HPM視角下的初中函數概念教學設計

☉江蘇省南京市第三十九中學 夏鳴

HPM視角下的初中函數概念教學設計

☉江蘇省南京市第三十九中學 夏鳴

一、背景

1972年第二屆國際數學教育會議中成立了一個數學史與數學教學關系國際研究小組（簡稱HPM），它標志著數學史與數學教學關系已作為一個學術研究領域而出現.在數學教學中運用數學史有三種方式：一是提供直接的歷史信息；二是借鑒歷史進行教學；三是開放對數學及其社會文化背景的深刻覺悟.［1］HPM視角下的數學教學通常采用的是第二種方式，即發生教學法，也就是把數學史作為教學線索，不明確地談論數學史，用數學史來啟示教學.［2］本文在HPM的視角下，以函數概念的教學為例，試圖探索符合學生認知發展水平且順應函數歷史發展規律的教學設計，為今后教師在教學中融入數學史提供參考.

二、“函數概念”發展簡史

函數一詞，最初是在德國數學家萊布尼茨（1646～1716年）1673年的一篇手稿里使用的，但它僅表示關于曲線上點的橫坐標與縱坐標，以及一些線段（如弦、切線、法線等）的長.［3］在17世紀，大部分函數都是被當做曲線來研究的，這是函數思想的最初萌芽.

1718年瑞士數學家約翰·伯努利（1667～1748年）把函數定義為“由任一變量和常數的任何形式構成的量”.［4］他強調函數要用公式來表示.

18世紀中期著名數學家歐拉（1707～1783年）在著作《無窮小分析引論》中指出“常量是指永遠保持同一值的確定的量”，“變量是指不取定值的量或者說通用的量，它本身蘊含了一切通用的值”，“一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式”.［5］歐拉用“解析表達式”表述變量之間互相依賴的變化關系，這使人們對函數概念的認識前進了一大步.

1797年法國數學家拉格朗日（1736～1813年）進一步給出了函數的一個定義：“所謂一個或幾個量的函數是指任意一個適于計算的表達式，這些量以任意方式出現于表達式中，表達式中可以有（也可以沒有）其他一些被稱為具有給定和不變值的量，而函數的量值可以取所有可能的量值.因此在函數中，我們僅考慮那些假定是變化的量而不去關心可能包含在其中的常數”.［6］直到18世紀后半期，人們仍然認為函數必須要有解析表達式.

1821年法國數學家柯西（1789～1857年）給出函數的定義：“當給定了變量中的一個值，就可以決定所有其他變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表示的，這時這個量就取名為自變量，而由這個自變量表示的其他量就叫做這個自變量的函數”.［4］在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式.

1837年德國數學家狄利克雷（1805-1859年）指出：“如果對于給定區間上的每一個x的值有唯一的y值同它對應，那么y就是x的一個函數，至于在整個區間上y是否按照一種或多種規律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數學運算來表示，那都無關緊要”.［7］這個定義與現行初中教科書中的函數定義很接近.它指出函數的本質就是“單值對應”，并且說明函數關系不一定需要用解析式表示.這是人們對函數概念認識上的一次飛躍.

20世紀初誕生的集合論被人們接受之后，函數概念再次發展.1939年布爾巴基學派用集合論的語言重新敘述了函數的定義：“設E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同.E中的一個變量x和F中的變量y之間的一個關系稱為一個函數，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足跟x的給定關系，那么我們稱這樣的‘關系’為函數”.［4］這個定義與現行高中教科書中的函數定義很接近.它是從集合論的角度闡述，用數學自身的邏輯及其特有的抽象，使函數概念更加嚴密.

縱觀函數概念的發展歷程，人們先后經歷了“幾何說”、“代數說”、“對應說”、“集合說”四個階段，才逐步完善了函數概念，其中從“代數說”到“對應說”是關鍵，也是最困難的.在初中階段的函數概念教學中，我們可以適當地借鑒函數概念發展史，改善教學，幫助學生更好地理解函數.

三、“函數概念”教學設計

1.引言

生活中萬物皆變，有位置的變化，也有量的變化.如何把握這些量之間的變化規律呢？我們就需要學習新的知識：函數.你們知道歷史上數學家對函數概念的研究都經歷了哪些階段？今天我們就沿著數學家的足跡去探究函數的概念.

預設意圖：通過引言教學，回顧前面所學知識，提出本節課需要學習的內容，并有機融入函數概念的數學史，激發學生的學習興趣.

2.函數概念的第一次抽象認識——“代數說”

問題1：列車以200km/h的速度勻速從甲地駛往乙地.當行駛的時間為t h時，行駛的路程為s km.

（1）變量s與變量t之間有怎樣的關系？

預設：s＝200t，s隨t的增大而增大.

（2）s是怎樣隨著t的變化而變化的？能用數值加以說明嗎？

預設：如表1.

表1

（3）當t取定一個值時，s的值會怎樣？你是怎么知道的？

預設意圖：以學生熟悉的行程問題為背景，引導學生感受問題中兩個變量之間的依賴關系，啟發學生發現該問題中的兩個變量，當給定一個變量的值時，另一個變量就能用解析式確定唯一的值與其對應，初步體會函數的意義.

問題2：仿照問題1中分析變量關系的過程，分析（1）、（2）中變量之間各有怎樣的關系？

（1）某種礦泉水，每瓶價格為1.2元，當銷售量為x瓶時，銷售金額為y元；

（2）把水滴激起的波紋看成一個不斷向外擴展的圓，當它的半徑為R時，它的面積為S.

問題3：上述問題中變量之間的關系有何共同特點？

預設意圖：解決問題1后，引導學生獨立對問題2中（1）、（2）變量之間的對應關系進行分析，同時發現這些實例中的兩個變量都能用解析式表示其對應關系，再啟發學生對函數概念進行第一次抽象認識.

3.函數概念的第二次抽象認識——“對應說”

瑞士數學家約翰·伯努利認為函數必須要用數學關系式來表示.但是大數學家柯西卻提出了質疑：

問題4：下列問題中的變量之間的關系是否具有上述特點？有什么異同？

（1）某廠某種產品的月產量統計如表2.

表2

圖1

預設意圖：此教學環節為學生提供了兩個不能用解析式表示變量之間對應關系的實例，并引導學生體會當給定一個變量的值時，除了借助解析式，通過表格或圖像也可以唯一確定另一個變量的值，凸出函數本質屬性，剝離“用解析式表示變量關系”這一非本質屬性，并對函數概念進行第二次抽象認識.

問題5：德國數學家狄利克雷也認為函數關系不一定需要用數學關系式表示.他還舉出了一個例子：y＝人們稱之為狄利克雷函數.在實際生活中，存在著大量的函數例子，請你舉出一些例子.

預設意圖：學生通過自己身邊的例子，再次感受函數概念的意義，在不同之中尋找相同，經歷從特殊到一般、從具體到抽象、從分散到概括的過程，為最終概括函數概念作進一步準備.

問題6：再次歸納上述所有例子中變量之間的關系具有什么共同特點？

預設意圖：在上述活動的基礎上，引導學生分步概括、逐步抽象出函數的本質屬性，形成函數概念.

4.函數概念的辨析

問題7：下列問題中，兩個變量之間是函數關系嗎？

（1）用一根2m的鐵絲圍成一個長方形，當它的寬為x m時，其長為y m；

（2）如圖2，搭1條小魚需要8根火柴棒，每多搭1條小魚就要增加6根火柴棒.如果搭n條小魚時，則需要火柴棒S根；

圖3

圖2

（3）兩個變量x、y滿足關系式y2=x；

（4）變量y與變量x的關系如圖3.

預設意圖：通過一些簡單的實例，鞏固函數概念的學習，規范數學語言的書寫與表達.解決問題（3）、（4）時，追問y是x的函數嗎？x是y的函數嗎？通過正反兩方面的例子，深化對函數概念的理解.

問題8：如圖4，已知B中的實數與A中的實數之間有著某種對應關系.如果用y表示B中的實數，用x表示A中的實數，那么y是x的函數嗎？為什么？

預設意圖：一方面幫助學生更深層次地理解函數概念中單值對應的含義，另一方面有意滲透函數概念的“集合說”，為后續函數概念的學習作鋪墊.

5.小結

本節課我們模擬了數學史上函數概念發展的過程，分步概括、逐步抽象出函數的概念.

（1）舉例說明什么是函數？

（2）你認為函數概念中最關鍵的語句是什么？并說說對它的理解.

預設意圖：回顧函數概念，并引導學生舉例說明函數概念的意義.

四、兩點感悟

1.以史為鑒，重構課堂

每位學生的認知發展可能各有不同，但總體上都遵循人類認知的一般規律.教學中，我們可以借鑒數學史，啟示教學，優化教學.但有時學生對歷史上的問題可能會感到陌生與困難，就需要我們重構歷史順序，從學生現有的知識與經驗出發，由簡單到復雜對問題進行編排.比如，在歷史上人們最先認為函數就是一條曲線.但學生在學習函數之前沒有接觸過圖像，他們熟悉的是用字母表示數、公式、方程等.于是教學中，筆者調整了順序，先引導學生認識函數的“代數說”，再逐步介紹圖像確定函數關系的方法.這樣的調整不僅遵循學生的認知發展水平，也符合學生學習數學的心理規律.

2.以史為鑒，提升教學

作為數學教師，應該具有一定的數學史知識，了解一些核心知識的起源與發展.在了解歷史的過程中，我們會清楚知道數學家們曾遇到哪些困難，犯過怎樣的錯誤.這些都有利于我們了解學生的學習狀況，有利于我們在教學中抓住重點、突破難點.比如，函數概念從“代數說”到“對應說”經歷了百年之久，數學家們通過一次又一次的修正才得以完善.由此可知，本節課的重點與難點都應該是對函數概念中單值對應含義的理解.教學中，筆者先提供大量正面的實例，通過解析式、表格、圖像幫助學生發現變量之間“一對一”、“多對一”的對應關系，再結合一些反例深化學生對函數概念的理解，逐步從“代數說”過渡到“對應說”，并有意滲透“集合說”，最終完善對函數概念的認識.

1.Fauvel J，Van Maanen J.History in Mathematics Education［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000.

2.張俊忠.初中數學發生教學法的策略與應用——以北師大版“字母表示數”為例［J］.中學數學（下），2015（3）.

3.林永偉，葉立軍，編著.數學史與數學教育［M］.杭州：浙江大學出版社，2004.

4.莫里斯·克萊因.古今數學思想（第3、4冊）［M］.上海：上海科學技術出版社，1979.

5.萊昂哈德·歐拉.無窮小分析引論（上下）［M］.太原：山西教育出版社，1997.

6.Dieter Ruthing.函數概念的一些定義——從Jon. Bernoulli到N.Bourbaki［J］.數學譯林，1986（1）.

7.A.吉特爾曼.數學史［M］.北京：科學普及出版社，1987.H