橢圓共軛直徑的三個新命題

近年來，解析幾何中關于橢圓共軛直徑的問題成為高考和數學競賽的熱點內容.筆者對這類問題進行了系統的研究，概括得到用途廣泛的三個新命題，現整理成文與大家交流.

為了方便大家學習研究，我們先來介紹橢圓共軛直徑相關的定義.

定義1 連接橢圓上任意兩點的線段叫做弦.

定義2 經過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.

定義3 平行于橢圓一條直徑的弦的中點的軌跡和該直徑叫做橢圓的一對共軛直徑.

性質 已知AB，CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑，設A（x1，y1），C（x2，y2），則x1x2a2+y1y2b2=0.

圖1

證明 如圖1，設EF是與直徑AB平行的任意一條弦，它與直徑CD相交于P（x0，y0）點，則點P是線段EF的中點.

設E（x3，y3），F（x4，y4），則x23a2+y23b2=1， ①

x24a2+y24b2=1. ②

由①-②得

x23-x24a2=-y23-y24b2.

當x23-x24≠0時，y23-y24x23-x24=-b2a2.

直線EF與直線CD的斜率之積為kEF·kCD=y3-y4x3-x4·y0x0=y3-y4x3-x4·y3+y4x3+x4=y23-y24x23-x24=-b2a2.

即kAB·kCD=-b2a2，y1y2x1x2=-b2a2.

所以x1x2a2+y1y2b2=0.

當x23-x24=0時，即x3=x4或x3=-x4.

當x3=x4時，共軛直徑AB，CD分別成為橢圓的短軸和長軸;當x3=-x4時，共軛直徑AB，CD分別成為橢圓的長軸和短軸.顯然有x1x2a2+y1y2b2=0.所以總有x1x2a2+y1y2b2=0.

從上面的證明可以看到，當一對共軛直徑所在直線的斜率都存在時，它們的斜率之積為-b2a2;當一直徑所在直線斜率為0，另一直徑所在直線斜率不存在.這樣我們可以把橢圓的共軛直徑定義為：

定義4 （1）若橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩條直徑的斜率之積為-b2a2，則稱它們是橢圓的一對共軛直徑.（2）當一直徑所在直線斜率為0，另一直徑所在直線斜率不存在，即橢圓的長軸和短軸，也把它們稱為一對共軛直徑.

反之，若AB，CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的直徑，且x1x2a2+y1y2b2=0，可以證明AB，CD是橢圓的一對共軛直徑.這樣我們還可以把橢圓的共軛直徑定義為：

定義5 若AB，CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的直徑，設A（x1，y1），C（x2，y2），且x1x2a2+y1y2b2=0，則稱AB，CD是橢圓的一對共軛直徑.

由于現行的中學課本中沒有橢圓共軛直徑的定義，高考和競賽的試題中往往通過直線的斜率之積或者坐標來反映.

命題1 A，B，M是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三點.若OM=λOA+μOB，且A，B是一對共軛直徑的兩個端點，則λ2+μ2=1.

證明 設A（x1，y1），B（x2，y2），由OM=λOA+μOB，得到M（λx1+μx2，λy1+μy2）.

因為M在橢圓x2a2+y2b2=1上，所以（λx1+μx2）2a2+（λy1+μy2）2b2=1，即λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.因為A，B在橢圓x2a2+y2b2=1上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.所以λ2+μ2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.由共軛直徑的性質知x1x2a2+y1y2b2=0，所以λ2+μ2=1.

命題2 A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑的兩個端點，若ON=pOA+qOB（p，q是非零常數），則動點N的軌跡方程是x2a2+y2b2=p2+q2.

證明 設A（x1，y1），B（x2，y2），由共軛直徑的性質知x1x2a2+y1y2b2=0.因為A，B在橢圓x2a2+y2b2=1上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.由ON=pOA+qOB得N（px1+qx2，py1+qy2）.所以（px1+qx2）2a2+（py1+qy2）2b2=p2（x21a2+y21b2）+q2（x22a2+y22b2）+2pq（x1x2a2+y1y2b2）=p2+q2.所以動點N的軌跡方程是x2a2+y2b2=p2+q2.

命題3 A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑的兩個端點，則

（1）x21+x22=a2;

（2）y21+y22=b2;

（3）x1y1+x2y2=0;

（4）x1y2-x2y1=ab;

（5）OA2+OB2=a2+b2;

（6）△AOB的面積S△AOB=12ab.

圖2

證明 如圖2，（1）由共軛直徑的性質知x1x2a2+y1y2b2=0，即a2y1y2=-b2x1x2.

因為點A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓C上，

所以b2x21+a2y21=a2b2， ①

b2x22+a2y22=a2b2， ②

即b2x21-a2b2=-a2y21， ③

b2x22-a2b2=-a2y22. ④

由③×④得b4（x21-a2）（x22-a2）=a4y21y22=b4x21x22，所以x21+x22=a2.

（2）由①+②得b2（x21+x22）+a2（y21+y22）=2a2b2，所以y21+y22=b2.

（3）因為（x1y1+x2y2）2=x21y21+x22y22+2x1x2y1y2=b2x21（1-x21a2）+b2x22（1-x22a2）-2b2a2x21x22

=b2（x21+x22）-b2a2（x21+x22）2=a2b2-b2a2a4=0，所以x1y1+x2y2=0.

（4）因為（x1y2-x2y1）2+（x1y1+x2y2）2=（x21+x22）·（y21+y22），所以（x1y2-x2y1）2=a2b2，x1y2-x2y1=ab.

（5）OA2+OB2=x21+y21+x22+y22=

（x21+x22）+（y21+y22）=a2+b2.

（6）S△AOB=12x21+y21x22+y22sin∠AOB

=12x21+y21·x22+y22·1-cos2∠AOB

=12x21+y21·x22+y22·1-（x1x2+y1y2）2（x21+y21）（x22+y22）

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2

=12x1y2-x2y1=12ab.

本文得到的三個命題是橢圓中的基本的命題，用途十分廣泛，下舉例說明.

圖3

例1 如圖3，若AB、CD是過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中心的兩條直線，且直線AB與CD的斜率的積kAB·kCD=-b2a2，點E是橢圓上異于A、C的任意一點，AE交直線CD于K，CE交直線AB于L，求證：EKAK2+ELCL2為定值.

證明 如圖3，過點E作EM∥AB交直線CD于點M，作EN∥CD交直線AB于點N，設ON=λOB，OM=μOD，則OE=ON+OM=λOB+μOD.設點B，D的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）.因為kAB·kCD=-b2a2即kOB·kOD=-b2a2，故y1x1·y2x2=-b2a2，

所以x1x2a2+y1y2b2=0.

由命題1可知λ2+μ2=1.又因為EKAK=EMOA=ONOB=|λ|，ELCL=ENOC=OMOD=|μ|，所以EKAK2+ELCL2=|λ|2+|μ|2=1.

例2 如圖4，已知橢圓C的方程為x24+y2=1，A，B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的矩形的兩個頂點.若M，N是橢圓上兩個動點，且直線OM，ON的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由.

解 因為直線OM，ON的斜率之積kOM·kON=-b2a2=-14，所以由命題3得△OMN的面積為定值S△MON=12ab=12×2×1=1.

圖4 圖5

例3 如圖5，已知A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑的兩個端點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設OP=tOE，求實數t的值.

解 設OP=λOA+μOB，由命題1知λ2+μ2=1.因為E為線段AB的中點，所以OE=12OA+12OB.又因為OP=tOE，所以OP=t2OA+t2OB.因為OA，OB是不共線的向量，所以λ=t2，μ=t2.所以t24+t24=1，t2=2.因為t>0，所以t=2.

高考中的許多解析幾何試題的背景是圓錐曲線的性質，對這些性質采用特殊化的手段可以命制鮮活的高考題.由于以橢圓共軛直徑為背景的試題往往與圖形的本質特性和運動不變性有關，涉及定值、軌跡等問題，因此這類問題成為解析幾何中熱點問題，希望大家復習中要引起足夠的重視.深入研究圓錐曲線的性質，充分揭示這類試題的背景，我們仿佛漫步于一個絢爛多姿的花園，被它美妙的形式，和諧的內容，深刻的結果，奇妙的聯系所深深吸引，流連忘返.

作者簡介 張乃貴，男，1966年生，江蘇興化人，江蘇省中學數學特級教師，主要從事中學數學教育、初等數學、數學競賽研究，在《中學數學雜志》等雜志發表論文300多篇.