讓“問題”充盈有限的課堂
——以“隨機事件”教學為例

讓“問題”充盈有限的課堂
——以“隨機事件”教學為例

☉安徽省淮北市實驗學校 邱廣東
☉安徽省淮北市梅苑學校 張聞娟

2014年11月，筆者作為邱廣東名師工作室成員參加了淮北市名師大講堂活動，課題為滬科版教材九年級下冊“隨機事件（第一課時）”.這節課的設計以“問題”為主線，關注學生思維的發展，課堂教學充盈著問題的發現、提出和問題的分析、解決，受到很高的評價.在此與各位同仁分享.

一、教學內容分析、說明

本節課的教學內容選自滬科版九年級下冊第二十七章.教材內容安排為：第一節，隨機事件，第二節，等可能情形下的概率計算，第三節，用頻率估計概率.本節課是本章的第一課時，教材內容為隨機事件、必然事件和不可能事件這三類事件及概率的定義.在認真閱讀教材后，筆者考慮教學中應注意以下兩個問題.第一，學生的認知基礎.學生在小學階段對于隨機事件、必然事件和不可能事件就已經了解了，只是沒有出現這三類事件的名稱.第二，概念的本質.本節的重點和難點是對概率的概念的理解，要突破這一難點，首先必須要讓學生切身感受隨機事件的特點和可能性的大小，概率就是“表示隨機事件可能性大小的一個數值”；其次必須要讓學生經歷這個“數值”得到的過程.基于對以上兩個問題的思考，筆者決定有機整合教材的第一、三兩節內容，通過第三節中的擲硬幣實驗來解決“這個數值是怎樣得到的”，并在實驗中再次鞏固體會“隨機事件結果的不確定性和大量重復試驗后結果所表現出的規律性”.

二、教學設計

（一）教學目標

（1）通過活動觀察、分析、了解必然事件、不可能事件及隨機事件的含義，并能在具體情境中正確區分.

（2）體會隨機事件發生的可能性大小的不同，理解概率的意義，了解用頻率估計概率的方法.

（二）教學重點和難點

（1）教學重點：必然事件、不可能事件、隨機事件及概率的意義.

（2）教學難點：概率的意義的理解.

三、教學流程

活動1：情景激趣，導入新課

問題1：（幻燈片演示）2004年火箭隊與馬刺隊的一場籃球比賽，在這場比賽中，火箭隊一直落后，直到距離比賽結束還有35秒的時間，火箭隊依然落后10分！在這關鍵時刻，麥迪連續命中3個三分球，縮小了比分差距，而且在距比賽結束還有1.7秒時，他又再次投出一個三分球……

師：觀眾們都站了起來，裁判員也緊盯著麥迪和他手中的籃球……（稍作停頓），他們為什么這么緊張？

生1：因為這個球如果進了，火箭隊就贏了.

師：那也有可能？……

生1：也有可能不進，就輸了.

師：那么，如果大家一開始就知道球一定進，還緊張嗎？如果已經知道一定不進呢？

生1：那樣就不會緊張了.

幻燈片繼續演示：球進了！麥迪在最后35秒，連續命中4個三分球，真是太準了！

（學生們松了一口氣）

師：同學們，麥迪投球如此之準，你能確定他的下一個三分球能否命中嗎？

生齊：不能！

點評：以學生熟知的NBA籃球比賽為情境，引發學生對可能事件的感性認識.

問題2：為了提高中學生的身體素質，淮北市教育局要舉辦一場中學生籃球賽，大家想不想去給我們學校籃球隊加油？

生齊：想啊！

師（請出兩位學生，面露難色）：可惜我只有一張入場券.

生：石頭剪子布，抓鬮……

師：石頭剪子布是我們常用的方法，我們請這兩位同學現場演示一下吧.

（請兩位同學演示，第一局甲同學勝，第二局乙同學勝.最后一局，當兩位同學即將出手時，教師握住他們的手，暫停）

師：就在此刻，兩個同學即將出招時，你能否確定，這一局他們倆誰會勝出嗎？

生齊：不能！

師：換句話說，在這一局中，甲同學獲勝是……？

生齊：有可能的，也有可能不是的.

師：對，在這一局中，甲同學獲勝有可能發生，也有可能不發生.

問題3：教師出示四張牌：紅桃A、方塊A、黑桃A、梅花A.任意打亂順序后，請一名同學抽取一張.

師：大家覺得這張牌會是什么？

生（紛紛猜測）：紅桃A、方塊A、黑桃A或梅花A.

師：哦，四種可能，那么我如果說它是黑桃A，大家覺得呢？

學：有可能是，也有可能不是.

活動2：歸納概括，推進新知

師：回顧一下，我們剛才提及的三個事例，它們有共同點嗎？（出示幻燈片）

生2：都不能確定……

師：這位同學的回答抓住了要點：“不確定”，也就是說，我們事先無法確定其會不會發生，這類事件，叫做隨機事件.（板書概念）

師：正是由于隨機事件的這種不確定性，吸引了無數數學家們爭相研究它，并因此產生了概率統計這樣一門重要的數學分支.隨機事件也是我們這節課所要研究的重點.（板書課題：隨機事件）

師：了解了隨機事件的概念，讓我們一起找一找擲骰子游戲中的隨機事件吧.（出示幻燈片）

小偉擲一個質地均勻的正方形骰子，骰子的六個面上分別刻有1至6的點數.請考慮以下問題，擲一次骰子，觀察骰子向上的一面.

（1）可能出現哪些點數？

（2）出現的點數會是4嗎？

（3）出現的點數大于0嗎？

（4）出現的點數會是7嗎？

（逐題出示，對于（2），學生得到：擲一次骰子，出現4點是隨機事件.對于（3）（4），學生給出回答后，教師再次確認，而后分別介紹并板書必然事件和不可能事件的概念）

師：由于必然事件和不可能事件的發生與否在事先我們就能夠確定，所以把它們統稱為確定性事件.

師：你知道隨機事件又可以稱為什么嗎？

生齊：不確定性事件！

師：咱班學生真棒，一點就通！對，這樣的兩大類事件就組成了我們數學中的事件.同時，我們也得到了事件的分類！（板書：1.事件的分類）

師：你還能在這個游戲中再發現這三類事件嗎？

生3：投擲一次，出現5點是隨機事件，出現的點數是整數是必然事件，出現8點是不可能事件.

師：很好，在咱們生活中有這三類事件嗎？請同學們討論后回答.

（學生討論，教師巡視，時間為2分鐘）

生3：“我到公交車站臺，車正好來了”是隨機事件.

生4：“太陽從東邊升起”是必然事件，“太陽從東邊落下”是不可能事件.

生5：我考試得滿分是隨機事件.

師：同學們的舉例很豐富.自己能舉好例子，也一定能將老師舉的例子正確歸類.（出示幻燈片）指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件.

（1）扔一個實心鐵球到水中，下沉.

（2）明天，你買一注彩票，得500萬大獎.

（3）守株待兔.

（4）用長為1cm、2cm、3cm的三條線段首尾順次連接，構成一個三角形.

（5）到了路口，正好是綠燈.

（6）檢驗某件產品，結果為合格.

（7）檢驗某件產品，結果為合格或者不合格.

（8）任選13個人，至少有兩個人的出生月份相同.

（逐題出示，學生分別獨立回答）

活動3：逐步深入，合作探究

師：通過同學們的舉例和剛才的練習，我們發現隨機事件在我們生活中是廣泛存在的，正因為體育比賽中充滿了隨機事件，作為觀眾的我們，在觀看比賽時才感到如此的緊張、刺激，運動員的一舉一動都讓我們感到扣人心弦.在我們的人生道路上也充滿了隨機事件，所以我們每個人的人生才各有各的不同，各有各的精彩.當然，我們身邊也有這樣的隨機事件.（出示幻燈片：車禍、地震的圖片）.

師：我們是否會因為身邊會發生這樣的隨機事件而時刻充滿恐慌呢？

生6：不會！

師：剛才這位同學說考試得滿分是隨機事件，那么我們有沒有因為再怎么努力，得滿分還總是個隨機事件，而放棄了今天的努力呢？

生7：沒有！

師：這是因為隨著我們不斷地接觸到隨機事件，已經對它有了深入的了解，并且對它發生的規律性有了一些認識.下面我們回到引例中，做一些思考：在第一個事例中，麥迪和姚明投三分球命中都是隨機事件，為什么隊友在關鍵時刻將球傳給麥迪而不是姚明？

生8：也許麥迪離的近.

師：嗯，可能是其中一個因素，還有沒有其他更重要的原因呢？

生8：麥迪投的準……

師：很好，換句話說，麥迪投進的……？

生8：麥迪投進的可能性大！

師：對！在第二個事例中，我們從小就喜歡用“石頭剪子布”的方法來決定勝負，因為我們覺得這種方式？……

生齊：公平！

師：我們為什么覺得這種方式公平呢？

生9：因為每個人出的都很隨機.

師：哦，也就是這種隨機性保證了雙方獲勝的可能性怎么樣？

生9：雙方獲勝的可能性相等！

師：很好.通過對剛才兩個問題的思考和回答，我們發現：事件發生的可能性有大小之分，可以比較，也有可能相等.（在講解的同時，一步步出示幻燈片）

師：正因為有這樣的特點，人們就用數值來表示事件發生的可能性，并把這個數值稱為事件發生的概率.

師：了解了概率的概念，就請同學們用剛學習的知識再次回答剛才的兩個問題.（問題一：每個人投三分球命中都是隨機事件，那么為什么不是由姚明投最后這個三分球呢？問題二：為什么“石頭剪子布”這種方式對雙方是公平的？）

生10：隊友把球傳給麥迪是因為他投中的概率比姚明大.

生11：采用“石頭剪子布”的方式是因為每個人獲勝的概率相等.

活動4：深入思考，探究升華

師：由此可見，概率已經成為人們判斷事件的重要依據.因此在數學中，確定事件的概率、計算事件的概率就成了特別重要的問題，從最早的研究如何分配賭金起源，到現在的各種保險，以及令人心動的彩票的中獎……各種各樣的概率問題讓概率統計這門學科有了很快發展.（出示幻燈片）

師：（轉折）但是，在這個過程中，人們也發現：有些事件的概率是難以準確計算的（稍作停頓），比如說麥迪投三分球命中，我們能不能通過麥迪的身體的一些數據，比如他的身高、體重等準確地計算出他投三分球命中的概率呢？

生齊：不能準確計算.

師：那么為什么我們剛才卻有了麥迪投三分球命中的概率大于姚明投三分球命中的概率這一結論呢？

生12：我覺得可能在以往他們倆訓練或比賽中，投同樣多的球，麥迪比姚明投進的多.

師：哦，也就是說你認為麥迪的？……

生12：麥迪的命中率高.

師：好！用詞很專業！（追問）那么你能再說一說命中率怎樣計算嗎？

生12：投三分球命中的數量除以投三分球的總數量再乘以100%.（教師板書）

師：這個命中率其實就是命中的頻率（板書）.也就是說，我們就是根據他平時的表現計算出他命中的頻率，進而來估計他命中的概率（語速放慢，邊說邊板書）.

師：同學們發現的這種方法不錯，我現在就運用一下.比如說，姚明在一次訓練中，手感不太好，投了五個三分球，都沒進，因此我計算他的命中率為0，由此，我估計他三分球命中的概率也是0！

（學生搖頭笑了）

師：你們為什么笑了？

生13：因為投球的次數太少，不能由此估計.

師：就是說，必須得多次投擲.如果把他的一次投球看成一次試驗，必須得經過重復的、大量的試驗，在此基礎上才能用頻率去估計概率（邊說邊板書）.（稍作停頓，讓學生感悟思考）

師：這樣計算出的命中率，干脆就把它當成概率，行不行呢？

生14：不行，因為試驗次數不同，命中率也有可能不同.

師：哦，隨著投球次數的改變，命中率還有可能變化，它不是一個準確不變的數值.而事件發生的概率作為事件的固有屬性應該是一個確切的、固定的數值.

師：在我們的共同思考下，得到了這樣一種確定概率的基本方法：在經過大量的、重復的試驗后，隨著試驗次數的不斷增加，某件事情發生的頻率會逐漸地穩定到一個常數附近，就用這個常數去估計這件事情發生的概率（板書）.

活動5：小組合作，應用鞏固

師：大家知道擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上時，正面朝上的概率嗎？

生齊：50%！

師：那么你能利用咱們剛才的分析設計一個方案得到這個答案嗎？

生15：投擲硬幣多次，用正面朝上的次數除以總次數，得到頻率，去估計概率.

師：那好，我們現在就用這位同學的方法.請同學們拿出準備好的硬幣.（出示幻燈片，并強調注意事項）

活動要求：（1）同桌互助：一位同學負責投擲硬幣，另一位同學負責記錄結果；

（2）每次試驗硬幣要從同一高度落到桌面上；

（3）組長統計本組的試驗結果.

（學生分組試驗，教師巡視并指點）

（五分鐘后）

師：請各小組組長到黑板上填寫試驗得到的數據.

（前五組的試驗結果：正面朝上的頻率是60%、45%、75%、65%、65%；后五組的試驗結果：正面朝上的頻率是45%、60%、55%、60%、55%）

師：咦？我怎么沒見到一個50%，難道是咱們的方法錯了？

生16：實驗次數太少了！

師：如果我們想在目前的基礎上得到試驗次數更多時的結果，應該怎么辦？

生17：把各小組實驗的結果累加.

師：好！咱們先一起來計算一下前五組的結果，是？……

齊：62%！

師：后五組呢？

生齊：55%！

師：還不是50%呀！說明我們的試驗次數還是太少.下面我們一起來看看歷史上的數學家們所做的試驗及結果.（出示幻燈片）

試驗者投擲次數正面朝上次數正面朝上頻率布豐4040 2048 0.5069德摩根4029 2048 0.5005費勒10000 4979 0.4979皮爾遜12000 6019 0.5016皮爾遜24000 12012 0.5005

師：從表格中我們發現，隨著試驗次數的不斷增加，正面朝上的頻率越來越接近，并逐漸穩定在0.5的附近，這樣，我們就把0.5作為正面朝上的概率.

師：下面請大家根據以上結論，判斷下列四種說法是否正確.（出示幻燈片，逐題出示）

（1）拋擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5，反面朝上的概率也是0.5.

（2）拋擲一枚均勻的硬幣出現正面的概率是0.5，所以如果拋擲兩次，肯定有一次是正面朝上的.

（3）拋擲一枚均勻的硬幣出現正面的概率是0.5，所以如果拋擲12000次，出現正面朝上的次數有可能接近6000次.

（4）拋擲一枚均勻的硬幣，連續九次均正面朝上，那么第十次反面朝上的概率是100%.

活動6：回歸生活，學以致用

師：天氣預報：明天降水的概率是80%.請你談談自己對這句話的理解.

生18：明天下雨的可能性是80%，下雨比不下雨的可能大.

師：如果你帶傘了，卻沒下雨呢？

生18：沒下雨也是有可能的.

師：那么既然也有可能不下，還是別帶傘了吧.

生18：不行，雖然有可能不下，但下的可能更大.

師：看來，概率讓我們學會了理性思考.

四、點評與思考

1.“問題”情境創設貼近生活，讓教學過程“充盈”著探索

本節課在“情景激趣，導入新課”環節中，通過三個問題的設計，讓學生感受到隨機事件在生活中的存在，逐步體悟“隨機事件的結果是清楚的，但每次試驗的結果又是不可預見的”.如：問題1中，先讓學生從“緊張的情緒從哪兒來”初步感受；問題2中，為了讓學生更有切身感受，先讓兩名學生做“石頭剪子布”的游戲，幾局以后，把三種結果都呈現出來，然后再來一局，適時暫停，恰到好處地設計了：“就在此時，這兩位同學即將出招了，你能否確定在這一局中，他倆誰能獲勝？”這一問題，極大地激發了學生的好奇心和探究欲望；問題3中，老師通過先讓學生抽出一張牌，然后提問：“你認為抽出的是哪張牌，有哪幾種可能？”，讓學生在問題的逐步引導下，積極地參與猜測的過程中，進一步深化體會結果的不確定性.

在“小組合作，應用鞏固”環節，組織學生分組實驗.首先解決“投擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是50%”中這個“50%”是怎樣得到的，讓學生親身經歷對隨機現象的探索過程，再次感受隨機現象的特點和頻率與概率之間的聯系，同時又在收集數據和分析數據的過程中，感受對試驗數據進行有效分析和處理的方式和方法，進而也發展了學生的統計意識.

2.“問題”設計關注數學本質，讓數學知識“充盈”著思想

為了幫助學生更好地認識隨機現象和概率，教師設計了逐步提升的問題設計作為學生體驗的載體：“大家知道擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上時，正面朝上的概率嗎？生齊：50%！”當學生設計方案得到答案后，老師適時提出：難道是咱們的方法錯了？讓學生借助小組合作探究的形式，得出大量重復試驗的結果.通過對實際問題的親身體會和探究，使學生對概率這一概念有了更深刻的認識.除此，還在課后作業中布置了選做題：查閱有關概率的起源及發展的相關資料.這是因為概率論與數理統計是數學的一個有特色且十分活躍的分支，通過了解它的起源和發展，一方面激發學生的學習興趣，擴大學生的視野；另一方面，是想借助這個手段達到數學教學的較高層次的目標，加深對概率意義的理解，以達到學生數學素養的培養與提高的目的.

心理學家布魯納提出：“學習的最好刺激乃是對所學材料的興趣.”有效的課堂教學，首先應注重對有效學習材料的遴選.鑒于課堂時空的局限，我們應從眾多的材料中選擇最能為教學目的服務的作為延伸材料，并找準銜接口，從而使學生在某一或某些方面從狹小走向廣闊，從無知走向多識.

3.“問題”關注人的發展，讓數學學習“充盈”著人文關懷

知識和能力的發展，很大程度上取決于學生的精神生活是否豐富.因此，教學中不但不能忽略學生的學習動機和思想情感，而且應該始終把對人的關懷貫穿于教學中.

在“逐步深入，合作探究”環節，教師先出示體育比賽中充滿隨機事件使得比賽緊張刺激，生活中充滿隨機事件使得每個人的人生各有不同，各有精彩，而后出示“車禍”“地震”的圖片，提出問題：“我們是否會因為身邊會發生這樣的隨機事件而時刻充滿恐慌？”，再聯系學生的舉例又提出“我們有沒有因為再怎么努力，得滿分還總是個隨機事件，而就放棄了今天的努力呢？”，在解決問題的過程中讓學生學會了與他人合作、交流，結合實際生活，培養學生勇敢、樂觀、勤奮等良好的心理品質.

在“小組合作，應用鞏固”環節，當出示數學家們的試驗結果時，學生驚訝于數學家們的實驗次數之大，教師適時進行教育：數學家們為了得到一個科學規律，將這樣一個在今天看來很簡單的數學問題通過大量反復的試驗去探求結果，他們這種執著的科學精神很值得我們學習.

五、寫在后面

本節課作為隨機事件的第一節課，執教者整合教材有其合理成分，但要考慮學生的實際接受能力和實際效果.因為安排內容較多，考慮到教學時間，教師在實際教學中能否從容、妥帖安排好諸多“試驗”和“探究”內容？學生如不能很好地體驗“大量重復試驗”這一過程，往往會影響學生而后對頻率和概率關系的理解.

“小組合作，應用鞏固”環節的設計仍有商榷之處.事實上，概率不等于頻率，頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值；頻率依賴于具體的試驗，隨著試驗次數的變化可能發生變化，概率是隨機事件內在的本質屬性，不隨著試驗次數的變化而變化.這是初中學生理解概率的一個難點，對概率概念的理解往往有個循序漸進、不斷感悟的過程，期望在一節課中達成“體會隨機事件發生的可能性大小的不同，理解概率的意義，了解用頻率估計概率的方法”這一目標，對于實際教學來講顯得有些過急、過高.本節課是“概率初步”的第一節課，把對隨機事件的理解和隨機觀念的滲透作為教學重點比較穩妥.Z