(tài)下的旋轉磁場分布進行計算，計算結果如圖4所示。可以看出，兩種方法得到的定子中磁場分布一致。對于靜止邊界法，定子中的磁場會隨著節(jié)點耦合順序的改變而發(fā)生旋轉，具有與模型重構法同樣的效果，證明了靜止邊界法模擬轉子旋轉過程的有效性。

某一時刻電機空載磁場的分布主要取決于轉子的位置，其與轉子轉速并無直接的關系。即轉子處于某一位置時(如圖4所示的4個轉子位置)，無論轉子轉速是多少，其空間磁場的分布應該不變。按此思路可以計算得到轉子轉到不同位置角θ時的磁位 A(θ)和磁密 B(θ)的數(shù)值。

轉子轉速為n轉/分時，轉子轉動θ角度所經(jīng)歷的時間為

圖4 兩種方法的磁力線分布比較Fig.4 Comparison of two methods on magnetie field distribution

由此可以變換得到不同時刻對應的時間域磁位A(t)和磁密B(t)數(shù)值。

按照圖1所示的求解流程，轉子旋轉過程中磁場計算是實現(xiàn)不同位置角θ時的磁位A(θ)和磁密B(θ)的分布計算，而磁場計算的后處理階段，則根據(jù)電機的實際轉速，將磁位A(θ)和磁密B(θ)轉換為時間域磁位A(t)和磁密B(t)。然后再進一步計算發(fā)電機的感應電動勢、損耗或者溫升等性能參數(shù)。

2.3 靜止邊界法磁密計算結果驗證

圖5為轉子旋轉90°時對應的磁密分布，可以看出兩種方法計算的結果一致，最大磁密出現(xiàn)在定子鐵心的軛部，證明了靜止邊界法對電機磁密分布計算的準確性。

圖5 兩種方法的磁密分布比較Fig.5 Comparison of two methods on magnetic flux density distribution

2.4 靜止邊界法與模型重構法計算效率比較

選擇ANSYS軟件，并采用參數(shù)化程序實現(xiàn)圖1所示的兩種計算流程，對兩種方法針對轉子旋轉一周的計算時間進行比較，見表2。可以看出靜止邊界法由于不需要重復建模、劃分網(wǎng)格，其計算效率要明顯高于模型重構法。這里還需要說明的是步長的選擇會影響到模型的單元精度、求解自由度的數(shù)量以及單次求解的時長，因此不同步長與計算時長之間并不存在絕對的線性關系。

表2 計算時間比較Table 2 Comparison of computation time

3 靜止邊界法在電機鐵耗計算中的應用

電機定子損耗計算的核心是鐵耗模型的選擇，但是無論采用哪種鐵耗模型都必須基于定子鐵心中任一單元的時域磁密波形。靜止邊界法的引入為任一單元時域磁密波形的計算提供了可能。如圖6所示，在模擬轉子不同位置的過程中，由于轉子的旋轉只是通過節(jié)點耦合順序實現(xiàn)，所以定、轉子中單元的形狀、編號、所對應的節(jié)點信息都不發(fā)生變化。

為了說明鐵耗計算的方法，分別選擇如圖6所示的E1、E2、E3、E4四個單元，圖7為空載狀態(tài)下轉子處于不同位置時，四個單元對應的徑向磁密波形及諧波分析圖。圖8為四個單元對應的周向磁密波形及諧波分析圖。針對本文所提的驗證模型，盡管磁密最大值出現(xiàn)在定子的軛部，但是其諧波含量相對較少;而定子的齒部磁密波形近似方波，其諧波量值較大。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

圖7 徑向磁密Fig.7 The radial magnetic flux density

圖8 周向磁密Fig.8 The circumferential magnetic flux density

根據(jù)諧波分析原理，電機中任意單元的磁通密度波形都可以分解成一系列的諧波分量，任意磁場波形下產(chǎn)生的鐵耗等于其基波和各次諧波分量產(chǎn)生的鐵耗之和［12－14］。因此各損耗組分的計算公式如下:

a)渦流損耗:

式中:r為鐵心電導率;h為鐵心厚度;k為諧波次數(shù);f為基波頻率;BP為第k次諧波對應的磁密幅值;ρ為鐵心密度。

b)磁滯損耗:

式中:Bm為單元磁密的最大值;η為磁滯損耗系數(shù)，η是進行鐵耗計算的關鍵參數(shù)，通過文獻［15］中的方法求取。

利用靜止邊界有限元法進行磁場分析，可以得到定子鐵心中各個單元磁通密度矢量隨轉子位置變化的波形，對其進行傅立葉分解，求得磁密的基波及各次諧波;根據(jù)式(2)、(3)求得鐵心中的各損耗組成。在此基礎上總損耗可進一步由下式求得:

式中:NE為單元總數(shù);Pj為各單元的單位質量鐵心損耗;ΔVj為各單元面積。

圖9為定子鐵心中損耗分布(單位W/kg)。可以看出定子損耗主要集中在定子齒部，這與圖5得到磁密最大的區(qū)域并不一致，這是因為在齒部區(qū)域的磁密諧波含量較高，從而導致了過高的損耗密度。

圖9 定子鐵心損耗分布Fig.9 Core loss distribution

電機鐵耗的準確計算一方面取決于電機旋轉磁場分布的準確計算，另一方面就是基于材料特性的鐵耗模型。這里要說明的是本文研究的重點并不是鐵耗模型的建立及選擇，而是在于靜止邊界條件在鐵耗計算中的應用，以及該方法對鐵耗分布準確計算的意義。

4 結論

本文提出一種高效計算永磁同步發(fā)電機旋轉磁場分布的靜止邊界法，該方法通過改變邊界節(jié)點磁位的耦合順序來等效轉子旋轉的位置，克服了模型重構法電磁計算過程中需反復建立模型所導致的效率底下問題。通過比較兩種方法的計算結果，驗證了靜止邊界法在電機旋轉磁場計算時的正確性和高效性。同時靜止邊界法保證了在轉子旋轉一周的整個計算過程中，定、轉子模型中有限元單元的形狀、位置及構成節(jié)點信息的一致性，為永磁同步發(fā)電機定子鐵耗分布的準確計算提供了可能。

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