2014年高考山東理科數學19題的感想

馮淑麗

自2007年山東實施新課標高考以來，對數列的考查無一例外（當然除2009年略有不同）的采取了一種固定的考查模式：第一問求數列的通項公式;第二問求數列的前n項和.基本上所有的求和方法都有所涉及：乘公比錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，根據n的奇偶性分類討論，并項求和法等.人們猜測2014年的高考數列會考哪種求和方法？我想在各種求和方法都訓練到位的前提下，今年的數列題目應該不算是個難題.

題目 已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式;

（Ⅱ）令bn=（-1）n-14nanan+1，求數列{bn}的前n項和Tn.

該題目的新穎之處在于第二問，進行了絕妙的創新設計，要求考生準確掌握數列的基本思想，同時也對思維的靈活性提出了較高的要求.當看到通項公式bn=（-1）n-14nanan+1=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），大部分同學會一下子想到“裂項相消法”，但是用傳統的裂項法卻很難辦;又看到（-1）n-1也會聯想到分類討論或者是“并項求和”等思想方法.

解法1 裂項求和法.

裂項方法之一：在嘗試了“裂差”的失敗之后，同學們應該能夠想到這樣的一種“裂和”的方法：bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1+12n+1），然后寫出Tn的表達式Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…+（-1）n-1（12n-1+12n+1）.

觀察前幾項的抵消規律：每一項中的第二個數與它后一項的第一個數相抵消，由特殊到一般，歸納出Tn的一般表達式.顯然再由n的奇偶性決定了最后一項是“+”號還是“-”號，因此這個題目很自然地想到根據n的奇偶性去討論：

①若n為偶數，則Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-1+12n+1）

=1-12n+1=2n2n+1.

②當n為奇數，則Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-3+12n-1）+（12n-1+12n+1）

=1+12n+1=2n+22n+1.

裂項方法之二：由傳統的裂項方法想到：因為2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，所以bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1-12n+1）2n=（-1）n-1（2n2n-1-2n2n+1），

所以Tn=（21-23）-（43-45）+（65-67）-（87-89）+…

=2-23-43+45+65-67-87+89+…

=2-（23+43）+（45+65）-（67+87）+89+…

結合著“并項求和法”，根據n的奇偶性，由特殊到一般的歸納出Tn的表達式.

在該解法中要求對通項進行裂項的靈活性比較高，其實在近幾年的高考題中也給我們傳遞了這樣一種信息：在傳統的方法上不斷的進行創新，達到知識與能力的完美融合.

裂項法求和關鍵在于拆項、消項.因而具有較強的技巧.在平時的解題訓練中不應生搬硬套，而應靈活應用，常見代數式的裂項要適當的了解，例如：

an=2n-33n=n-13n-1-n3n;

1n×（n+1）×（n+2）=

121n×（n+1）-1（n+1）（n+2）;

1n×（n+1）×（n+2）×（n+3）=

131n×（n+1）×（n+2）-

1（n+1）×（n+2）×（n+3）2n+3n×n+1×n+2=2n+1×n+2+3n×n+1×n+2.

解法2 并項求和法.

bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），由代數式的結構特點：正負交替變換，不難想到并項求和法.

Tn=41·3-83·5+125·7-167·9+209·11-2411·13+…

=（41·3-83·5）+（125·7-167·9）+（209·11-2411·13）+…

=41·5+45·9+49·13+…

并項之后，認真觀察該代數式具備了裂項相消法求和的條件，因此，可以得到：

Tn=41·5+45·9+49·13+…=（11-15）+（15-19）+（19-113）+…

當然，要對n的奇偶性進行討論.

當n為偶數時：

Tn=41·3-83·5+125·7-167·9+209·11-

2411·13+…+4（n-1）（2n-3）·（2n-1）-

4n（2n-1）·（2n+1）

=

（41·3-83·5）+（125·7-167·9）+（209·11-2411·13）+…+4（n-1）（2n-3）·（2n-1）-4n（2n-1）·（2n+1）

=

41·5+45·9+49·13+…+4（2n-3）·（2n+1）

=

（11-15）+（15-19）+（19-113）+…+（12n-3-12n+1）

=11-12n+1=2n2n+1.

當n為奇數時：因為此時n-1為偶數，所以Tn-1可以用上當n為偶數時的結論直接得出，

Tn=Tn-1+bn=

2（n-1）2（n-1）+1+（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）

=

2（n-1）2n-1+4n（2n-1）（2n+1）

=

4n2+2n-2（2n-1）（2n+1）=2n+22n+1.

在整個過程中，采取的是“先并項，再裂項”分類討論的解題思路.

雖然上述兩種解答方法有些細微的不同，但是方法并不陌生，都是可以與以往的解題方法聯系起來，進行適當的創新，把多種求和方法聯系起來.本題第（Ⅱ）問還可以用數學歸納法進行證明.因此在備考過程中一定要把每一種求和方法訓練到位，體會求和過程中包含的數學思想方法.