一道課本例題的探究與應用

課本是重要的教學資源，例題是數學教材的重要組成部分，是教材的精華，頗受高考命題專家的青睞.數學教師應充分對例題進行探究，挖掘其應用價值.著名數學家G·波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使其通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”下面通過一道課本例題的探究談一談如何“立足課本，對接高考”.

1 題目呈現

題目 （人教A版《數學〈選修2-1〉第41頁的例3）設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-49，求點M的軌跡方程.

2 題目探究

探究1 設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-b2a2，求點M的軌跡方程，點M的軌跡是什么？

結論1 與兩定點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率之積等于定值-b2a2

的點M的軌跡方程是x2a2+y2b2=1（x≠±a）.

情形1：當a>b>0時，點M的軌跡是以AB為長軸的橢圓，除去A，B兩點.

情形2：當b>a>0時，點M的軌跡是以AB為短軸的橢圓，除去A，B兩點.

情形3：當a=b>0時，點M的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A，B兩點.

探究2 結論1的反面是什么？是否成立？

結論2 橢圓x2a2+y2b2=1上兩個頂點（-a，0），（a，0）與橢圓上除這兩個頂點外的任一點連線的斜率之積為定值-b2a2.

探究3 類比“圓中任一條直徑所對的圓周角是直角”，將結論2中的兩頂點換成經過橢圓中心的任意一條弦的兩端點，結論是什么？結論是否成立？

結論3 橢圓x2a2+y2b2=1上任意經過中心的弦的兩個端點與橢圓上任一點（除這兩點外）連線斜率之積為定值-b2a2.

探究4 將“圓的垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”類比到橢圓中，結論是什么？結論是否成立？

結論4 過橢圓x2a2+y2b2=1的中心平分該橢圓弦的直線與弦所在的直線的斜率之積為定值-b2a2.

探究5 將“圓的切線定理：過切點的直徑垂直于過該切點的圓的切線”類比到橢圓中，結論是什么？結論是否成立？

結論5 過橢圓x2a2+y2b2=1上一點與中心連線的直線的斜率與橢圓在該點處切線的斜率之積為定值-b2a2.

當然，可將以上橢圓中的結論類比到雙曲線中，探究其是否成立.（限于篇幅，留給讀者探究總結）

3 對接高考

例1 （2013年高考全國大綱卷（理科）第8題）

橢圓C：x24+y23=1的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上，且直線PA2斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（ ）.

A.12，34 B.38，34

C.12，1 D.34，1

解析 由結論2得，kPA1·kPA2=-34，所以kPA1=-34kPA2（-2≤kPA2≤-1）.因為kPA1單調遞增，所以38≤kPA1≤34，故選B.

例2 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷（理科）第10題）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A、B兩點.若AB的中點坐標為（1，-1）則E的方程為（ ）.

A.x245+y236=1 B.x236+y227=1

C.x227+y218=1 D.x218+y29=1

解析 由結論4得：-b2a2=-12，所以a2=2b2.又a2=b2+9，所以b2=9，a2=18，選D.

例3 （2013年高考全國新課標卷Ⅱ（理科）第20題第⑴問）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點的直線x+y-3=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為12.求M的方程.

解析 由結論4得，-b2a2=12×（-1），所以a2=2b2.又直線x+y-3=0過焦點（c，0），所以c=3，即a2-b2=3，所以a2=6，b2=3，點M的軌跡方程為x26+y23=1.

例4 （2013年高考北京卷（理科）第19題第（2）問）已知A、B、C是橢圓W：x24+y2=1上的三個點，O是坐標原點.當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

解析 四邊形OABC不可能為菱形.理由如下：

假設四邊形OABC為菱形，則對角線OB與AC互相垂直且平分于點M，于是kOB·kAC=-1.又由結論4知，kOM·kAC=-14.因為kOM=kOB，所以kOB·kAC=-14.因為-14≠-1，所以假設不正確.所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形.

例5 （2013年山東卷（理科）壓軸題）橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為32，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程;

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連結PF1，PF2，設∠F1PF2

的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍;

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

解析 （1）x24+y2=1（過程略）.

（2）設P（x0，y0）（y0≠0）.

當x0=0時，m=0.

當x0≠0時，由結論5知kOP·k切=-14，所以k切=-x04y0.

由橢圓光學性質知kPM·k切=-1，所以kPM=4y0x0，所以∠F1PF2的角平分線PM的方程為y-y0=4y0x0（x-x0），令y=0得m=34x0（-2<x0<0或0<x0<2）.綜合上述得-32<m<32.

（3）由題意，設P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）.

由結論5知，kPM·k切=-14，所以k=k切=-x04y0，而k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，所以1k1+1k2=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-4y0x0·2x0y0=-8.

例6 （2013年高考山東卷（理科）壓軸題的一般化）橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.

（1）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連結PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍;

（2）在（1）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

解析 （1）由題意，設P（x0，y0）（y0≠0）.

當x0=0時，m=0.

當x0≠0時，由結論5知kOP·k切=-b2a2，所以k切=-b2x0a2y0.

由橢圓光學性質知，kPM·k切=-1，所以kPM=a2y0b2x0，所以∠F1PF2的角平分線PM的方程為y-y0=a2y0b2x0（x-x0）.

令y=0得m=x0-b2a2x0=a2-b2a2x0（-a<x0<0或0<x0<a），

綜合上述得-a2-b2a2<m<a2-b2a2.

（2）由題意，設P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）.

由結論5知，kOP·k切=-b2a2，k=k切=-b2x0a2y0，而k1=y0x0+c，k2=y0x0-c，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-a2y0b2x0·2x0y0=-2a2b2.

4 教學啟示

4.1 注重對課本例題教學價值的挖掘.

課本例題具有示范性，通過例題教學，幫助學生深究教材例習題，挖掘其潛在功能，發揮其使用價值，對激發學生的探索興趣，培養學生的解題能力，發展學生的創造性思維，都具有積極的作用.

42 立足教材，高效備考.

新課程提倡教師在教學中對課程資源進行開發和利用，教材是教師進行教學的主要資源，是學生能力的生長點，是高考命題的主要依據.立足教材，開發教材，做透教材中的典型例題和習題，善于在高考題中尋找教材題目的原型，探索高考試題與教材題目的結合點，打通教材與高考的通道，對接高考，才能最終實現在高考復習中跳出題海，高效備考.

作者簡介 張立政，男，1964年生，山西孝義人，山西省中學數學特級教師，主要從事中學數學教育與教學研究.