2014年高考山東數學文科卷21題的探究

王敏

題目 在平面直角坐標系中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，直線y=x被橢圓C截得的線段長為4105.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點，

（ⅰ）設直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數λ使得k1=λk2，并求出λ的值;

（ⅱ）求△OMN面積最大值.

通過探究，可以將本題的結果推廣到更一般情形.

定理 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸，y軸分別交于M，N兩點，（1）設直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，則存在常數λ=1-2e2，使得k1=λk2;（2）三角形OMN面積的最大值是c44ab.

證明 設A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），則有B（-x1，-y1）.

直線AB的斜率kAB=y1x1，由AD⊥AB，知直線AD的斜率k=-x1y1.

設直線AD的方程為y=kx+m，由條件知k≠0，m≠0.

聯立x2a2+y2b2=1，

y=kx+m，消去y，整理得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

有x1+x2=-2a2kma2k2+b2，

y1+y2=k（x1+x2）+2m=2mb2a2k2+b2.

由條件知x1≠-x2，k1=y1+y2x1+x2=-b2a2k=b2y1a2x1，

則直線BD的方程為y+y1=b2y1a2x1（x+x1），

令y=0，得x=a2-b2b2x1，即M（a2-b2b2x1，0），

k2=y1x1-a2-b2b2x1=b22b2-a2·y1x1，

從而k1=2b2-a2a2k2.

所以存在常數λ=2b2-a2a2=1-2e2（e為橢圓的離心率），使得k1=λk2.

（2）由BD的直線方程y+y1=b2y1a2x1（x+x1），分別令x=0，y=0得坐標Ma2-b2b2x1，0，Nb2-a2a2y1，0，則S△OMN=12|OM|·|ON|=（a2-b2）22a2b2|x1y1|=c42a2b2|x1y1|（c2=a2-b2），由x21a2+y21b2=1，根據基本不等式得|x1y1|≤ab2.

因而S△OMN=c42a2b2|x1y1|≤c44ab.即三角形OMN面積的最大值是c44ab.