談兩個“重要公式”的證明

談兩個“重要公式”的證明

蘇 龍 （甘肅省廣河縣三甲集中學(xué) 731301）

本文對正整數(shù)平方和公式與立方和公式進行了證明與推導(dǎo)，以期讓學(xué)生更好地理解領(lǐng)會公式、掌握靈活應(yīng)用公式解決數(shù)學(xué)問題的方法。

正整數(shù) 平方和公式 立方和公式 證明

研究性學(xué)習(xí)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中一個十分熱門的話題， 但在正常的教學(xué)過程中，教師們往往會覺得缺乏合適的研究性學(xué)習(xí)的素材。很多新穎而富有時代特征的素材應(yīng)該作為研究性學(xué)習(xí)的材料， 但這樣的素材比較缺乏。其實，我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料當(dāng)中一些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問題經(jīng)適當(dāng)?shù)慕M織后同樣可以成為研究性學(xué)習(xí)的不錯素材， 正如本文所述的兩個“重要公式”的證明一樣。

正整數(shù)平方和公式與立方和公式是解決數(shù)學(xué)問題時常用到的兩個公式，對于這兩個公式的證明，學(xué)生們感到很困惑，對此，筆者進行了一些探索，總結(jié)出來，以備參考。

一、正整數(shù)的平方和公式

正整數(shù)的平方和公式的證明有以下兩種比較簡單的方法。

方法一（組合數(shù)公式法）：學(xué)習(xí)了排列與組合的有關(guān)知識，我們知道，從而可得

這樣就有結(jié)論：

因此：

方法二（構(gòu)造法）：我們求數(shù)列{n2}的前n項和為Sn，則Sn=12+22+32+…+n2，由于以上n個式子累加得：

二、正整數(shù)立方和公式的證明-猜想證明法

分析：正整數(shù)立方和可看作求數(shù)列{n3}的前項和。對于這個數(shù)列，既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列，常用的幾種方法都沒辦法解決。怎么辦呢？我們先求前1項的和，前2項的和，前3項的和，……，猜想出前n項的和，再去用數(shù)學(xué)歸納法證明正確性。