2014年高考山東數學理科卷21題解法研究

胡翠霞

題目 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形.

（Ⅰ）求C的方程;

（Ⅱ）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，

（ⅰ）證明直線AE過定點，并求出定點坐標;

（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.

解析（Ⅰ）拋物線C的方程：y2=4x;（略）

（Ⅱ）（ⅰ）（法一）導數法（與2013年山東理科22題（3）問導數法一樣）：

設A（x0，y0）（x0y0≠0）、D（xD，0）（xD>0），因為FA=FD，所以xD-1=x0+1，xD=x0+2kAB=-y02;

又因為y2′=4x′2yy′=4，所以y′=2ykAB=2yE=-y02，所以yE=-4y0，xE=4y20.

AE=（4y20-x0，-4y0-y0）;AF=（1-x0，-y0）滿足：AE∥AF，所以A，F，E三點共線！

（由對稱性及特殊情況“通徑”在解答之前就已經知道答案是（1，0）！

圖1

（法二）光學性質+幾何法（與2013年山東理科22題光學法類似）：

如圖1，

做EG∥x軸，交AB于G，由拋物線的光學入射及反射原理知：

∠DAE=∠AEH=∠GEW=∠EGA=∠FDA=∠DAF;

所以A，F，E三點共線;

（Ⅱ）（ⅱ）（法一）巧用切線轉化三角形面積，與2014青島二模20題類似.

設A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0），因為FA=FD，所以xD-1=x0+1，xD=x0+2kAB=-y02;

又因為y2′=4x′2yy′=4所以y′=2ykAB=2yE=-y02，所以yE=-4y0=yG.

lAB：y-y0=-y02（x-x0），即：x=-2y0y+x0+2，代入y2=4x得：y2+8y0y-4x0-8=0y0+yB=-8y0.

如圖1：結合yB=-y0-8y0，不難求得：

H（-4y20，0）=（-1x0，0），

S△ABE=12HDy0-yB

=12x0+1x0+2y0+y0+8y0

=12x0+1x0+22y0+8y0≥16.

當且僅當x0=1且y0=±2時取等號.

（Ⅱ）（ⅱ）（法二）光學原理+幾何性質.

做EG∥x軸，交AB于G，由拋物線的光學入射及反射原理知：

設A（x0，y0）（x0y0≠0）、D（xD，0）（xD>0），因為FA=FD，所以xD-1=x0+1，xD=x0+2kAB=-y02;

又因為y2′=4x′2yy′=4所以y′=2ykAB=2yE=-y02，所以yE=-4y0=yG.

又因為kAB=y0-yBx0-xB=y0-yBy204-y2B4=4y0+yB=-y02=2yGyG=y0+yB2G為AB中點.

所以S△ABE=2S△AGE=AEGEsinθ=AE2sinθ=4sin2θ2sinθ=16sin3θ≥16，

等號當且僅當θ=90°，即AE斜率不存在時取得.其中，焦點弦公式AE=2psin2θ，θ為直線AE的傾斜角.