直線與平面垂直說課稿

宮建紅

1 教學背景

1.1 教材內容解析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書數學》蘇教版必修2中1232《直線與平面垂直》內容，屬于新授概念原理課.

圖1

如圖1，這是直線與平面垂直在本章中的位置.直線與平面垂直是在學生掌握了直線在平面內，直線與平面平行之后緊接著研究的一種位置關系.線面垂直與線線平行、面面平行聯系密切，線面平行研究了定義、判定定理以及性質定理，這就為我們本節課的研究勾勒出了一條主線.直線與平面垂直又是立體幾何中最重要的一種位置關系，向下可以得到線線垂直，向上可以得到面面垂直，且后面空間的角和距離等都涉及到線面垂直，從而就顯得尤為重要.

本節課的學習不僅起著承上啟下的作用，還是學生體驗由特殊到一般、類比、歸納、猜想、化歸等數學思想方法與應用的過程.因此，學習這部分知識有著非常重要的意義.

1.2 學生學情分析

1.21 學生已有認知基礎

學生已經學習了直線與直線垂直、直線與平面平行的相關認識.學生已有通過直觀感知、操作確認的方法研究直線與平面平行的直接經驗，對空間概念、原理的建立有一定的基礎.學生初步養成了獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣.

1.22 達成目標所需要的認知基礎

學生需要對研究的目標、方法和途徑有初步的認識，初步具備類比、猜想、抽象概括、空間想象能力.

1.23 教學重難點及突破策略

依據教材內容解析和學生學情分析，我確定本節課的教學重點難點及突破策略如下：

教學重點 直線與平面垂直定義的生成過程，判定定理的發現過程，以及性質定理的證明過程.

教學難點 直線與平面垂直的定義和判定的生成過程，性質定理的證明方法的發現過程.

突破策略 教師引導學生先明確研究的內容與方法，從總體上認識研究的目標與手段;組織學生匯報交流，展現思維過程，相互評價，相互啟發，促進反思;讓學生經歷直觀感知、猜想、抽象概括、適當證明或說明的過程.

1.3 教學目標設置

基于教材、學情分析，充分關注學生的發展，在此基礎確立了本節課的教學目標如下：

（1）通過對現實生活中的實例、模型的觀察、類比、抽象、概括出直線與平面垂直的定義，發現、推測、歸納直線與平面垂直的判定定理，探究直線與平面垂直的性質定理及證明方法.

（2）感悟特殊到一般、化歸等數學思想;了解反證法，發展類比、歸納等合情推理能力、邏輯推理能力和空間想象能力.

（3）體會數學的嚴謹、自然、簡潔之美，體驗數學探究與發現的樂趣，培養質疑、思辨、發現問題的意識和自主探究、思考的習慣和能力.

2 教法學法

根據學生已有學習基礎，為提升學生的學習能力，本節課的教學，采用啟發探究式.通過教師引導，激發學生自主探究，動手操作，體驗感悟，總結提煉.引領學生達到定性研究線面垂直的目標與方法，經歷研究線面垂直的定義、判定定理和性質定理的過程，并在研究的過程中逐漸完善研究手段，提高研究能力.學生的自主探究，具體表現為：

（1）建構直線與平面垂直的概念時，學生自主舉例，觀察猜想，抽象概括，并用自然語言、圖形語言、符號語言表示.

（2）探究直線與平面垂直的判定定理與性質定理時，學生通過實驗探究、觀察探究、操作確認的方式猜想歸納并表述.

（3）性質證明時，學生自主探究證法，相互交流提升，最終解決問題.

3 教學過程

為了達成教學目標，具體教學可以分為以下五個過程：

建構定義→形成判定→產生性質→課堂小結→布置作業

圖2

下面對每一過程中要解決的問題和主要做法以及步驟作出說明.

3.1 建構定義

根據學生已有的知識基礎，建構定義部分，我設計了以下8個問題：

問題1 直線和平面有哪幾種位置關系？

問題2 研究了直線和平面平行哪些內容？

設計意圖 以問題串的形式復習線面關系，勾勒出本節課的研究線路.

問題3 直線和平面相交中最特殊的一種情況是什么？

活動31：你能利用手中的工具，擺出一些直線與平面相交的情形嗎？

活動32：大家擺出了這么多種“相交”，你想先從哪一種情形開始研究呢？把它擺出來.

活動33：那你能給“這種情形”（教師比劃”直線與平面垂直”的形象）起個名字嗎？

追問331：為什么命名為“垂直”呢？

設計意圖 先讓學生動手操作——發現線面垂直是相交最特殊的情形;緊接著讓學生自主命名——使學生體驗成功快樂;進而追問為什么命名為“垂直”？——學生聯想“直線與直線垂直”，用已知的概念來表示未知概念，為定義建構埋下伏筆.

問題4 為什么先研究線面垂直？

設計意圖 讓學生認識到研究新問題的途徑為：由特殊到一般，由簡單到復雜.

問題5 為什么要研究線面垂直？

設計意圖 通過讓學生舉出生活中的實例和幾何體中的實例，感受到線面垂直普遍存在，有研究的必要性.

問題6 你認為應該研究直線與平面垂直的哪些內容？

設計意圖 培養學生模仿類比能力，根據直線與平面平行的研究內容，確立直線與平面垂直的研究目標.

問題7 圓錐的軸與底面內的任意一條線是什么關系？

問題71：圓錐的底面是如何形成的？

問題72：圓錐的軸與底面半徑是什么關系？為什么？

問題73：圓錐的軸與底面不過圓心O的直線m是什么位置關系？為什么？

問題8 你能給“直線與平面垂直”下個定義嗎？

活動81：分別用文字語言、圖形語言和符號語言表示定義.

活動82：“任意”等價于“所有”嗎？等價于“無數”嗎？

活動83：如圖3，圓錐的母線PC與底面垂直嗎？為什么？

圖3

例1 求證：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

設計意圖 通過幾何畫板動態展示圓錐的定義，讓學生觀察思考，探究發現，由于前面問題串的鋪墊，問題8就水到渠成地解決了.活動81培養了學生總結概括、語言轉換能力.活動82，83旨在通過詞語辨析、反例辨析，固化對定義的認識.例1是概念的應用，它的證明既可以使用定義，也可以使用判定定理，但教材中把例1的位置放在定義建構以后，而非在判定定理形成之后.從而沒有必要在教學時將位置后置，人為的將問題的證明復雜化.

3.2 形成判定

探究活動 請同學們動手操作并思考系列問題：

（1）怎樣將一本書立在桌面上，使得書脊能與桌面垂直？這樣的書至少需要幾頁呢？

（2）將手中的練習紙折疊，折痕滿足什么條件，折痕與桌面垂直？

（3）觀察下列的實例，給你什么啟發？（PPT上展出兩幅圖.圖1為立在跑道上的跨欄架，圖2為一個長方體）

設計意圖 此環節，先問學生“根據定義如何判斷旗桿所在直線是否與地面所在平面垂直？”由實際操作的困難，認識到研究判定定理的必要性.關于判定定理的產生途徑，設計時準備了四種探究方式：

（1）觀察生活中的實例，提煉結果;

（2）設計操作過程，讓學生自己動手;

（3）自然分類：垂直于平面內一條直線行嗎？兩條平行直線呢？兩條相交直線呢？

（4）數學本質的探究，由無限到有限的思想.

這四種方式對學生能力的要求各不相同，（1）是“直觀性教學”，目標指向明顯，思維難度較小，（4）對學生的邏輯思維能力、抽象概括能力有較高的要求.賽課時由于對學情的不了解，最后在課堂上選擇采用了操作與觀察相結合的方式，這樣的設計也滿足了不同層次的學生的能力需求，體現了分層教學.

3.3 產生性質

探究活動 （1）教師與某學生都站立在教室里，把站立的倆人抽象成兩條直線，都與地面所在的平面垂直，兩人所在直線的位置關系是什么？你能發現什么結論嗎？

（2）用數學語言描述這個發現，并用圖形語言和符號語言表示出來.

（3）嘗試從理論上給予證明呢？

讓學生明確任務后，在練習紙上嘗試證明，隨后教師用展臺展出學生的證明方法.接著讓學生交流點評，教師總結.

設計意圖 設計發現性質定理的時候，有兩條思路：其一，將性質定理與例1進行對比，通過命題變換;另一種是通過感知，讓學生發現性質.由于本節課內容較多，課堂上選了第二種方式.性質定理的證明是本節課的難點，而非重點.采用學生先行嘗試，再展示交流，調動了學生的學習主動性，提高合作交流的意識和能力.通過展示學生中的錯誤，讓學生學會反思，從錯誤中學習，充分暴露學生思維過程中的閃光點.（學生的錯誤主要在于平面內構造的直線與直線a，b不在同一平面內，而又錯誤地用了平面中的結論.）在這里，直接證明的難點成為間接證明的思維起點，從而順利地將學生的思維從直接證明的思路順利引向間接證明的方向.

3.4 課堂小結

為了進一步培養學生的概括和表達能力，系統掌握所學的知識，引導學生從三個層次進行總結：學習了哪些知識？掌握了哪些方法？體會了哪些思想？

3.5 布置作業

通過作業對學生的學習情況進行反饋，對教師的教學進行有效矯正，布置如下作業：

（1）閱讀課本第33頁性質定理的證明，思考與本節課堂上給出的證明有什么共性？

（2）畫出本節課的知識圖，羅列證明線面垂直有哪些方法？

（3）課本第34頁練習題1，3.

4 教后思考

4.1 對教材的認識

對照不同版本的教材，“直線與平面垂直”這一節內容出現的順序是有差異的.人教版和北師大版教材，均將其置于“空間平行關系”之后.而蘇教版教材，“直線與平面垂直”是緊隨“直線與平面平行”，并與“直線與平面斜交”三者隸屬于“直線與平面的位置關系”一節.蘇教版教材編寫意圖在于：其一，研究空間位置關系的方法不外乎定性研究和定量研究兩種，“線面平行（垂直）”均為定性研究，而“線面斜交”則為定量研究.其二，研究一個新的數學問題，一般遵循從特殊到一般的規律，故而先研究“線面垂直”.其三，“線面平行”的研究思路為“線面垂直”指明了方向，提供了研究方法.從定義到判定定理再到性質定理的研究順序學生了然于胸.其四，空間問題平面化，將未知轉化為已知的思想，前面的學習中已經有了鋪墊.因此，課堂上要能將編者意圖巧妙地體現，并滲透數學思想.

4.2 一點感悟

本節課的成功之處在于通過設置有效的問題串讓學生體驗探究問題的過程，使得學生的主體地位得到確立，讓學生體驗成功的快樂.此外，不單純為完成教學任務而忽視學生的課堂反饋，也是學生主體地位的體現.在課堂時間較緊、評優課又要求課堂流程完整的情況下，能充分暴露學生的思維過程.（如：學生使用反證法進行性質定理的證明時，自然地由假設不平行，想到兩直線相交或異面的情況.教師順著學生的思路加以引導，而不是生拉硬拽地把學生的思路拉到課本上.但證法的本質是相通的，同樣可以達成教學目標.）本節課同時還注重師生間交流和學生思維發展，利用展臺對比學生的書寫，互相評價，規范書寫，效果較好.

不足之處在于：由于教學容量大，定義的產生，判定定理的形成又是重難點，再加上有些結論不能使用，導致出現了前松后緊的現象.另外在定義的建構部分，如果能避免牽著學生走的嫌疑，充分放手讓學生探究，對學生數學思維能力的發展將更加有利.教學效益也將更好.

（本課獲江蘇省高中青年數學教師優質課觀摩與評比活動一等獎，并獲得代表江蘇省參加2014年全國賽資格）