點估計方法在功能函數有折點時的適用性

梁 子 楊

(華北水利水電大學土木與交通學院，河南 鄭州 450045)

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點估計方法在功能函數有折點時的適用性

梁 子 楊

(華北水利水電大學土木與交通學院，河南 鄭州 450045)

通過實例計算比較點估計方法和蒙特卡洛模擬的結果，功能函數有折點時，點估計方法的精度并非隨估計點數增加而單調增加，當估計點個數足夠多時，點估計方法計算結果穩定，且有較好的精度。在同等精度要求下，功能函數有折點時點估計方法計算量與功能函數光滑時相比有所增加，但與蒙特卡洛模擬相比，仍有較高的計算效率。

點估計方法，結構功能函數，蒙特卡洛模擬，計算效率

可靠度理論基本的問題是求解結構失效概率，其求解需要通過簡化計算。傳統的一次二階矩、二次二階矩等方法已被指出精度不高。蒙特卡洛模擬可達到很高的精度，但計算量很大。

Zhao提出的矩法，通過點估計方法得到結構功能函數的前四階矩，進而求解失效概率。功能函數為光滑曲線時，文獻表明，進行5點或7點估計，就有較高的精度，且精度隨著估計點數的增加單調增加。彈塑性分析時，功能函數會有折點，此時點估計方法的適用性尚需研究。

1 點估計方法

2 功能函數有折點情況

在彈塑性分析時，通常在結構易屈服處設置塑性鉸。塑性鉸骨架曲線通常簡化為多折線形式。例如，對于一個單跨剛架進行靜力彈塑性分析，有兩個柱為構件1和構件3，一個梁為構件2，其中構件1截面EI1=1.675×107N·m2，構件2和3截面EI2=3.35×107N·m2。分別在構件1，3與地面固結處設置塑性鉸，塑性鉸骨架曲線M—θ采用雙折線形式。構件1屈服彎矩My=8 000 kN·m，屈服轉角θy=0.001 rad，極限轉角θu=0.03 rad。構件2屈服彎矩My=10 000 kN·m，屈服轉角θy=0.002 rad，極限轉角θu=0.06 rad。

假定在梁構件2與柱構件1節點處施加一水平荷載P～N(3.5,0.1)，構件1底部截面轉角達到0.001 5 rad時，剛架失效。剛架功能函數可表示為：Z=G(P)=θR-θS，θR為構件1底部截面的能力，θR=0.001 5 rad,θS為構件1底部截面的轉角反應。

計算得到Z=G(P)函數有兩個折點。構件1底部截面首先進入塑性，功能函數出現第一個折點，坐標為(3.351 7,0.000 5)；構件2底部截面隨荷載的增大進入塑性，功能函數出現第二個折點，坐標為(3.561 7,0.000 3)。

3 算例與分析

計算2個有折點的功能函數算例，并與蒙特卡洛模擬結果比較。

3.1 算例1

構造有一個折點的功能函數：x<-1時Z=G(x)=-0.5x+0.5，x≥-1時Z=-x；假定x～N(0，1)。

蒙特卡洛模擬樣本足夠多時，認為是準確值，點估計方法與蒙特卡洛模擬結果的相對誤差如圖1所示。可得點估計方法的計算誤差在準確值附近震蕩，當估計點達到一定數目后，誤差穩定。要保證計算誤差小于5%，算例1中點估計方法需要15點估計。

蒙特卡洛模擬計算失效概率一般需要樣本數N=100/Pf。算例1失效概率為0.500 3，蒙特卡洛模擬至少需要計算200次。點估計方法要計算的次數是前15次相加為63次，是蒙特卡洛模擬計算次數的1/3。

3.2 算例2

構造有兩個折點的功能函數：x<0時，Z=G(x)=-0.75x+3.25,0≤x<1時Z=-x+3，x≥1時Z=-1.33x+3.33；假定x～N(0.1)。

點估計方法與蒙特卡洛模擬結果的相對誤差如圖2所示。得到與算例1相同的結論，要保證計算誤差小于5%，則算例2中點估計方法需要9點估計。

對于此算例，失效概率為0.006 21，蒙特卡洛模擬至少需要計算1.6×104次。點估計方法需要計算的次數為24次，僅為蒙特卡洛模擬計算次數的1/667。

4 結語

1)功能函數有折點時，點估計方法的精度并非隨估計點數增加而單調增加，當估計點個數足夠多時，其計算結果基本穩定，且有較好的精度。2)精度達到一般工程精度要求的5%時，功能函數有折點時的點估計方法計算量比功能函數光滑時的計算量多，對于本文的兩個算例，前者是后者的5倍～12倍。3)精度達到一般要求的5%時，對于本文的兩個算例，蒙特卡洛模擬計算量是點估計方法計算量的3倍～700倍，且失效概率越小，蒙特卡洛模擬法的計算量越大，點估計方法相對于蒙特卡洛模擬的計算效率越高。

[1]張 明.結構可靠度分析——方法與程序.北京：科學出版社，2009.

[2]Zhao YG. New point-estimates for probability moments.Engrg,Mech,ASCE，2000,126(4):433.

The applicability of point estimation method in function with salient point

Liang Ziyang

(CivilEngineeringandTransportationCollege,NorthChinaWaterConservancyandHydropowerUniversity,Zhengzhou450045,China)

Through the example calculation comparison of point estimation method and Monte Carlo simulation results, when the function with salient point, the accuracy of point estimation method monotonically increased with the increasing of estimation numbers, when the estimation numbers large enough, the point estimate method results were stable, and had good accuracy, at the same accuracy requirements, compared with function with smooth the point estimation methods calculation quantity of function with salient point increased, but compared with Monte Carlo simulation, still had higher computational efficiency.

point estimation method, structure function, Monte Carlo simulation, computational efficiency

1009-6825(2015)18-0045-02

2015-04-12

梁子楊(1994- )，女，在讀本科生

U441.3

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