“單位換算”帶來的困擾

☉江蘇省如皋經濟開發區袁橋初級中學　謝裕宏

“單位換算”帶來的困擾

☉江蘇省如皋經濟開發區袁橋初級中學謝裕宏

學生的數學認知，絕無坦途.課堂上，教師一些不經意的設置，讓學生在解答例題或練習題時耗費很多的時間，導致教學進程緩慢，最終無法達成課時教學目標.接下來，就從近期隨堂觀摩的一則教學片斷入手，談談一位老師的教學困擾及筆者的思考，希望能給各位同行帶來啟示.

一、一道練習的講評

1.背景分析

筆者所聽的這節課是人教版“3.3解一元一次方程（二）——去括號與去分母”的第2課時，教者預設的教學任務為例2和例3，這兩道例題是建立在第一課時“學會用‘去括號’化簡方程”的基礎之上，是對這一教學目標的進一步鞏固和提升.教材編排的例2是一道“順流與逆流問題”，例3是一道“配套問題”，都涉及列方程和“應用‘去括號’化簡方程”這兩個步驟.所以，教者將“找出等量關系列方程”和“應用‘去括號’化簡方程”作為本節課的教學重點.為此，教者將例2、例3首先呈現出來讓學生探究.在經歷了近30分鐘的探究及互動交流后，教師投影兩道練習題作為本節課的“鞏固練習”.

2.教學過程

練習1一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為24千米/時，順風飛行需要2小時50分，逆風飛行需要3小時，求兩個城市之間的距離.

學生自主解答，教師巡視指導.在經歷了5分鐘的探究后，教師請三位同學到黑板上將他們的解題過程呈現出來，教師結合學生給出的解題過程進行了針對性點評.

學生1：設飛機在無風時候的速度為x千米/時，則兩城市之間的距離為2.5（x＋24）千米.根據題意，列方程2.5（x＋24）＝3（x-24），解得x＝264.所以2.5（x＋24）＝720.答：兩城市之間的距離為720千米.

點評：從題目中找出中間未知數“飛機在無風時候的速度”，并將其設為未知數x（單位：千米/時），同時，將“兩城市之間的距離（單位：千米）”用含有x的式子表示出來，這是很好的求解思路.由于在列方程時，你將“2小時50分”等同于“2.5小時”，將錯誤的數據代入了正確的等量關系，自然無法求出正確的答案了.今后解題時，像“單位轉化”這樣的細節，我們還是要特別關注的.

學生2：我直接將本題中要求的“兩個城市間的距離”設為x千米.然后根據題意，列出方程-24＝24.解得x＝720，最終給出了“兩城市之間的距離為720千米”的結論.

點評：“求什么，設什么”，這是列方程解應用題的一種思路.根據“飛機在無風時候的速度不變”，你列出了方程.但是由于在列方程時，沒有將單位換算到位，犯了和學生1一樣的錯誤.

學生3：我先將時間的單位統一成“分”，即“2小時50分＝170分，3小時＝180分”.設飛機在無風時候的速度為x千米/時，則兩城市之間的距離為170（x＋24）千米.根據題意，列方程170（x＋24）＝180（x-24）.解得x＝840.所以，170（x＋24）＝18800（.學生3略有猶豫）所以，兩城市之間的距離為18800千米.

點評：看似進行了單位的轉化，實則還是沒能將單位統一起來.在將時間單位統一成“分”后，速度的單位并沒有轉化.只有將速度單位“千米/時”轉化為“千米/分”，即將24千米/時轉化為0.4千米/分，代入所找出的等量關系式求解，就不會出錯了.

綜評：三位同學都能找到題目中的等量關系，并根據等量關系列出方程，在“抽取等量關系，建構方程模型”的問題上，大家已經沒有太多問題了.這道題目出錯的主要原因，是在統一各個量的單位時，換算出現了錯誤.顯然，這些看似“平等進入”方程的數字卻是個“錯誤”，它們參與了解題，自然解題結果也就是個錯誤了.這就告訴我們，在統一題目中各個量之間的單位時，不僅要注意進率，還要注意數據計算的正確，確保進入方程的數據準確無誤.

待教師將“練習1”處理結束，下課鈴聲響起，練習2并沒有處理，課堂小結和檢測反饋均沒有了，教者立即簡單布置了一下作業，整個課堂草草收場.

二、教學過程簡析

學生在小學中經歷了很多“單位換算”，本不是難點，適時滲透進去初中階段的教學，本無可厚非.但從這節課的教學成效看，“練習1”中的滲透顯然是不“適時”的.“一艘輪船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2h；從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用時2.5h.已知水流速度為3km/h，求船在靜水中的速度”，這是教材中的例2.將練習1與例2比對，兩者不僅情境相同，而且等量關系也相差無幾.用這樣一道題作為例2的“鞏固練習”應該是適合的，然而，這道練習實際應用時，卻讓課堂在最后“跑偏”！究其原因有三：（1）時間單位的換算是個“老知識”，處在學生認知網絡的“深處”，學生的提取與應用并不順利；（2）這道練習是例2的鞏固題，學生求解的關注點仍然會像例2一樣停留在“列方程”上，數據間的單位是否一致極易被忽略；（3）“單位換算”增加了求解的步驟，分母的出現，下節課學習的知識嚴重影響了本題求解的正確率.一個不經意的“預設”，讓一個與本節課關聯不大的知識點成為了學生解題的“障礙”，耗費了很多的課堂教學時間，教學進程自然被耽擱下來，任務無法順利完成也就在情理之中了.

三、幾點思考

1.教學設計，剖析學情是起點

教學設計，我們應從學情分析出發，找到新的知識和技能在學生已有知識結構中的“附著點”，以便教學實施“有理可依，有據可循”，讓新知在教學漸進過程中自然而有效地生成，并不間斷地向學生的已有認知網絡中融合.學情分析，不僅應分析學生的知識基礎，還應分析學生的獲取數學知識經驗和已經養成的學習習慣.事實上，只要與課堂教學進程相關的，在進行教學設計前，我們都應給予關注并設計出適合學生的教學方案.只有在這樣的學情分析下，我們才能真正讓教學走到學生的心中.應該說，在本文案例中，教師能選擇“練習1”作為例2的鞏固題，說明他對教材是進行了認真分析的，練習的選擇是經過他深思熟慮的.但是他可能忽略了對學情的分析，作為一節以列方程解應用題為主題的新授課，應用題的情境變化較大，微小的變動都會給學生的求解帶來干擾.例2承載著以應用回顧與鞏固“去括號”的重任，作為鞏固練習理應順著例2走下去，但“單位換算”的增加讓練習1的作用在鞏固例2的同時，又讓小學中的“時間單位換算”成為了解題要點.讓這樣一個看似“陳舊的知識”干擾了教學的進程，與教師課前對學情的分析不到位是有較大關系的.課上，學生求解“亂象叢生”.有些學生不能認真讀題，漏掉了換算；有些同學將2小時50分當作2.5小時參與列方程；有些同學只將2小時50分化作170分鐘就列出了方程；還有些同學能正確換算，但不能正確地解方程（x＋24）＝3（x-24）……反思教學進程，細看教學效果，我們不難發現，本節課的教學之所以出現這樣的問題，對學情的疏忽是最主要的.

2.例題編排，舊知疊加要適度

課堂教學的設計理應服務于教與多樣化的學的需求.教學設計要確保教學內容緊貼課標要求，讓課堂教學在課標規定范圍內進行；教學設計還應順應教材的要求，確保知識呈現的先后順序與教材同步；教學內容還應與學情匹配，力求在學生的最近發展區上展開探究；還有，教師的個人喜好直接影響著教學設計的方向.但無論基于何種需求的教學設計，都應指向學生獲取四基和促進學生知識網絡的建構與完善這樣的目標.為了達成設計指向，很多老師在設計例題時，會將一些課時教學有關聯的知識與例題鏈接起來.這種知識點的疊加，一方面能起到鞏固知識的作用，同時還能將新學知識快速融入到學生的知識結構中去.如，教學相似三角形時，很多老師將相似三角形與二次函數結合在一起，以二次函數為背景，將相似三角形作為最重要的考點融在其中.這樣的例題編排，找到了兩個核心知識間數與形的內在銜接點.教學過程中，通過學生的自主求解和教師的點撥提升，既回顧了二次函數的知識，又讓相似三角形找到了“家”，讓學生體會到這兩個核心知識的應用價值.然而，本文中的“時間單位換算”既不是本學段的核心知識，也不是本節課教學主線上派生出的知識，對于例2的鞏固幾乎起不到任何效用，而且與本節課的教學主線“會應用‘去括號’化簡實際問題中的一元一次方程”也相去甚遠.如此不加選擇地疊加，顯然是不適宜的.筆者認為，知識點的疊加要適度，必須以“能用，有用”為前提.在疊加知識進入例題前，我們一定要多問幾個問題：學生的知識掌握到了哪一步了？與新知有關聯的知識有哪些？哪些較為密切？此外，對自己想添加的知識點，我們還應多思考：這個知識添進去學生會嗎？會不會干擾了新知的獲得與應用？會不會影響整個教學任務的完成？如此反復敲打與錘煉，方能保證我們設計出的例題起到應有的教學效果.

3.及時化解，教師點撥很重要

例題教學，是學生鞏固新知和促進知識融入已有網絡的重要途徑.在數學教學中，例題一般都具有典型性、時效性和綜合性的特點.顯見，學生在化解例題時，一般不會十分順利，只有經歷過了較為復雜的數學思維的過程才能給出正確的解題過程.為了幫助學生突破例題求解的“困境”，在教學過程中，教師應關注學生的解題過程，將自己預設的“教學點”和學生實際求解的“遇困點”結合起來，通過充滿人文的、具有明顯引導作用的點撥，將學生及時從“水火之中拯救出來”.這里要強調的是，教師的點撥絕不是簡單地陳述答案，更不應是一次“草草了事”地投影呈現，我們應深入了解學生求解過程中的思維鏈斷裂在何處，為他們形成新的正確的求解路徑“牽一根線，搭一座橋”.這樣的點撥，有時可以是一個手勢，在題目中點一點；有時可以是一句話，就題中的某個條件問一問；有時也可以是一個知識的再現，喚起學生的記憶……這樣的點撥有如“春風化雨”，滋潤著學生的心田，激活了他們進一步探究的欲望.接下來，就算教師不講，學生也自然會更進一步探究下去.“練習1”就是如此，教師可以在學生1、2、3都得出答案后，追問一句：你們關注到題中的單位了嗎？學生自然會有所悟，順著指引糾正自己的錯誤，從而給出正確的答案.看透不說透，這或許就是教師點撥的最高境界吧！

四、結束語

教學出現意外，錯不在課上，而在課外.課前的準備中，看不清學生，弄不懂教材，理不清目標，抓不住主線，任何一個失誤都會為課堂教學帶來干擾，造成教學的遺憾.雖然我們一直在說“教學是一門遺憾的藝術”，但這里所說的遺憾是有充足準備下的遺憾，是基于教者對教學進行充分預設，在學生和老師充足思維活動中留下的遺憾，這樣的遺憾完全可以推動學生的探究活動繼續延續.顯然，充分準備下的教學遺憾是有價值的，對教學相長是大有益處的.從這個角度看，本文中的教學遺憾是由于教師課前準備得不夠充分所致，這樣的遺憾才是真正的遺憾！