教學與科研相結合原則在偏微分方程數值解教學中的實踐

黃鵬展

（新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046）

教學與科研相結合原則在偏微分方程數值解教學中的實踐

黃鵬展

（新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046）

摘要：教學與科研相結合原則是高等教育原則中較為重要的一條.當前對大學生創新能力要求的提高，就更突顯這條原則的重要性.通過在偏微分方程數值解教學中對這條原則進行教學實踐，可以發現對這條原則的應用，不僅可以開拓老師的科研視野，擴大科研資源和思路，而且可以增強學生的學習興趣，發展其創造性思維.

關鍵詞：教學與科研相結合；偏微分方程數值解；創新；高等教育原則

1　引 言

教育原則，簡單地說，是指一切教育活動應該遵循的基本準則[1].早在古代，人們就開始總結教學實踐經驗，探討教學過程興廢成敗的原因和條件，并提出了各種教學工作中的要求.到了近代，教育家們明確提出了教育原則這一概念，制定了一系列在當時有益于教和學的教學原則.而17世紀捷克教育家J·A·夸美紐斯《大教學論》（1632）的問世則確立了它在教育學理論中的重要地位.

教育原則按對象分，主要可以劃分為基礎教育原則與高等教育原則.早期出現的一些教育原則一般都是基礎教育原則.高等教育原則是在基礎教育原則的基礎上產生，并且不同于后者，各有其自身的特點，但是兩者都是通過教育過程培養人，只是具體培養目標不同.比如量力性（可接受）原則，在小學課堂教學中得到廣泛應用，但在高等學校的教學實踐中則并不提倡.同樣地，科學性與思想性相結合的教學原則在大學課堂上，教師應用得比較多；而在中小學的教學中就不見得怎么應用.相比于后者，對前者的研究還比較短暫，整個高等教育領域研究在國際范圍內是從20世紀50年代才陸續開始的[2].

國內外眾多的學者提出了一系列的高等教育原則.其中，教學與科研相結合原則是一條較為重要的原則.這里主要探討這一高等教育原則，進而研究在偏微分方程數值解教學中，如何利用該原則來培養大學生探求新知識和科學創新的能力.

2　教學與科研相結合原則

教學與科研相結合的教育原則是指在高等學校的教學中，要求大學生在學習知識的同時掌握科學研究的方法，發展科學研究的能力，培養科學精神、科學態度與科學道德，通過科學訓練提高他們的創造能力與學術水平[2].早在19世紀初，德國教育家W·F·洪堡就提出了教學與研究相統一原則[3~4].

此后，教育家們在研究高等學校教育原則的時候，都提到了這條重要原則.比如，出現在蘇聯科貝里利亞茨基的《高等學校教育原理》9條高校教育原則中；中國潘懋元的《高等教育學》10條高校教育原則中；于美方的《大學教學論》5條高校教育原則中；錢伯毅的《大學教學論》5條高校教育原則中；薛天祥的《高等教育學》6條高校教育原則中；錢佩玲的《在大學數學教學中應注重貫徹“教學與科研相結合”的原則》6條高校教育原則中[5]；張亞麗的《我國高等學校教學原則體系的科學構建》8條高校教育原則中.雖然他們主張的高等教育原則各有不同，但是他們對教學與科研相結合這一教育原則卻抱著相同的態度.

教學與科研兩者是相輔相成、互相促進的.一方面，科研對教學具有積極的促進作用.洪堡提倡的科研就是為了使研究成為教學的一種手段，這是他最早提出教學與科研相結合這條原則的本意.早期大學里的科研就是為了更好地服務教學.目前，隨著科學技術的不斷發展，教學手段的改進遠遠滿足不了教學改革的需要.這就要求研究者們通過科學研究來深化教學內容改革；來提高教師的理論研究能力，開拓知識視野和提升教學水平.最后應及時地把科研成果轉化到教學中去，進而能更好地在教學中提高大學生的學習興趣，培養大學生探求新知識和科學創新的能力.另一方面，教學對科研也起到有益的補充和促進作用.深入細致的教學工作能為科研開辟更為廣闊的科研主題，而在教學過程中經常引入和介紹一些前沿的科研成果則更能為科研提供新的思路和想法.同時，在為大學生授課時，由于他們接受新鮮事物和想法比較快，故而老師經常可以在學生身上接觸到一些新知識，從中得到啟發，為科研提供新的資源和靈感.

3　偏微分方程數值解教學中的實踐

偏微分方程數值解是數值分析的后繼課程，它是一門具有較強實際背景、專門研究科學計算的課程，是信息與計算科學專業本科生必修的專業課程.作為數學類的傳統專業課，這門課的知識點成熟，邏輯性較強，涉及的內容豐富，很適合教學與科研相結合這條高等教育原則的實踐.

那么，在偏微分方程數值解教學中，教學與科研相結合原則實踐應該怎樣具體體現呢？要收到較好的教學效果，進而培養大學生探求新知識和科學創新的能力，必須把握教學與科研相結合教育原則的基本理念并結合偏微分方程數值解課程自身的特點，從不同的角度，比如科研對教學的促進作用、教學對科研的補充和促進作用，深挖相關概念產生的理論、經驗與應用背景.相關案例的選擇要有鮮明的教學和科研目的性，要展現從現象到本質的教學效果，以及活躍的科研思維.

新疆大學數學與系統科學學院采用偏微分方程數值課程的教材是陸金甫和關治編著的《偏微分方程數值解》[6].下面選取該教材中的例子作為偏微分方程數值解教學中教學與科研相結合原則實踐的教學案例.

3.1教學對科研有促進作用的教學案例

在文獻[6]中的第三章，講到了一階線性常系數雙曲型方程的有限差分解法.該教材主要針對對流方程構造了多種差分格式.

考慮一維區域上對流方程初值問題

其中

取空間網格步長h=0.01，網格比l=0.5，運用Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式來計算至tn=0.5時的數值解，初值問題的解析解與計算結果見圖1，實線為精確解，虛線為數值解.這里的Lax-Wendroff格式如下：

Beam-Warming格式為

這兩個差分格式都是2階精度的顯示格式.

圖1　3種差分格式的離散解

從圖1可以發現Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式得到的數值解都在間斷處產生虛假的振蕩.更有趣地是，兩種格式所產生的數值振蕩出現關于點(0.5, 0.5)中心對稱的現象.

以上內容，在教學過程中都會給學生講到.事實上，一般的授課也就會到此為止.但是如果進一步去研究其本質的話，就會發現一種分辨率更高的新的差分格式.這為科學研究提供很好的問題來源.

利用文獻[7]中的余項效應分析方法，可以知道數值振蕩是由差分格式的數值色散性引起.通過計算兩種格式的色散主項，發現Lax-Wendroff格式的色散主項小于0，格式為逆色散格式；Beam-Warming格式的色散主項大于0，格式為正色散格式.進而，從圖1可以看到Lax-Wendroff格式在間斷上方振動，Beam-Warming格式在間斷下方出現振動.

事實上，研究者發現由于兩種格式色散主項一正一負，從而產生的數值振蕩一個在上方一個在下方，且恰好是中心對稱的，那么自然想到能不能把這兩個格式做加權平均，這樣能否抵消一些數值色散性，從而減弱格式的數值振蕩.把兩種格式相加后 再做平均得到一種新的格式，記作Lax-Wendroff+Beam-Warming格式，如下

該格式得到的數值結果見圖1中的第三個子圖.可以觀察到，由文獻[6]中兩個差分格式產生的數值振蕩已經大大減弱.這是由于色散主項在加權平均下變小，從而振蕩減弱.

通過這個教學案例，可以發現在教學過程中老師是給學生在講解對流方程的幾種有限差分格式.實際上，由于老師的知識積累，了解到了一些更深層的差分方法內容.所以，當研究者在上這部分課時，發現到圖1中最上兩子圖的數值解有中心對稱性.這引起了研究者的注意和興趣，進而對格式本質進行探索.通過大膽猜測小心求證，得到了一個精度較高的數值格式.這恰恰說明了教師通過教學給學生傳遞知識，同時也在教學過程中獲得了科研工作中所需的資源和靈感.進而可以影響大學生去探求新知識，潛移默化他們的科研態度和素養，提高他們科學創新的能力.

3.2科研對教學有促進作用的教學案例

新疆大學數學與系統科學學院采用陸金甫和關治編著的《偏微分方程數值解》[6]前面幾章是有限差分方法的內容，后面三章介紹了有限元方法.其中，第五章介紹了Poisson方程的差分格式；第八章給出了該方程的線性有限元方法.

考慮d維區域上Poisson方程第一類邊值問題

當d1=時，我們有差分格式

其中h 為網格步長，fi=f(xi).

而采用線性有限元方法來數值求解該問題，一般可以分五步.第一步，給出問題的變分形式.即只須方程兩邊同時乘以一個任意的檢驗函數v，再進行分部積分得

第二步，對區域進行網格剖分.網格尺度與差分方法一致.第三步，構建有限元空間.取一次多項式空間作為有限元空間.第四步，給出有限元格式，如下

其中，

以上用兩種方法構造了原問題的數值格式，接下來就是編程計算，事實上教學任務也就完成了.但是通過仔細考察這兩種方法，可以發現對于泊松問題，兩種解法從某種意義上是一致的.

由于在教學前對于Poisson方程的有限差分方法和有限元方法做過一些研究，得到了中心差分格式和P1協調有限元在擬一致的網格剖分下具有相同的H1穩定性和收斂性.故而，在講完第八章這部分內容后，可以引導學生聯系到第五章的內容，讓他們尋找兩種方法的區別和聯系.這樣可以加深學生對兩種方法的理解，進而得以更好地進行掌握和應用.

事實上，研究者知道所有的數值格式到最后需要求解一個代數方程組.對于有限差分格式系數矩陣為

對于有限元的系數矩陣，通過單剛矩陣合成總剛矩陣，然后進行疊加，有

通過這個教學案例，研究者發現把有關教學的科研成果、科研思路和方法，以及自己在科研中獲得的新知識和新認識，直接或者間接地傳授給學生，不僅可以開拓學生視野、擴大學生知識面，加深學生對本專業、本課程的進一步理解，而且可以增強學生的學習興趣，發展其創造性思維.

4　教學與科研相結合原則實踐的體會

在數學教學過程中，前人已經研究了眾多的教育原則[8~11].在這里，研究者結合自身的教學和科研經歷，針對偏微分方程數值解這門大學數學課程，對教學與科研相結合這一高等教育原則進行了研究與實踐.進而，探討了利用該原則來培養大學生探求新知識和科學創新的能力.

當前，國家和學校對大學生創新能力的培養尤為重視，各級的“本科教學工程”大學生創新訓練計劃項目的出現，都支持著大學生這項能力的培養和提高.因此，高校教學必須與科研相結合，才能通過開展基礎性的學術活動、實施訓練計劃和提供相關平臺，使學生的科研創新能力得到極大提高，實現高校教育改革的目標.

［參 考 文 獻］

[1]李均.高等教育基本原則探析[J].江蘇高教，2003，（4）：5-8.

[2]張亞麗.我國高等學校教學原則體系的科學構建[D].蘭州大學，2007.

[3]趙婷婷.從大學與社會的矛盾看教學與科研的關系[J].高等教育研究，1999，（2）：47-50.

[4]常曉，魏浩翰.對洪堡思想中“教學與科研相結合”的再思考[J].前沿，2007，（3）：57-59.

[5]錢佩玲.在大學數學教學中應注重貫徹“教學與科研相結合”的原則[J].數學教育學報，1995，4（2）：58-62.

[6]陸金甫，關治.偏微分方程數值解（第2版）[M].北京：清華大學出版社，2004.

[7]劉儒勛，舒其望.計算流體力學的若干新方法[M].北京：科學出版社，2003.

[8]曹月波，吳昭君，田宏根.復變函數教學中直觀性原則應用的思考與實踐[J].數學教育學報，2011，20（6）：86-88.

[9]張艷霞，龍開奮，張奠宙.數學教學原則研究[J].數學教育學報，2007，16（2）：24-27.

[10]劉耀斌.“歸納與演繹并用”的教學原則[J].數學教育學報，1999，8（4）：26-28.

[11]陳重穆.關于義務教育中的數學教學原則[J].數學教育學報，1995，4（2）：1-9.

[責任編校：周學智]

Practice on Principle of Combining Teaching and Research in Teaching of Numerical Methods of PDEs

HUANG Peng-zhan
(College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Xinjiang Urumqi 830046, China)

Abstract:The Combining Teaching and Research is one of the most important principles in higher education. Nowadays, a demand for innovation ability of undergraduate students is made greater importance of this principle. Using it in teaching of Numerical Methods of PDEs, it is found that it can widen teachers’ research vision and broaden their minds, and increase students’learning interest and develop their creative thinking.

Key words:combining teaching and research; numerical methods of PDEs; innovation; principle of higher education

作者簡介：黃鵬展（1983—），男，浙江慈溪人，副教授，博士，主要從事偏微分方程數值解的教學與研究.

基金項目：國家自然科學基金——3維定常MHD方程的有限差分有限元解耦迭代方法（11362021）；中國博士后科學基金面上一等資助——不可壓縮流動問題的高效二步算法研究（2013M530438）

收稿日期：2015-03-03

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0048-03