線性二次調節器在機械臂非線性控制中的應用研究*

魏 來，贠 超 ，楊學兵

(北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京100191)

0 引 言

在工業生產線上，工業機械臂的應用可以提高工作效率，保證產品的穩定性，并改善工人的工作條件，因此，目前工業機械臂已經被廣泛地應用在自動化生產過程中。為了滿足自動化生產中更加精細的作業需求，如何提高機械臂的控制精度成為當今該領域的研究熱點之一。針對軌跡型機械臂，例如焊接機器人，對如何提高其軌跡精度進行研究是重點之一。

機械臂是一個非線性的時變系統，在非線性控制理論中，計算力矩法［1-2］是一種比較適用于機械操作臂的控制方案。通過這種方法建立的控制器能夠抑制擾動，并能保證機械臂在任何姿態下都能夠跟蹤目標軌跡。通過建立機械臂的動力學方程，機械臂系統被解耦和線性化，最終各個關節表現為獨立的二階系統。實現這種控制方法的前提是能夠建立足夠精確的動力學模型，然而在實際中很難做到這一點，例如，難以確定摩擦模型的結構。此外，隨著機器人老化，動力學參數會變得不具有重復性，而且當機械臂抓持不同工具或工件時，工具或工件的慣量也會改變機械臂的動力學特性。

有缺陷的動力學模型會造成機械臂的伺服誤差，導致控制精度下降。針對這一問題的研究，已經有部分學者取得了一定的成果。

文獻［3］應用了一種自適應方法，并證明了這種方法的全局穩定性。這種方法依據機械臂的狀態和伺服誤差，系統調整動力學模型中的參數值，學習系統本身的動力學特性。隨著人工智能技術的發展，后續的研究中人工神經網絡和模糊控制［4-8］等技術被逐漸應用在機械臂控制技術中，以減小有缺陷模型帶來的影響。Miyamoto［9］將反饋誤差學習神經網絡用在機械臂軌跡控制中。文獻［10］中，設計了一個魯棒模糊控制器用來穩定一類可解的非線性廣義系統，這種方法對于機械臂適用。文獻［11-13］將模糊PID 控制器應用到機械臂上。這些方法都能夠在沒有精確模型和參數的條件下處理高度復雜的動態系統。

線性二次型(LQR)易于實現且具有工程性，計算和實現更為容易［14］，已被廣泛運用在工程中，運用線性二次調節器［15-16］，通過收集先前動作中的伺服誤差信息生成誤差修正項，消除動力學模型不精確引起的伺服誤差。整個學習型控制器保持了原有基于動力學模型的非線性控制器結構，經過反復訓練，通過提高機械臂關節空間的運動精度，達到提高軌跡精度的目的。該方法適用于做重復性工作的機械臂，當其需要完成新的任務時，之前的學習經驗將失去作用。

筆者的研究過程包括一個兩關節機械臂的仿真過程，以及在實驗平臺上的實驗結果，經驗證該方法能夠起到抑制伺服誤差、提高軌跡精度的作用。

1 機械臂控制器

具有學習功能的控制器是在基于動力學模型的非線性控制方法的基礎上實現的。

機械臂動力學方程可以表述為如下形式:

式中:τ—n ×1 的關節力或力矩組成的矢量;Q—n ×1的關節當前位置矢量;M(Q)—機械臂的n ×n 慣量矩陣;V(Q，)—n×1 的離心力和科氏力矢量;G(Q)—n×1 的重力矢量;F—n×1 的摩擦力矢量;n—機器人的自由度數［17］。

當本研究控制機械臂時，基于模型參數建立的動力學方程為:

由于很難建立正確的摩擦模型，一般的控制器不包含摩擦模型。

采用線性化解耦控制律，令:

其中:

式中:Qd—n×1 的關節目標位置矢量;E，—n ×1 維的位置誤差和速度誤差矢量;矩陣Kv，Kp—n ×n 的對角矩陣，對角線元素分別為表示為kvi和kpi。

E 的表達式為:

將式(1，3)聯立，可得到系統的閉環特性的誤差方程為:

在基于模型的非線性控制方法中，通常將模型考慮為絕對精確，因此式(8)的右側為零，此時閉環特性的誤差方程變為:

由于Kv和Kp是對角陣，此時機械臂可以被很好地解耦和線性化。式(9)可寫成各關節獨立的形式:

最終得到的控制系統如圖1 所示。

光滑的目標軌跡是時間的連續函數，以關節角度Qd、角速度、角加速度矩陣的方式給出，整個系統可以準確地跟蹤期望軌跡。

圖1 基于模型的具有學習功能的機械臂控制器

上述便是基于模型的線性化解耦控制律，也稱為計算力矩法。

然而通常情況下，精確的動力學模型很難得到。由于實際參數與模型參數的不一致，即式(8)右側不為零，這將會引起伺服誤差，甚至導致系統失穩。可以考慮在控制系統中增加一個誤差修正項U，此時閉環特性的誤差方程變為:

式中:誤差修正項U—n ×1 的向量，形式為U =［u1，…，un］T。

如果修正項U 能夠與式(8)右側相等，便能補償模型與實際的偏差，閉環特性的誤差方程仍能保持為式(9)的形式，系統仍舊能夠得到很好地解耦和線性化。

因此，如圖1 所示，本研究要在控制系統設計時，引入線性二次調節器以生成誤差修正項U。

2 線性二次調節器

機械臂的控制系統以一定的頻率運行，機器人的各個關節的關節角度Qd、角速度、角加速度矩陣以離散點的形式以一定的頻率發送。因此，誤差補償項U 也是離散發送的，可以將其考慮成離散時間決策的有限階段馬爾可夫決策過程模型。

模型包含4 個元素(S，A，Psa，R):

S—可能的狀態集合，

A—可能的動作集合，

Psa—狀態轉移概率分布函數，

R—懲罰函數。

由于LQR 可以應用在有缺陷的模型中，只要調節次數足夠多，仍能夠起到理想的效果。LQR 的這一特性很好地解決了難以得到機械臂精確動力學方程的問題。

在有缺陷的模型中忽略模型誤差，閉環特性的誤差方程可表示為:

換成獨立關節的形式，第i 個關節的誤差方程為:

將該二階系統設計為臨界阻尼系統，即保證二階系統的極點是兩個相等的實根。此時，系統將以最短的時間運動到平衡位置而不出現震蕩。因此，控制增益設定為:

此時，微分方程(12)的通解為:

若初始條件為ei(0)和(0)，可得:

將式(16)代入式(15)，得到特解:

將式(17)對時間求導，可得:

式中:

在b 和Δt 確定后矩陣A 和B 是常數矩陣，因此機械臂控制系統是一個離散的線性系統，且在當前狀態xk-1和動作uk-1確定的條件下，下一時刻狀態xk是確定的，即狀態轉移概率分布函數Psa=1。

利用LQR 產生最優控制策略，其中懲罰函數是狀態xk和動作uk的函數，即:

因此，機械臂單關節運動過程性能指標可以表示為:

通過運算求最優控制動作序列uk(k =1，…，N)，使性能指標最小。式(22)中可以起到抑制伺服誤差的作用;另一項用來抑制動作幅度，以防止過度調節。

使性能指標最小的動作序列可以用下面的公式求得:

其中:

Pk可以通過逆向迭代的方式，用Riccati 方程［18］求得，即:

初始條件是:

線性二次型調節器對每個關節分開運算，通過提高每個關節的關節空間軌跡精度，以提高機械臂末端的軌跡精度。當機械臂重復同一動作時，每運行一次便可采集k 關節的伺服誤差eik與ik，并生成一組誤差修正項。

值得注意的是，新生成的誤差修正項要累加到之前的誤差修正項的和中，在下次運行時對模型誤差做出修正。這樣通過重復訓練，整個機械臂可以逐漸接近于式(9)中理想的系統，直到伺服誤差足夠小時可以停止訓練。

3 算例仿真

用ADAMS 軟件進行仿真，建立一個簡單的兩個自由度(2DOF)機械臂。兩自由度機械臂仿真如圖2 所示。

圖2 兩自由度機械臂仿真

兩個連桿質量均勻分布且參數相同，均為:

長l=0．4 m，

寬0．04 m，

厚0．02 m，

質量m=2．693 kg，

轉動慣量CI=4．2 ×10-2kg·m2，

控制增益設定為kpi=100，kvi=20。

為了驗證控制算法對動力學模型誤差的補償，本研究設定有誤差參數包括:將兩桿質量設置為3 kg，轉動慣量設置為CI=3．8 ×10-2kg·m2。

如圖2 所示，控制機械臂末端從點(400，400)沿直線運動到(-400，400)，經過軌跡規劃，關節角度、角速度、角加速度如圖3 所示。

將該機械臂動力學方程表示為式(1)的形式，其中:

本研究建立如圖1 中所示的控制系統，并進行多次運動仿真，并采集前一次運動過程中的速度與位置偏差在下次運行時進行誤差修正。

ADAMS 動力學仿真結果如圖2 所示，可以看出兩自由度(2DOF)機械臂末端軌跡逐漸接近目標軌跡。這是由于經過四次調節，在關節空間實際運動軌跡與目標軌跡的角度偏差逐漸減小，使得機械臂末端在笛卡爾空間中的軌跡精度得到提高。

4 實驗結果分析

實驗平臺如圖4 所示。這是一個典型的機器人關節，由交流伺服電機通過同步齒形帶驅動諧波減速器帶動負載進行運動。

由于該算法分別針對單個關節進行調節，單關節實驗平臺可以用于驗證算法的可行性。

圖4 算法實驗平臺

本研究將關節角度目標軌跡設定為q =40·［1-cos(πt/3)］。關節角度軌跡誤差隨著調節次數增加的變化情況如圖5 所示。

圖5 伺服誤差

最終得到的電機運動狀態如圖6 所示。整個過程電機速度較為接近標準的正弦曲線。參考圖5 和圖6可以看到，當正向運動時伺服誤差為負，反向運動時伺服誤差為正。經分析，該誤差是由于在動力學模型中忽略了摩擦想所致。

調解中的關節角度誤差如表1 所示。

圖6 電機運動狀態

由圖5 和表1 可知，經過了4 次調節，由于動力學模型偏差被逐漸補償了，伺服誤差大約減小了1/3，軌跡精度逐漸提高。實驗結果很好地證明了該方法能夠提高機械臂的運動精度。

表1 調解過程中的關節角度誤差

5 結束語

本研究提供了一種補償機械臂動力學模型誤差的方法，將誤差修正項的確定歸納為有限階段馬爾可夫決策過程模型，并利用線性二次調節器(LQR)確定了最優的控制方案。該方法適用于機械臂的計算力矩控制法，能夠有效地提高機械臂關節空間的軌跡精度，可應用于做重復工作的機械臂中。但是，該方法對于經常執行新任務的機械臂不適用。

本研究經過對兩自由度機械臂仿真以及在機械臂單關節實驗平臺上的實驗，驗證了該方法的可行性。實驗結果顯示，伺服誤差的減小速度很快。

［1］PAUL R． Modelling，trajectory calculation and servoing of a computer controlled arm［R］． STANFORD UNIV CA DEPT OF COMPUTER SCIENCE，1972．

［2］CRAIG J J． 機器人學導論［M］． Beijing:China Machine Press，2005．

［3］CRAIG J J，HSU P，SASTRY S S． Adaptive control of mechanical manipulators［J］． The International Journal of Robotics Research，1987，6(2):16-28．

［4］MURPHY R． Introduction to AI robotics［M］． Massachusetts:MIT press，2000．

［5］HAYKIN S S． Neural networks and learning machines［M］．Upper Saddle River:Pearson Education，2009．

［6］WAKILEH B A M，GILL K F． Use of fuzzy logic in robotics［J］． Computers in Industry，1988，10(1):35-46．

［7］KOSKO B． Neural Networks and Fuzzy Systems:A Dynamical Systems Approach to Machine Intelligence/Book and Disk［M］．Upper Saddle River:Prentice hall，1992．

［8］KARAKASOGLU A，SUDHARSANAN S I，SUNDARESHAN M K． Identification and decentralized adaptive control using dynamical neural networks with application to robotic manipulators［J］． Neural Networks，IEEE Transactions on，1993，4(6):919-930．

［9］MIYAMOTO H，KAWATO M，SETOYAMA T，et al． Feedback-error-learning neural network for trajectory control of a robotic manipulator［J］． Neural Networks，1988，1(3):251-265．

［10］WANG Y，SUN Z Q，SUN F C． Robust fuzzy control of a class of nonlinear descriptor systems with time-varying delay［J］． International Journal of Control Automation and Systems，2004(2):76-82．

［11］PRECUP R E，HELLENDOORN H． A survey on industrial applications of fuzzy control［J］． Computers in Industry，2011，62(3):213-226．

［12］BINGüL Z，KARAHAN O． A fuzzy logic controller tuned with PSO for 2 DOF robot trajectory control［J］． Expert Systems with Applications，2011，38(1):1017-1031．

［13］PILTAN F，SULAIMAN N，ZARGARI A，et al． Design PID-like fuzzy controller with minimum rule base and mathematical proposed on-line tunable gain:applied to robot manipulator［J］． International Journal of Artificial intelligence and expert system，2011，2(4):184-195．

［14］胡壽松，王執銓，胡維禮．最優控制理論與系統［M］．上海:上海科學出版社，2005．

［15］SCOKAERT P O M，RAWLINGS J B． Constrained linear quadratic regulation［J］． Automatic Control，IEEE Transactions on，1998，43(8):1163-1169．

［16］TEDRAKE R，MANCHESTER I R，TOBENKIN M，et al．LQR-trees:Feedback motion planning via sums-of-squares verification［J］． The International Journal of Robotics Research，2010(29):1038-1052．

［17］BEMPORAD A，MORARI M，DUD V，et al． The explicit linear quadratic regulator for constrained systems［J］． Automatica，2002，38(1):3-20．

［18］白麗平．基于ADAMS 的機器人動力學仿真分析［J］．機電工程，2007，24(7):74-77．