對教科書上分期付款問題算法的質疑

甘志國

全日制普通高級中學教科書（必修）《數學·第一冊（上）》（2006年人民教育出版社）（下簡稱《教科書第一冊（上）》）第144—145頁的“研究性學習課題：數列在分期付款中的應用”：

你知道分期付款嗎？自己動手搜集一些分期付款的材料，了解有關的規定與例子，并對例子進行分析.與同學交流找到的材料.

下面是與分期付款有關的一個問題.

某銀行設立教育助學貸款，其中規定一年期以上貸款月均等額還本付息（利息按月以復利計算）.如果貸款10000元，兩年還清，月利率為0.4575%，那么每月應還多少錢呢？

我們來共同探究一下.

1.按照規定，償還貸款既要償還本金，還要支付利息.在上述問題中，到貸款兩年（即24個月）付清時，10000元貸款的本金與它的利息之和是多少呢？我們可以通過填表來回答：

2.設每月還x元.各月所付款額到貸款全部還清時也會產生利息（同樣按月以復利計算）.各月所付款額與它的利息之和是多少呢？我們也可以填表回答.

3.到期償還貸款意味著什么？你能根據1，2中的結果計算每月所付的款額嗎？

一般地，采用上述分期付款方式貸款a元，m個月將貸款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計算公式是什么？請同學們自己推導.

你還可以再找一些問題進行探究，并與同學交流.

下面由與《教科書第一冊（上）》配套使用的《教師教學用書》的敘述給出以上一般問題即分期付款問題的解答：

（1）起初的貸款a元到第m個月末產生的本利和是a（1+r）m.

（2）設每月末均還款x元，則第1，2，…，m-1，m個月末的還款x元到第m個月末所得本利和分別是x（1+r）m-1，x（1+r）m-2，…，x（1+r），x元，所以所有還款到第m個月末產生的本利和是

x（1+r）m-1+x（1+r）m-2+…+x（1+r）+x=x·（1+r）m-1r.

（3）由公平原則，得a（1+r）m=x·（1+r）m-1r，x=ar（1+r）m（1+r）m-1.

即每月末均應還款ar（1+r）m（1+r）m-1元.

以上分期付款問題的解答，也可見http：//baike.baidu.com/view/89116.htm，計算機教材Excel中介紹的還貸款額函數PMT也是用這種方法來計算的（見筆者著《初等數學研究（I）》（哈爾濱工業大學出版社，2008）第640—651頁）.這說明了這種計算方法具有普遍性.

但筆者對這種算法還是要提出質疑.

請先看中國人民銀行2011年7月7日公布的人民幣貸款利率表（即表1，見http：//www.boc.cn/finadata/lilv/fd32/201107/t20110706_1444099.html）及人民幣存款利率表（即表2，見http：//www.boc.cn/finadata/lilv/fd31/201107/t20110706_1444098.html）：

以上分期付款問題解答的第（1）步是沒有問題的.但第（2）步中的m次還款到第m個月末的利息應按存款算但以上是按貸款算的（一般來說，期限相同的存款利率比貸款利率低，見以上表1、表2），并且期限增加時利率不會降低（存款、貸款都是如此，見以上表1、表2），但以上m次還款的存款利息的利率均是按更長期限的m個月的貸款利息的利率算的，所以第（3）步的等式是沒有理由的，得到的結論應當是

a（1+r）m>x·（1+r）m-1r，

x>ar（1+r）m（1+r）m-1.

即等額還款時每月末的還款額均應多于ar（1+r）m（1+r）m-1元，以上算法使銀行（國家）吃虧了.

我們用以上新思路來解答以下實際問題：

問題1 干老師因工作需要已于2012年7月調入首都北京某示范高中任教，決定在2012年末向銀行貸款100萬元人民幣（期限六年）馬上購買一套住房，還款計劃是在2013年末、2014年末、……、2018年末均還款x萬元使這筆貸款還清，請按表1、表2求出x.

解 （1）由表1得，2012年末貸款的100萬元到2018年末產生的本利和是

100（1+0.0705）6=150.494293（萬元）.

（2）按表2中的整存整取利率可得，6次均還款的x萬元到2018年末產生的本利和共是

x（1+0.0550）5+x（1+0.0500）4+

x（1+0.0500）3+x（1+0.0440）2+x（1+0.0350）+x=6.805027x.

（3）列方程求解：

6.805027x=150.494293，

x=22.115165.

即每年末應還款22.115165萬元.

注 若按通常的分期付款問題的解答，可算得每年末應還款

100×0.0705（1+0.0705）6（1+0.0705）6-1=21.011974（萬元）.

后者比前者要少1.1萬元以上.

普通高中課程標準實驗教科書《數學5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）（下簡稱《必修5》）第62頁的最后一道題是：

5.購房問題：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購房專用存款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元.如果每年的存款數額相同，依年利息2%并按復利計算，問每年應該存入多少錢？

筆者把這道題改編為：

問題2 （1）某家庭打算在2012年末向銀行貸款100萬元人民幣（期限六年）馬上購一套商品房，為此，計劃在2013年末、2014年末、……、2018年末均還款x萬元使這筆貸款還清，請按表1、表2求出x;

（2）某家庭打算在2018年末購一套商品房，為此，計劃在2013年末、2014年末、……、2018年末均存入購房專用款x萬元人民幣，為使這筆款到2018年末連本帶息共有150.494293萬元，請按表2求出x.

解 （1）由問題1的解答知x=22.115165，即每年末應還款22.115165萬元.

（2）由問題1的解答知x=22.115165，即每年末應存入22.115165萬元.

注 法（1）是還款，法（2）是存款，兩者數額相同、“方式”不同，法（2）就比法（1）早六年獲得那套價值不菲的商品房.雖說房屋有折舊，但比起昂貴的房租、房價上漲較存款利息高很多來說，就是“貸款劃算，存款吃虧”.在問題2（2）中，若按通常的分期付款問題的解答，每年末只還款21.011974萬元，這更是不合理！

筆者還不知道國家有關金融部門計算分期付款問題時，是否有與以上教科書中算法一致的情形？若有的話，金融部門應盡快調整分期付款問題的算法，以免國家造成不必要的損失.