使用幾何畫板如何找出已知橢圓的中心

張偉

已知橢圓，如何確定它的中心？這個問題有很強的實際意義，比如給出一個大口徑的封頭，我們要根據(jù)它的中心來設(shè)計其它配套產(chǎn)品.本文使用幾何畫板，介紹一種尋找橢圓中心的初等方法.

如圖所示，我們按照下列步驟確定該橢圓的中心：

（1）在給定橢圓中任意作出兩條平行弦AB，CD;

（2）將AB，CD的中點連接成直線l1;

（3）在該橢圓中作出另外兩條平行弦EF，GH;

（4）將EF，GH的中點連接成直線l2;

（5）直線l1和l2的交點O即為橢圓的中心.

其中第二次作出的平行弦和第一次的平行弦不能平行.本方法的數(shù)學原理是：橢圓平行弦的中點的軌跡一定經(jīng)過橢圓的中心.證明如下：

設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）內(nèi)的一組平行弦的斜率為定值k，任取其中一條弦PQ，它的中點坐標為（x0，y0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），代入橢圓中可得：

x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1

相減得：x21-x22a2+y21-y22b2=0，

即（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0.

變形得：-b2a2=（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2），

即-b2a2=y0x0k.

所以中點的軌跡方程為：y=-b2a2kx，它是經(jīng)過橢圓中心的直線.

這個原理非常簡單，是點差法的最基本步驟，我們巧妙地移植過來用于尋找橢圓的中心，避開了復(fù)雜的代數(shù)運算，也顯示了幾何畫板的巨大威力.