2014年高考山東理科卷數學第21題的拓廣

彭世金

題目 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸正半軸于點D，且有FA=FD.當點A的橫坐標為3時，△ADF是正三角形.

（Ⅰ）求C的方程;

（Ⅱ）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，

（ⅰ）證明直線AE過定點，并求出定點的坐標;

（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由.

筆者通過研究，發現本題第（Ⅱ）問可拓廣到一般情形.

命題 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸正半軸于點D，且有FA=FD.若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，則（ⅰ）直線AE過定點F（p2，0）;（ⅱ）△ABE的面積有最小值，且這個最小值為4p2.

證明 （ⅰ）設A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）.由FA=FD，得xD-p2=x0+p2，由xD>0，得xD=x0+p.所以D（x0+p，0）.故直線AB的斜率kAB=-y0p.

因為直線l1與直線AB平行，設直線l1的方程為y=-y0px+b，將l1的方程與拋物線C的方程y2=2px聯立，消去x得y0y2+2p2y-2p2b=0.

由l1和C有且只有一個公共點E，知Δ=4p4+8y0p2b=0，得b=-p22y0.

設E（xE，yE），則yE=-p2y0，xE=p32y20.

當y20≠p2時，直線AE的斜率kAE=yE-y0xE-x0=2py0y20-p2，

直線AE的方程為y-y0=2py0y20-p2（x-x0），

由y20=2px0，將AE的方程整理得y=2py0y20-p2（x-p2）.直線AE過定點F（p2，0）.

當y20=p2時，直線AE的方程為x=p2，過定點F（p2，0）.

綜上可知，直線AE過定點F（p2，0）.

（ⅱ）由（ⅰ）知直線AE過拋物線C的焦點F（p2，0），

所以AE=AF+EF=（x0+p2）+（p32y20+p2）=x0+p32·2px0+p=x0+p24x0+p，

直線AE的方程x=my+p2，點A（x0，y0）在AE上，m=x0-p2y0.

直線AB：y-y0=-y0p（x-x0），由y0≠0，可得x=-py0y+p+x0，

將其代入C的方程y2=2px，整理得y2+2p2y0y-2p2-2px0=0.

設B（x1，y1），則有y0+y1=-2p2y0，

故y1=-y0-2p2y0，x1=p2x0+x0+2p.

點B到直線AE的距離

d=p2x0+x0+2p+m（y0+2p2y0）-p212+m2

=p2x0+x0+2p+x0-p2y0·（y0+2p2y0）-p212+（x0-p2y0）2

=2（x0+p2）2x0x0+p22px0=22p（x0+p2x0）.

于是△ABE的面積

S=12·22p（x0+p2x0）·（x0+p24x0+p）

≥12·22p·2x0·p2x0·（2x0·p24x0+p）=4p2

當且僅當x0=p2x0且x0=p24x0即x0=p2時取等號，故△ABE的面積的最小值為4p2.