從一道高考試題的命制到解法探究

1 問題緣起

題目 （2014年遼寧理第16題）對于c>0，當非零實數a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，3a-4b+5c的最小值為 .

分析 條件中，非零實數a，b滿足的方程可化為4a2-2ab+4b2=c，令f（a）=4a2-2ab+4b2，其判別式Δ=（-2b）2-64b2=-60b2<0恒成立，則f（a）恒大于0，c>0顯然成立！此條件是a，b非零的必要條件，c>0的條件完全可以去掉.

戴再平教授在《數學習題理論》中曾提出，數學習題的條件必須是獨立的、最少的，即不應有重復的、多余的、過剩的條件.但出于命題者的試題考查目的，考慮到學生的接受能力，為了降低題目難度，可以允許一些條件保留，這是筆者認為多余條件允許存在的唯一理由.這一問題僅是筆者個人愚見，值得商榷.

從題目給出的多余條件c>0進行思考，我們會得到很多意想不到的解法.

2 解法探究

解法1 由題意，4a2-2ab+4b2-c=0可化為58（2a+b）2+38（2a-3b）2=c，則58（2a+b）2≤c，即2a+bmax≤8c5，當且僅當2a=3b時，2a+bmax=8c5，此時，a=3b2，c=10b2，3a-4b+5c

=12b2-2b=121b-22-2≥-2，即c=52，a=34，b=12時，3a-4b+5c的最小值為-2.

評注 既然c>0顯然成立，我們更關心4a2-2ab+4b2=c左邊的形式，抓住該問題的核心2a+b，對左邊進行變形就感覺并非空穴來風，而是有章可循了.

分析1 既然c>0顯然成立，令a=x+y，b=x-y，此時2a+b=3x+y，則原方程可化簡成6x2c+10y2c=1，因c>0，故上式方程表示焦點在x軸上的橢圓.原題就等價于：已知6x2c+10y2c=1，探尋3x+y取得最小值的條件.至此，求解解法就非常多了，利用柯西不等式、三角換元、Δ法、線性規劃思想等等，都是我們熟悉的，下面僅介紹本題的柯西不等式解法和解析幾何中的Δ法，其它方法不再贅述.

在人教A版《數學選修4-5》不等式選講中，教材介紹了二維形式的柯西不等式，即若a，b，c，d都是實數，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時，等號成立.

解法2 通過以上分析，（3x+y）2≤[（6x）2+（10y）2]362+1102=8c5，因2a+b=

3x+y.所以，當且僅當x=5y時，2a+bmax=8c5，此時a=6y，b=4y，c=160y2，故3a-4b+5c=132y2-12y=132（1y-8）2-2≥-2，當y=18，即c=52，a=34，b=12時，3a-4b+5c的最小值為-2.

解法3 設z=3x+y，6x2c+10y2c=1，

z=3x+y，消去y得，96x2-60zx+10z2-c=0（*），由題意該方程有解，故Δ=900z2-96（10z2-c）≥0.所以，z2≤8c5，z≤8c5，即zmax=8c5，此時z=±8c5，代入（*）方程得：x=5z16=±10c8，所以x=10c8，

y=210c5-310c8，或x=-10c8，

y=-210c5+310c8.故a=310c20，

b=10c10，

或a=-310c20，

b=-10c10.

當a=310c20，

b=10c10，時，3a-4b+5c=5c-22-2≥-2，等號當且僅當c=52時取得;

當a=-310c20，

b=-10c10，時，3a-4b+5c=210c+5c>0.綜上可知：當c=52，a=34，b=12時，3a-4b+5c的最小值為-2.

解法4 由題意顯然ab>0時，2a+b取得最大，設2a+b=t，b=t-2a，代入條件方程得：24a2-18at+4t2-c=0，Δ=-60t2+96c≥0，故tmax=210c5，2a+b=210c5，兩邊平方得c=20a2+5b2+20ab8，代入4a2-2ab+4b2=c得：（2a-3b）2=0，即2a=3b，不妨設a=3m，b=2m，c=40m2，3a-4b+5c=18m2-1m=181m-42-2≥-2，此時m=14，即a=34，b=12，c=52時，3a-4b+5c的最小值為-2.

評注 解法4巧妙利用2a+b取得的最大值210c5，利用2a+b=210c5中的a，b，c關系，結合已知方程，進行代入消元，避免了解法3中的繁瑣討論，揭示了此題的考查核心，即a，b，c關系，從而能輕松獲解.這種解法源于最基本的數學思想——“消元”，通過轉化對多元問題進行“消元”處理，具有較強的普適性.如2008年江蘇理第11題，2011年浙江理第16題，2013年山東理第12題，2014年遼寧文第16題均可采用這種思想解答.

分析2 既然c>0顯然成立，將方程4a2-2ab+4b2=c變形為a2+b2-2ab·14=c22，我們發現，其實此等式是我們非常熟悉的代數表達式，可以聯想到余弦定理中這樣的格式.又因2a+b≤2a+b，等號成立只需a、b同號.不妨設a>0、b>0.

解法5 原題條件方程可化為a2+b2-2ab·14=c4，如圖，原問題等價于：在三角形△ABC中，cosC=14，AB=c2，當2a+b最大時，求3a-4b+5c的最小值.

根據正弦定理得：asinA=bsinB=c2sinC=2c15.所以a=2c15sinA，b=2c15sinB.從而2a+b=2c15（2sinA+sinB），2sinA+sinB=2sinA+sin（A+C）=14（9sinA+15cosA）=6sin（A+φ），其中φ在第一象限，tanφ=159.可見當A+φ=π2時，（2a+b）max=2c15·6=210c5，此時sinA=cosφ=946，a=2c15·946=310c20，b=210c5-2·310c20=10c10.故3a-4b+5c=5c-210c=5c-22-2≥-2.所以，當c=52，a=34，b=12時，3a-4b+5c的最小值為-2.

評注 這道題目也是由三角形中的問題演變而來，不禁讓人感到命題專家對此題的多角度理解，真是讓人拍案叫絕，有種知其然且知其所以然的感覺.

作者簡介 陳新偉，泰安市優秀教師、泰山教學新星，多次獲得泰安市課程與管理先進個人，主要對自主招生、數學競賽、數學教育、班主任工作方面進行思考專研，發表班主任、數學專業類文章30余篇.