“實變函數”課程教學的研究

王 晶

(長沙大學數學與計算機科學系, 湖南 長沙 410022)

“實變函數”課程教學的研究

王 晶

(長沙大學數學與計算機科學系, 湖南 長沙 410022)

針對實變函數課程的特點，結合作者一線教學的經驗，提出了該課程教學實施過程中的三點體會：理清思路，幫助學生減輕畏難情緒；利用現代教學輔助設備的同時，保留傳統教學手段；著重培養學生的抽象思維能力.

實變函數；Lebesgue積分；Cantor 集.

“實變函數”是數學專業的基礎課程[1-3]，它與“數學分析”密切相關，它的觀念和方法逐漸滲入到數學的各個學科和領域，成為近代數學的“新三基”之一，同時它不僅是數學與應用數學專業本科生的一門必修課程，甚至很多經濟專業、工科也將其作為一門必修課程.

然而由于“實變函數”這門課程理論性非常強，高度抽象，導致學生學習起來覺得非常困難，學生中流行一句話叫“實變函數學十遍，泛函分析心犯寒”，形象的說明了這門課程的抽象程度以及同學們對該課程的恐懼心理.筆者自從2009年開始，已經在長沙大學連續為5屆數學專業大三學生講授了“實變函數”這門課程，在一線講臺的經歷，為自己積累了幾點對這門課程研究的感想和體會，現將其整理成文，與大家探討.

1 理清“實變函數”課程的思路，降低學生對課程的畏難情緒

在教學過程中，筆者深深的體會到，由于課程高度抽象，學生往往迷失在復雜的理論及證明中，以至于連課程的體系和思路都沒弄清楚，這是學生覺得這門課程難學的一個原因.設想一個學生如果對整個課程的體系都不清楚，不知道講的內容在整個課程中的地位，不清楚所學內容與后面的內容有什么聯系和作用，還怎么能能力和信心去學好這門課程呢？

因此為了幫助學生理清這門課程的思路，減少學生對這門課程的陌生感和畏難情緒，筆者會先用2課時詳細的向學生介紹“實變函數”課程的主要目的和內容：由于經典的Riemman積分存在著若干的“不足”，使得對積分進行相應運算操作很不方便，在19世紀末，20世紀初，法國數學家Lebesgue就從Riemman積分的定義著手進行修改，得到Lebesgue積分，而在修改過程中，又需要引入測度、可測等新的概念和定義，并且為了研究的嚴謹和完整性，還需要若干理論條件，等等.這樣雖然用了2課時，可是作用卻是不可低估的，它會讓學生對整個課程的框架體系和內容有了一個大致的了解，會大概清楚接下來要學的是什么.

當然，由于“實變函數”課程太過于抽象，在學習的中途，學生也常常會困惑于長篇晦澀的證明，而淡忘課程的框架體系，因此在每個章節的學習中，在介紹新的概念、定義和定理之前，適當的回顧，讓學生復習明白將要學習的內容在整個課程體系中的地位和作用，這樣會使得學生在學習過程中方向比較明確，不再是“無頭的蒼蠅”，從而一定程度上降低了他們的畏難情緒，提高學生的學習信心與積極性.

2 保留傳統教學手段，充分利用現代教學輔助設備

由于“實變函數”的整個課程體系仿佛是在搭建一棟理論上的房子，所有的基石來源于定義、定理，整門課程幾乎是由定義、定理、引理、推論組成，例題、計算內容非常少，即使有作業，也基本上都是證明題.因此，在上《實變函數”這門課程的時候，雖然現代先進的教學手段可以很大程度上降低老師授課的辛苦程度，但筆者還是不厭其煩的保留傳統的黑板板書教學，將所學的內容在黑板上清楚的板書出來，詳實清楚的給出證明推導過程，并且在用到前面的知識或結論時，可以在黑板上一目了然的看到，這樣會讓所學課時的內容清清楚楚，加深對所學知識的印象，從而降低學習難度.筆者曾對所上班級的每一屆學生都做過相應的詢問，問他們是希望老師用傳統板書還是用多媒體來上這門課程？無一例外的，學生的回答都是偏向于傳統板書教學.

另一方面，由于課程中的很多內容并不能通過直觀認識來建立理解，使得學生在學習的過程中，覺得非常困難.為了提高學生學習的積極性，筆者建議還應充分利用計算機等現有的教學輔助設備.比如在講授“Cantor三分集”這一部分內容時，可以通過ppt課件動態演示cantor三分集的具體構造過程：先將[0,1]區間三等分，動態演示去掉中間的三分之一，再將剩下的區間分別三等分，再去掉中間的三分之一，過程可以不斷的進行下去.這樣通過直觀的動態演示，把難以理解的概念形象化，讓學生非常清楚直觀的看到cantor集的構造過程，由于有了直觀的認識，在此基礎上研究cantor集的性質，就不會覺得虛無縹緲，摸不著邊際了.這樣結合現有的教學設備，化難為簡，加深學生的直觀理解，從而可以提高他們學習的積極性.

3 講解深入淺出，培養學生的抽象思維能力和理解能力

通過前述的兩點，可以在一定程度上降低學生的畏難情緒，和提高他們的學習積極性.但是由于“實變函數”內容所決定，這門課程高度抽象，理論性非常強，防不勝防，大部分的內容都難以建立直觀上的理解和聯系，甚至很多內容是“似是而非”、或者“似非而是”；另一方面，由于像長沙大學這些地方本科院校的學生抽象思維能力較弱，理解能力較差，對于“實變函數”這門高度抽象課程的認識和理解程度不夠，學生中存在較為明顯的厭學情緒.

因此假如僅僅憑借前述的兩點，還遠遠不足以讓學生學好這門課程，還必須在教學的過程中，采用啟發、探究的方式，深入淺出的講解，適當的對前面所學知識進行回顧，從根本上注重培養學生的抽象思維能力和理解能力.讓學生體會為什么學，學有何用，想方設法充分調動學生的學習主動性和積極性，將抽象的理論教學課堂變成培養學生理解能力和抽象思維能力的地方，讓學生能積極主動的進行學習，才能讓學生能減少厭學情緒，積極能動地學好“實變函數”這門課程.

[1] 程其襄,張奠宙,魏國強,等.實變函數與泛函分析基礎[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2] 匡繼昌.實分析與泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3] 張曉嵐.實變函數與泛函分析簡明教程[M] .北京:高等教育出版社,2004.

(作者本人校對)

Study on the Teaching of “Real Analysis” Course

WANG Jing

(Department of Mathematic and Computer Science, Changsha University, Changsha Hunan 410022, China)

Combined with the author’s experiences in teaching real analysis course and characteristics of the course, this paper puts forward some opinions on the improvement of the teaching, that are clarifying the frame of the course to reduce students’ fear towards learning, maintaining traditional teaching methods while using modern assistant equipment, and paying attention to cultivating students’ ability of abstract thought.

real analysis; Lebesgue integration; Cantor set

2015-03-28

長沙大學2014年教改項目(批準號:16).

王晶(1981— )，女，湖南邵陽人，長沙大學數學與計算機科學系副教授，博士.研究方向：圖論及其應用、實變函數.

G423

A

1008-4681(2015)05-0120-02