等號的意義

☉湖北省武漢大學附屬中學 何淑平

等號的意義

☉湖北省武漢大學附屬中學 何淑平

在數學中，常見的就是“=”了，一個計算式中，少不了的就是它，可是，大家真的完全明了它的意義嗎？不盡然.

在大多數人眼里，等號刻畫的是它的兩邊的一種相等的數量關系，例如：1=1，或者1克=1克.但這是等號的最初等含義.

1.等號表示一種相等的數量關系

這個在前面已經論述過.

2.等號表示一種算法

等號其實是運算的基礎，如果運算沒有規定什么是運算中兩個對象的相等，計算將無法進行.

If the atomic number Z of ZnS is much greater than ,then Eq. (9) can be calculated as the volume density, which was found to be on the order of 3.9 g/cm3. This result is in close agreement with the literature.

例如，規定a鄢b=2a-3b，a、b∈R，則可以計算2鄢（3鄢2）=2×2-3（3鄢2）=4-3×（2×3-3×2）=4.

這就是所謂規定新運算的基礎，其實就是等號的意義的體現.

3.等號在邏輯上表明一種等價關系

因此它具備等價關系的三大核心性質：自身性，即a=a；反身性，即a=b圯b=a；傳遞性，即a=b，b=c圯a=c.

4.等號還有兩大特殊意義（等號是方法）

（1）等號的方程含義.

含有未知數的等式稱為方程，這是方程的定義，但是很少有人注意到，其實，所謂的方程就是一個等式，只是其中含有未知數而已.反過來，基于上面所指的等號的意義，我們可以從這個角度來認識所謂的方程，就是一個標識符“=”.

如果我們從方程的角度來認識等號的意義，那么此時的等號就告訴我們兩個核心的算法結構，我們形象地告訴學生，這個稱為“等號是方法”.在這種情況下就是：消元和降次.

我們將這里的等號從方程的角度考慮，未知數x、y是元，且為多元，因此，等號的意義就是消去其中的某些元（消元），消元的方式有代入消元和加減消元.（解從略）

例如，已知x2-2x-3=0，求x.

我們將這里的等號從方程的角度考慮，未知數x是元，且為一元，因此，等號的意義就是將一元方程降次，而降次的最佳手段就是因式分解.（解從略）

例如，我們常在解析幾何中看到如下的字眼“圖像的軌跡方程”，這里所謂的方程，其實就是尋找一個等式，只不過等式的元，就是圖像上點的坐標而已.

所以當我們在任何地方看到“方程”這個字眼的時候，自己一定要明白，其實就是一種等號確定的思考方式.

（2）等號的函數含義.

函數其實簡單而言，就是描述多個變量之間等量關系的表達式.變量因等號而分類，可以簡單地將代數學中的結論如此刻畫，一個等號從方程的角度可以解出一個變量的值，而被解出的這個變量在函數的觀點下成為因變量，刻畫這個因變量的其他變量稱為自變量，等號完成了它的第一個基本使命，將變量進行分類（自變量與因變量）.

其次，如果將等號視為函數，那么函數的處理基本模式就會自動形成（也稱為等號是方法）：用三句話概括.

①定義域是陷阱.

解：將等號視為函數，由定義域知x=1，從而y=1.

②參數是關鍵.

對一個函數對象的討論，其實是對它的參數進行討論的問題.

例如，已知y=xa（x≥0，a＞0），求證它過定點.

證明：所謂的定點，其實就是與參數a無關的點，因此定點為（0，0）、（1，1）.

③圖像是方法.

處理函數問題的基本核心技術，就是它的圖像，要習慣有意識地控制函數的圖像，并且通過圖像來解決問題.

如果我們從函數的角度出發來解這個問題，其實就是兩條直線的交點，圖像是方法.

5.等號是不等號的分界點

等號的取值，是不等號的分界點.核心思想為a≥b，a≤b圯a=b.

例如，已知不等式x2+ax+b＞0的解為x＞3或x＜1，求方程bx2+ax+1=0的解.

解：由不等式x2+ax+b＞0的解為x＞3或x＜1，知方程x2+ ax+b=0的解為x=3或x=1，因此a=-4，b=3，所以方程bx2+ ax+1=0的解為或x=1.

本文試圖從形式上來系統闡述數學的結構思想，讓數學在某種形式下實現統一，也體現了數學的高度形式化特色，當然也將看似不相關的知識從另外的一個側面實現完美的統一.A