回眸課標導數題把握備考方向標

☉福建省福州華僑中學 李文明

回眸課標導數題把握備考方向標

☉福建省福州華僑中學 李文明

根據教育部最近發布的消息，2016年高考在去年18省份使用全國卷的基礎上又新增福建、安徽、湖南、廣東、重慶、四川和陜西7省共計25個省份使用全國課標卷，盡管有關的專家、官員承諾命題改革不會對考生造成較大影響，《考試大綱》和《考試說明》不會有較大變化，但是由于命題專家對命題方向、內容、要求都會帶有一定傾向性，與以往分省命題會有較大差異，必須引起足夠的重視，因此有必要對近三年課標試題進行認真對比、觀察、分析、研究，探尋規律，領悟理念，厘清方向.

一、近三年新課標導數題的再現

2013年新課標1文科第20題（滿分12分）：已知函數f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值.

2013年新課標1理科第21題（滿分12分）：設函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2，

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

2013年新課標2文科第21題（滿分12分）：已知函數f（x）=x2e-x.

（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；

（Ⅱ）當曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上的截距的取值范圍.

2013年新課標2理科第21題（滿分12分）：已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.

2014年新課標1文科第21題（滿分12分）：設函數f（x） =alnx，曲線y=（fx）在點（1，（f1））處的切線的斜率為0.

（Ⅰ）求b；

（Ⅱ）若存在x0≥1，使得，求a的取值范圍.

2014年新課標1理科第21題（滿分12分）：設函數f（x），曲線y=（fx）在點（1，（f1））處的切線為y= e（x-1）+2.

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）證明f（x）>1.

2014年新課標2文科第21題（滿分12分）：已知函數f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸的交點的橫坐標為-2.

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）證明當k<1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點.

2014年新課標2理科第21題（滿分12分）：已知函數f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x），x>0，g（x）>0，求b的取值范圍；

2015年新課標1文科第21題（滿分12分）：設函數f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f′（x）的零點個數；

2015年新課標1理科第21題（滿分12分）：已知函數（fx）=x3+ax+，g（x）=-lnx.

（Ⅰ）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m、n中的最小值，設h（x）= min{f（x），g（x）}，討論h（x）的零點個數.

2015年新課標2文科第21題（滿分12分）：已知函數f（x）=lnx+a（1-x）.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當f（x）有最大值且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍.

2015年新課標2理科第21題（滿分12分）：設函數f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）證明f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

（Ⅱ）若對任意x1、x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

二、近三年新課標導數題的規律

（1）近三年新課標導數題題序穩定，基本都是壓軸題的位置，內容都是基本初等函數——指數函數、對數函數和多項式函數復合而成（y=ex，y=lnx，y=ax3+bx2+cx+ d），考查的重點知識主要是函數的單調性、極值、最值、切點、切線、極值點、零點，考查的重要數學思想和能力主要是函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想以及運算求解能力、推理論證能力、分析綜合能力，充分體現了全國新課標卷在把握課程理念方面的引領和示范作用.

（2）近三年新課標導數題基本都是設置兩問，（僅2014年新課標2理科是三問）其中第一問都是以切點、切線、單調性為主要切入點，形成較為容易的“入口”；難點主要是在第二問（或第三問），以證明、討論、求解為主，尤其是求參數的取值范圍題居多.

（3）近三年新課標導數題最為顯著的特點是在“學生知識的最近發展區”命制試題，難度控制基本有效，第二問雖然難度較大，但是都是學生學習導數最應該掌握的基本思想方法，大多數試題都能夠利用求導數、求極值、求最值、求零點等基本數學方法解決，最為關鍵的是數學思想方法的融會貫通.

三、近三年新課標導數題的探究

高考命題專家大都是居高臨下，上通《考試大綱》《考試說明》《新課程標準》，下通課堂的大師，對中學數學教學和新課程改革有獨特理解，僅就這一點可以說新課標導數題是現今高考導數題中與中學課程改革、中學課堂教學最為貼近的試題，我們認為好的數學高考試題不僅僅是題目本身的命制，尤為重要的是高考試題的答案，因為只有答案最能體現命題專家的命題目的、命題思想，以及對中學數學教學的導向.由分省命題向全國統一命題過渡的過程中，專家們做了很多“框架方面”的引領，作為一線教師——中學數學教學的執行者和實踐者，我們不要把“高考試題的標準答案”不加思考直接“兜售”給學生，因為答案都是“專家”的經典之作，它與學生的距離是不言而喻的！一定要“下水做題”，不能只做“陸地模仿”；一定要親自嘗嘗“梨子的滋味”.只有這樣，在教學中才能有的放矢，才能科學有效組織復習.因篇幅所限，僅就兩題進行反思.

（1）（2014年新課標1文科第21題（Ⅱ））若存在x0≥1，使得（fx0），求a的取值范圍.

文科高考試題雖然對分類討論的要求比理科相對較低，但是文科生比較恐懼的恰恰就是分類討論，所以要根據題目的特點不失時機地具體問題具體分析，非分類不能解決的時候才進行分類，而不是學套路——“有參數，必分類”，造成不必要的心理障礙和恐慌，我們先看命題組提供的答案.

由題設知f′（1）=0，解得b=1.

（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞）.由（Ⅰ）知f（x）=alnx+

所以存在x0≥1，使得的充要條件為

評析：這個標準答案，主要的數學方法是“分類討論”，解題的主要依據是“存在x0≥1，使得”的“充要條件”是“”，討論的第一、第二步都是這樣做的，但是到討論的第三步，突然改變了解題依據，直接就“若a>1，則（f1）”，對于這個解答，我們的思考主要集中在第三步，此時-a<0?f′（x）單調遞減.又因為f（′1）=0? f′（x）≤0（x≥1）?f（x）單調遞減，所以f（x）max=f（1），f（x）無最小值.這里需要說明的是是“存在x≥1，使得0的“充分不必要條件”，而不是充要條件！所以“答案”所求得的取值范圍“（-）”是“存在x0≥1，使得的“充分條件”！

（2）（2015年新課標1理科第21題）（滿分12分）已知函數

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m、n中的最小值，設h（x）= min{f（x），g（x）}，討論h（x）的零點個數.

這道考題是最近三年“分類討論”問題中最復雜的問題之一，有“分類套疊”，專家給出的“標準答案”，很多學生看不懂，甚至我們的老師也有些云里霧里，特別是分類后的“整合”，可能專家覺得很容易，但是我們覺得不容易被接受，為了讓我們的學生能夠更好地領會命題精神，我們有必要探究新的分類方法，經過認真思考給出更符合中學教學實際的解法：這里的函數h（x）是典型的“分段取小函數”；對于分段函數，最重要的是確定分段區間和每一段上的表達式；這道題的解答確實是非分類不可，到底如何分類成為解題的關鍵所在.

解：由于g（x）=-lnx是確定函數，所以討論就要從函數f（x）開始.

f′（x）=3x2+a.

函數h（x）的圖像如圖2所示，h（1）=g（1）=0，此時函數h（x）只有1個零點.

函數h（x）的圖像如圖4所示，h（1）=g（1）=0，此時函數h（x）只有3個零點.

函數h（x）的圖像如圖5所示，h（1）=g（1）=0，此時函數h（x）只有2個零點.⑥當時，f（x）=

極小值0.

函數h（x）的圖像如圖6所示，此時函數h（x）只有1個零點.

函數h（x）的圖像如圖7所示，此時函數h（x）只有1個零點.

我們覺得數形結合，關鍵是把握好分類的界定標準，本題抓住三個關鍵進行分類，使得問題的解決清晰簡明，沒有“玄妙”只有“通俗”，讓我們的學生感到所學的數學知識是“有用武之地”的！因此我們建議專家們在高考函數導數解題過程中不要搞隱“形”的數形結合，因為隱形的數形結合會給中學生造成在數學學習過程中“折傷翅膀”的傷感！因為現行中學數學教材中的數形結合都是有活靈活現“圖形”存在的，這是完全符合中學生心理特點的實際情況的.

四、近三年新課標導數題的啟示

（1）文科數學教學中要適當拓寬學生的知識面，因為文科（福建）教材中沒有學習復合函數的導數，但是新課標卷中已經出現，我們也只能面對，否則學生連“入題”都困難，會被無情地卡在“題門”之外.

（2）導數教學過程中，導數的概念、基本的導數公式、導數運算法則一定要把握準確，并能靈活運用，運用導數研究函數的單調性，函數的極值、最值、零點、切點、切線仍然是最重要的基礎知識和基本技能.

（3）在高考函數與導數復習過程中，重視數學思想方法的引領作用，數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想是重要的思想方法，不可偏廢，在有機融合，重視“通性通法”的學習的同時，要學會捕捉題設信息，具體問題具體分析，防止思維僵化，強化數學思維能力和創新意識的培養.對于高考試題的研究，教師一定要做到吃進去的是“草”，擠出來的是“奶”，追求自然，崇尚簡約，不人云亦云，不亦步亦趨，學會獨立思考，善于開拓進取.

1.李文明.創新之路在腳下無限風景在眼前——2015年福州市高三畢業質量檢測壓軸題的詳解與反思［J］.中學數學（上），2015（6）.

2.李文明.“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”——2014年高考福建卷數學壓軸題另解與思考［J］.中學數學（上），2015（2）.A