抓住定義，事半功倍
——例談高中數學教學中圓錐曲線定義的運用

☉江蘇省如東縣掘港高級中學 葛益平

抓住定義，事半功倍
——例談高中數學教學中圓錐曲線定義的運用

☉江蘇省如東縣掘港高級中學 葛益平

圓錐曲線是高中數學非常重要的學習部分，在高中數學課堂上，關于圓錐曲線的定義由來，數學教師可以通過幾何畫板形象地展示，但是關于定義的具體應用，老師們研究較少.對照新舊考試大綱，在新課標高考中，對圓錐曲線的考查做了重大調整，刪去了橢圓與雙曲線的準線定義，淡化了復雜煩瑣的變形和一些焦半徑公式的使用，而對于它們的第二定義也只以例題的形式出現.轉而對圓錐曲線的基本定義、基本量的關系、簡單幾何性質和基本方法加深了考查，特別是對定義的考查，所以把握好圓錐曲線的基本概念和處理圓錐曲線問題的基本方法，就能很好地解答圓錐曲線有關題目.因此筆者從圓錐曲線的定義出發，按照類型進行整理和歸納，進而探索如何運用圓錐曲線的定義解決各類問題.

一、深刻理解圓錐曲線的定義

平面上不同種類圓錐曲線的定義都受一定條件的限制.

橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓.即|PF1|+|PF2| =2a（2a>|F1F2|）.這個定義中一定注意兩點：一是描述的是動點與兩定點的距離和；二是距離和為常數，常數大于兩定點的距離.前一點說明橢圓上點的特點；后一個則說明了軌跡是橢圓的條件.當距離和這一常數等于兩定點F1、F2間距離時，動點軌跡是以F1、F2為端點的線段；當距離和這一常數小于|F1F2|時，動點軌跡則不存在.

雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點的軌跡叫做雙曲線.即||PF1|-|PF2||=2a.這個定義注意三點：一是動點到兩定點的距離差：描述動點的特點；二是距離差的絕對值：絕對值便說明了點的軌跡的另一特點——“雙”性；三是差的絕對值這個常數一定小于|F1F2|.當常數等于兩定點距離時，動點軌跡為以兩定點為端點的兩條射線；如果常數大于|F1F2|，則動點軌跡不存在.

拋物線：到一個定點和一條定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線.

圓錐曲線的第二定義：到一定點F的距離和到一條定直線l的距離（定點F不在定直線l上）的距離比是一個常數e的點的軌跡，當01時，軌跡為雙曲線；當e=1時，軌跡為拋物線.其中為離心率，F為焦點，l為準線.

每種圓錐曲線的內涵都深刻地揭示了該曲線的本質特征，其中的每一點都具備著共同的特點，無論是其上的已知點還是未知點都具有相同的幾何意義.

案例1證明：以過橢圓的焦點的弦為直徑的圓，必和橢圓相應的準線相離.

分析：此題與橢圓的焦點和相應準線有關，比較適合利用橢圓的第二定義來思考.

證明：設橢圓焦點為F，過焦點的弦為AB，曲線的離心率為e，A、B兩點到準線的距離分別為m、n，則AB的中點M到準線的距離

根據橢圓的定義可得|AM|=e·m，|AN|=e·n.

類似地，我們可以得到雙曲線和拋物線的相似結論.以過雙曲線的焦點的弦為直徑的圓，必和雙曲線相應的準線相交；以過拋物線的焦點的弦為直徑的圓，必和拋物線的準線相切.

二、圓錐曲線定義運用的廣泛性

圓錐曲線的定義運用十分廣泛，利用圓錐曲線的定義解題比較靈活，一看解答簡單漂亮.自己思考一籌莫展，對不同題型進行歸類，把其中的特點加以提煉，從而更好、更深刻地理解圓錐曲線的運用.

1.求軌跡方程

求曲線方程是解析幾何的兩大基本問題（由圓錐曲線求方程，由方程求圓錐曲線）之一，將形的直觀與數的嚴謹有機地結合起來是每年高考常考的內容，常考常新.利用定義求滿足條件的曲線方程是優化解題的有效方法.

案例2求以F（2，0）為焦點，以L：x-2y+4=0為相應準線，且過點A（3，2）的曲線方程.

分析：題干中給出焦點F和相應準線方程，顯然其結果應該為圓錐曲線，但其準線不平行于坐標軸，這樣用常規解法，設標準方程或平移狀態下的標準型均解決不了，因此應想到用第二定義.第二定義中的常數應該用已知點A來解決.

解：設所求曲線上任一點M（x，y），其離心率為e.由第二定義得，即①.由于此曲線過A（3，2），因此代①式中解得

第二定義深刻地描述出曲線上的點到焦點F與到相應準線的距離比為一常數這一特點，而已知點A也應具備這一特點，從而求出這一常數，再用這一定義求出曲線方程.

2.求值

圓錐曲線中的求值問題具有多方法、技巧強、運算量大等特點.能靈活運用圓錐曲線的定義解題可達到化繁為簡的效果.

（1）運用定義求與長度有關的問題.

解析：由雙曲線的定義知|MF2|-|MF1|＝4，|NF2|-|NF1|＝4，所以|MF2|＋|NF2|-|MF1|-|NF1|＝|MF2|＋|NF2|-|MN|＝8.

本例題難度不大，思路也比較清晰，是求圓錐曲線上的相關長度問題，涉及曲線上的點到焦點的距離，我們就可以嘗試運用圓錐曲線的定義來求解這一類問題.

（2）運用定義求與面積有關的問題.

案例4已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=1的左、右焦點，P點在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積S=_________.

解析：設|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨設m>n，P（x，y），|PF1|-|PF2|＝m-n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得n2-2mncos60°，即8＝（m-n）2＋mn，所以mn＝4.

由△F1PF2的面積公式，得S＝mnsin60稍微做一些改變，加深一點難度也可以得到如下變式.變式：已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=1的左、右焦點，P點在C上，∠F1PF2＝60°，則點P到x軸的距離為_________.

解析：分析過程和上題完全一樣，再利用△F1PF2的

即點P到x軸的距離為

在求解圓錐曲線相關面積的問題時，定義一定是一個潛在的條件，運用定義可以得到一個等式，再結合題中明確給出的條件，運用相關定理公式，得到其他等式，從而求解.當然題型也可能是將周長和面積結合在一起.

（3）運用定義求特殊位置的問題.

案例5已知拋物線y2=4x的焦點為F，拋物線上有一點M.

（Ⅰ）定點P（4，-2），若要使得MF+MP最小，求M點的坐標；

（Ⅱ）定點Q（4，5），動點M的橫坐標為x0，求x0+MQ的最小值.

解析：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為F（0，1），令x=4可得y=±4，所以P（4，-2）位于拋物線內部，如圖1所示，在拋物線上任意選取一點M，連接MF和MP，過M作準線的垂線MN，由拋物線的定義，我們有MF+MP=MN+MP.要求MF+ MP的最小值，轉化成求MN+MP的最小值，借助圖像易知，過P點作準線的垂線PN1交拋物線于M1點，則當M點位于M1的位置時，MF+MP最小，最小值為PN1的距離，由于M1是垂線PN1和拋物線的交點，所以M1（1，-2），所以，當MF+MP最小時，M點的坐標為（1，-2）.

（Ⅱ）拋物線y2=4x的焦點為F（0，1），令x=4可得y= ±4，所以Q（4，5）位于拋物線外部，如圖2所示，在拋物線上任意選取一點M，過M作準線的垂線交y軸于N點，交準線于R點，因為M的橫坐標為x0，所以MN=x0，要求x0+MQ等價于求MN+MQ，我們先求MR+MQ的最小值，由拋物線的定義可知MR+MQ=MF+MQ，當M點位于M1的位置時，MF+MQ最小，最小值為FQ的距離，由兩點之間距離公式可知因為MR-MN=1，所以的最小值為

其實在具體運用圓錐曲線的定義求解問題時，我們發現當題中涉及曲線上的點到焦點或者準線的距離時，我們就可以嘗試運用定義進行相應轉化，這也是一種數學思維，通過運用定義做合適的轉化，可以讓題中的各類條件變得明晰，使自己思考問題更加透徹準確.

3.求取值范圍

圓錐曲線的取值范圍問題聯系了圓錐曲線的特征參數（a、b、c、d、e、p）及坐標變量（x，y）的范圍，較好地考查了學生數學建立模型和靈活處理問題的能力，是高考的熱點問題之一，能靈活運用定義解題會使問題化難為易，化繁為簡.

分析：要確定∠F1PF2的取值范圍，首先要把∠F1PF2的某個函數值用參數表示出來，由于焦點三角形F1PF2中，三條邊和橢圓的a、b、c關系密切，所以是否可以考慮在△F1PF2中利用余弦定理并結合定義思考.

解：設|F1P|=r1，|F2P|=r2，在△F1PF2中根據余弦定理得那么

由已知條件可得a2=2b2，所以cosθ≥0.

當且僅當r1=r2時cosθ=0成立，所以

因此，圓錐曲線的運用十分廣泛，在解題時充分挖掘題中圖形的幾何性質，適時地巧用定義，探求最佳的解題方法，開發最佳思路尋求解題規律，起到以點帶面、事半功倍的效果.

4.圓錐曲線定義與其他知識的綜合運用

（1）聯系平幾定理活用定義.

案例7設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經過F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，證明直線AC經過原點.

證明：如圖4所示，過A、B分別向準線作垂線AD、BC，N是x軸與準線的交點，連接AC，AC與FN的交點為M，則，由拋物線的定義知，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|.

所以|NM|=|MF|，故M是FN的中點，即M與原點重合.所以直線AC經過原點.

（2）結合韋達定理（逆）妙用定義.

①2-②2再除以2，得|PF1|·|PF2|=2（a2-c2）③.

由①、③根據韋達定理逆定理，可知|PF1|、|PF2|是方程z2-2az+2（a2-c2）=0的兩根，則有Δ=4a2-8（a2-c2）≥0.

（3）交替利用兩個定義.

解析：假設在雙曲線左半支上存在點P，使得|PF1|= d|PF2|，即由雙曲線的第二定義知，所以|PF2|=e|PF1|.

所以|PF2|-e|PF1|=0①.

由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=-2a②.

由①+②得|PF1|-e|PF1|=-2a，即（1-e）|PF1|=-2a，所以

顯然在△PF1F2中，有|PF1|+|PF2|≥2c，即≥2c，a（1+e）≥c（e-1），（1+e）≥e（e-1）.

所以e2-2e-1≤0，解得1

所以假設不成立，故P點不存在.

（4）明確目標逆用定義.

案例10在△ABC中，已知BC=a，動點A滿足條件sinC-sinB=sinA，求動點A的軌跡方程.

解析：以BC邊所在直線為x軸、以線段BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，如圖5所示.

根據雙曲線的定義進行逆向思維可知，A點的軌跡是雙曲線的右支（除頂點），它的焦距2c=a.設雙曲線的方程為，則它的實軸長為2m=，所以

綜上，運用圓錐曲線的定義是解決一些解析幾何問題有效且快捷的方法.用圓錐曲線的定義來解題，它的基本特點是解題思路比較簡單，規律性比較強.能用圓錐曲線定義求解的問題往往與焦點或準線有關，通過定義往往可以相互轉化.對于橢圓和雙曲線可以通過定義把到左焦點的距離和到右焦點的距離相互轉化，對于拋物線可以通過定義把到焦點的距離和到準線的距離相互轉化.通過定義的應用，再利用數形結合思想，不僅能抓住問題的本質，還能避開復雜的運算，使問題巧妙獲解，有事半功倍之效.F