談遞推公式an+1=pan+q求通項(xiàng)的多變性問題

王浩（甘肅省張掖市第二中學(xué)734000）

談遞推公式an+1=pan+q求通項(xiàng)的多變性問題

王浩（甘肅省張掖市第二中學(xué)734000）

數(shù)列通項(xiàng)公式是我們分析數(shù)列性質(zhì)的重要依據(jù)，也是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)。高考一般以考察通項(xiàng)公式和性質(zhì)為主，具體體現(xiàn)為用歸納猜想求通項(xiàng)，用an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)，由遞推公式求通項(xiàng)等。本文重點(diǎn)對通過數(shù)列的遞推公式an+1=pan+q求數(shù)列通項(xiàng)中體現(xiàn)出來的“多變性”問題作一總結(jié)。這一問題也是高考數(shù)列命題中常見的一類題型。這類題型如果單純地從某個(gè)方面看，其解法靈活多樣，不易捉摸。如果我們從這些問題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行仔細(xì)研究，就會發(fā)現(xiàn)一些高頻考點(diǎn)都是從這一類型中變化而來。筆者認(rèn)為，無論哪種題型，最終需要利用an+1=pan+q這種類型問題的解法來解決。

一、由遞推公式an+1=pan+q求通項(xiàng)公式幾種的解法（p，q為非零常數(shù)且p≠1）

解法一：仿寫作差構(gòu)造數(shù)列

由an+1=pan+q——①可得：an=pan-1+q——②。①-②得：an+1-an=p（an-an-1），設(shè)bn=an+1-an，從而有bn=pbn-1，即數(shù)列{bn}以b1=a2-a1為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列，所以bn=b1pn-1=(a2-a1)pn-1，即an+1-an=(a2-a1)pn-1，又an+1=pan+q，將此式代入上式得pan+q-an=(a2-a1)pn-1，故

解法二：由上法得{an+1-an}以an+1-an為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列

即an+1-an=(a2-a1)pn-1，于是有：a2-a1=(a2-a1) p0，a3-a2=(a2-a1)p1，a4-a3=(a2-a1)p2，……，an-an-1= (a2-a1)pn-2，將這n-1等式疊加可得：an-a1=(a2-a1) (p0+p1+p2+……+pn-2)，故

解法三：利用待定系數(shù)構(gòu)造數(shù)列

由an+1=pan+q可得設(shè)為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列。即，從而數(shù)列{bn}以

解法四：迭代法

由an+1=pan+q可得：an=pan-1+q，an-1=pan-2+q，an-2=pan-3+q，……，a2=pa1+q將這n-1個(gè)式子迭代可求解an。

例：已知數(shù)列{an}，a1=1，an=3an-1+2，(n∈N*，n≥2)求an。

解法1：由已知可得：an+1=3an+2，an=3an-1+2，兩式相減得：an+1-an=3(an-an-1)，設(shè)bn=an+1-an，從而數(shù)列{bn}以b1=a2-a1=4為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以bn=4·3n-1，即an+1-an=4·3n-1，又an+1=3an+2，將此式代入上式得3an+2-an=4·3n-1，故an=2·3n-1-1。

解法2：由上法得{an+1-an}以a2-a1=4為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。即an+1-an=4·3n-1，于是有：a2-a1=4·30，a3-a2=4·31，a4-a3=4·32，……，an-an-1=4·3n-2，將這n-1等式疊加可得：an-a1=4· (30+31+32+……+3n-2)，故an=2·3n-1-1。