高中生數學解題思維習慣調查與分析

☉江蘇省蘇州市高新區第一中學 姜德祥

高中生數學解題思維習慣調查與分析

☉江蘇省蘇州市高新區第一中學 姜德祥

一、問題的提出

數學解題思維習慣是指學習者在長期解題活動中養成的相對穩定的、不易改變的解題思維方式，決定解題的效率、質量高低.學習者習慣地對數學問題進行閱讀、分析、歸納、提取有用信息，調動已有知識與經驗努力尋找解決問題方法的過程，既是解決問題的過程也是訓練思維、提高能力的過程，也是一個人數學素養高低的重要體現.那么，高中生的數學解題思維習慣如何？不同學生群體之間有沒有明顯的差異呢？為回答這一問題，筆者以高中生為研究對象，做如下調查.

二、調查實施的過程

根據數學解題思維的特征將其分為以下六個方面：（1）讀題的思維習慣；（2）深化題意理解的思維習慣；（3）擬定解題方案的思維習慣；（4）實施解題計劃的思維習慣；（5）解題檢驗的思維習慣；（6）解題研究的思維習慣.設計13道選擇題，制作學生問卷調查表，借助計算機閱讀分析.1、2題主要調查學生讀題的思維習慣，3～6題主要調查學生深化題意理解的思維習慣，7～9題主要調查學生擬定解題方案的思維習慣，10題主要調查學生實施解題的思維習慣，11題主要調查學生解題檢驗的思維習慣，12、13題主要調查學生解題研究的思維習慣.

分別選取高二、三年級10個班級，共1100人作為研究的對象，分為兩組：高二年級組和高三年級組.

三、調查的結果及分析

（一）讀題的思維習慣

讀題即學生拿到題目后，把題目一字不漏地閱讀幾遍，熟悉題目情境、設問，理清條件與結論，明白題意，是解題最基礎也是最關鍵的環節，直接決定著解題質量的高低、解題效果的好壞，學生解題過程中的低級錯誤往往都是由此引起的.為此設計2個問題：

1.讀題的思維習慣

讀題的思維習慣的調查數據顯示：37.64%的學生做題之前僅讀一、二遍題，學生對讀題環節不重視，問題設計為：你答題以前一般（ ）.明白題意后再讀1～2遍題；反復讀題直至明白題意；讀題3～4遍；讀題1～2遍，對上述四個選項依次賦4、3、2、1分，經統計高二年級組得分2.330；高三年級組得分2.568，高年級的學生讀題比低年級的學生認真.

2.讀題方式的思維習慣

讀題是否逐字逐句地分析題意的調查數據顯示：有38.29%的學生基本上能做到，55.24%的學生基本上做不到，而最高僅有6.56%的學生總是能做到，由此可見學生讀題的方式習慣不理想.

基于以上分析：大部分學生不能夠認真讀題，隨年級升高學生越來越不重視讀題.經座談發現，學生普遍不重視讀題，認為只要讀兩遍就能夠開始答題，答題的過程中遇到困難還可以繼續讀題.

（二）深化題意理解的思維習慣

能夠用自己的語言敘述題意是深化題意理解的基礎；用不同的方式表征問題、從不同的角度認識問題是深化題意理解的重要標志，對題目的條件和結論進行剖析、聯想、類比、變換是擬定解題方案、決定解題繁簡及成敗的關鍵，是解題過程中最核心也是最根本的環節，是解題能力高低的最突出表現.為此設計4個問題.

1.敘述題意的思維習慣

用自己的語言敘述題意的思維習慣的調查數據表明：僅有17.52%的同學讀題以后基本上能夠將題意復述，47.26%的學生解題以前基本上不會復述題意，32.27%的學生解題以前從來不會復述題意，以上表明大部分學生解題前對題意的領悟不能做到一清二楚.

2.將語言文字相互轉換的思維習慣

讀題后能否將文字語言、圖形語言、數學語言適當地相互轉換的調查數據顯示：高二年級由53.37%的學生能夠根據題目條件適當地進行語言轉換，高三年級有43.85%的學生能根據題目條件適當地進行語言轉換，經座談分析高二年級優于高三年級的原因是高二年級正在學習立體幾何與解析幾何，教師課堂強調示范引起了學生的重視.

3.將題目條件及結論進行等價轉化表述的習慣

讀題過后是否能夠將題目條件及結論進行等價表述的調查數據顯示：最高僅有8.45%的學生讀題后總是能對題目條件及結論進行等價轉化，此題設計4個選項依次是：總是會、基本上會、基本不會、從不會，分別賦4、3、2、1分，高二年級得分2.238，高三年級得分2.277，數據表明學生的轉化整合習慣較差.

4.聯想的思維習慣

讀題后是否能根據題目條件及結論進行適當的聯想的調查數據顯示：高三年級僅有16.65%的學生能夠根據題目條件和結論，聯想到以前學過的定理、定義、性質及做過的題目等，其余的學生基本上不能進行適當的聯想，因此女生做題的聯想能力遜色于男生.

基于以上分析：學生在深化題意理解方面，大部分學生不能深化題意的理解，即讀題后不能將題目條件、結論進行等價轉化、類比聯想，憑感覺解題，年級之間沒有明顯的差異.

（三）擬定解題方案的思維習慣

從讀題到深化題意理解是一個綜合應用分析、歸納、聯想、類比等邏輯思維和非邏輯思維的方法，尋找解題途徑的過程，接著就要考慮擬定解題方案，先做什么、后做什么、再做什么等，這個過程要經過許多障礙，因此，學生在擬定解題方案遇到挫折、困難時，處理方法是否得當、思維品質是否堅強是解題方案能否成功擬定的重要方面，圍繞這個問題設計3個問題.

1.答題以前頭腦中是否有完整的解題方案的思維習慣

學生答題以前是否構建一個完整的解題方案的調查數據顯示：最高僅有8.84%的學生解題以前頭腦中總有一個清晰完整解題方案，72.28%的學生解題以前基本上有一個的解題方案，具體解題過程中不是十分清晰，是否正確沒有把握.

2.解題思考遇到困難時是否重新審視題目的思維習慣

解題思考遇到困難時是否重新審視題目的調查數據顯示：37.05%的學生總是會重新讀題、深化題意的理解，44.79%學生經常會這樣，18.66%的學生基本不會或從不這樣，放棄思考，年級之間沒有明顯的差異.

3.解題思考遇到障礙時是否努力尋找缺少什么

解題思考遇到障礙時是否努力尋找缺少什么的調查數據顯示：有21.46%的學生總是會努力尋找缺少什么，展開聯想調動思維，46.12%的學生經常會這樣，32.28%的學生基本上會放棄思考，高三年級學生略優于高二年級學生.

數據表明擬定解題方案的思維習慣：大部分同學解題以前頭腦中有一個不完整的解題思路，僅憑感覺前行，但是高中生在解題遇到障礙、困難時具有堅強的意志和良好的思維品質.

（四）實施解題計劃的思維習慣

實施解題計劃即按擬定解題方案去進行推理、計算、作圖得出題目的答案，這是解題的成果，到了這一步，解題的成敗就取決于推理的嚴謹性，計算、作圖的準確性.解題的每一步必須有充分的理論依據，前一步是后一步的依據，后一步是前一步的必然結果，保證每一個解題的步驟都是嚴謹的、正確的，因此，解題過程必須審視每一步，是保證解題順利進行、提高解題效率的重要環節.為此設計一個問題.

解題過程是否每一步都檢查的調查數據顯示：學生實施解題計劃的思維習慣較差，僅有24.75%的學生經常能做到每一步都檢查它的正確性，75.09%的學生基本上或從不這樣做.

（五）解題的檢驗習慣

解題得到答案不能算完成，還應檢驗解題是否有疏忽、遺漏或多余的步驟，答案是否準確，要重新回顧每一步，從多種角度、多種途徑上檢驗，檢驗每一個細節，確保解題過程的準確無誤是提高解題準確度的重要環節.為此設計1個問題：

解題后是否重新審視自己的解題過程的調查數據顯示：有26.83%的學生基本上能重新審查自己的解題過程，58.46%的學生基本上不審查自己的解題過程，年級之間沒有明顯差異.

（六）解題研究的思維習慣

解題研究即學生對自己的解題行為保持一種敏感的覺醒狀態，關注自己的解題方法，追問自己的解題效果，探究思想方法、知識應用與推廣.一般對問題的再認識、再聯想，利用不同知識、途徑求得問題的不同解法；通過對比找到更簡潔更合理的解法.通過多途徑、多角度地認識問題，深入思考，此題的結論是否可以推廣、引申？是否可具有一般規律？是否可以變式？解題方法是否可以推廣等問題，通過解題后的研究，改變以往那種隨意的、盲目的解題方式，總結、提煉、形成自己富有成效的解題方法和解題習慣，這是解題的內核和靈魂.為此設計2個問題：

1.解題后是否尋找其他解題方法的思維習慣

解題后是否尋找其他解題方法的調查數據顯示：41.72%的學生解題后從不尋找其他的解題方法，最高僅有4.23%的學生總是解題后尋找其他的解題方法，11.53%的學生解題后經常思考其他的解題方法，高三年級略優于高二年級.

2.解題后對題目反思探究的思維習慣

解題后是否對題目反思探究調查數據顯示：高二年級有13.82%的學生經常會在解題后對題目進行反思探究；高三年級有19.15%的學生經常會在解題后對題目進行反思探究.

解題研究的思維習慣的分析表明：解題后很少有學生對題目進行解題研究，但高三年級的學生優于低年級的學生.

四、調查數據的驗證分析

為驗證學生的數學解題的思維習慣調查結果，選取高二、高三年級各兩個成績較好班級設計如下試題進行測試.

例題：已知a，b不同時為0，且a，b，c成等差數列，求直線bx+ay+c=0與拋物線相交弦中點的軌跡方程.

這是一道軌跡方程與等差數列交匯的綜合題，要求學生20分鐘內完成答題，交卷后回答下列問題.

（一）理解題意的思維習慣

為了考查學生理解題意時的思維習慣特設計幾個問題：開始解答問題前讀幾遍題？題目條件一共有幾個？分別是什么？結論是什么？其數學含義是什么？你用自己的語言敘述題意了嗎？將條件與結論變形了嗎？題目中隱含的條件是什么？

高二年級70%、高三年級84%的學生讀題的遍數都在三遍以內，幾乎所有的學生都是將題目條件直接摘抄一遍，且不全面，只有高二年級的3位學生能夠用自己的語言敘述部分條件，沒有學生正確理解a，b不同時為0的數學含義，有5位學生能夠挖掘出直線過定點（-2，1），沒有學生將條件與結論進行等價變形，這也驗證了學生讀題、審題、理解題意的思維習慣較差.

（二）擬定解題思路的思維習慣

為暴露學生遇到具體問題時擬定解題方案的思維習慣，設計以下問題：解答題目以前你思考了嗎？此問題屬于哪種類型的問題？條件與結論之間如何鏈接？解題的大致思路、步驟如何？舉例說明解題過程中遇到某個環節不能進行下去你是怎樣處理的？學生整體回答得較為混亂、思維不清晰，多數同學僅憑感覺解題，遇到困難時學生能自覺地審視題目尋找思維的偏差，但是不知如何入手，這也驗證了學生擬定解題方案的思維淺顯.

（三）實施解題及研究的思維習慣

通過對學生解題過程批閱發現，80%以上的學生都選擇聯立方程組求交點、消參數的方法求解，但是字母運算能力較弱、方程組求解出錯、不能正確利用題目條件消去參數、思維混亂，以至于無法將運算進行到底，說明學生在解題過程中沒有步步檢查的習慣；僅有高三年級2位同學利用隱含條件曲線的交點（-2，1）來求解，進一步說明學生在審題時不善于挖掘題目的隱含條件，只擅長機械地代入公式，按部就班地計算，不會深入的想，導致解題過程煩瑣，會而不對；沒有同學關注條件a，b不同時為0的意義，最終對而不全，沒有一位同學談解題的心得，由此說明學生的實施解題后沒有自覺研究習慣，平時只注重機械解題，不注重反思、總結，這說明學生不具有良好的實施解題及研究的思維習慣.

五、調查結論

基于以上分析可以得出如下結論：（1）高中生讀題的思維習慣存在層次性，年級之間存在的差異.（2）深化題意理解的思維習慣普遍較差，且年級之間存在差異.（3）擬定解題方案的思維習慣不同層次的學生之間沒有明顯差異，但是高中生在解題活動遇到困難時能表現出良好的思維品質.（4）實施解題計劃與檢驗的思維習慣表明高中生解題過程中自覺檢驗的意識薄弱，不同層次的學生之間沒有明顯差異.（5）解題研究的思維習慣整體水平較低，且年級之間存在差異.（6）解題思維習慣相對穩定的、不易改變，應多加練習，及時矯正.

1.寧連華，王薇.小學生解題思維習慣的調查研究［J］.課程·教材·教法，2012（12）.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2004.F