直線和橢圓相切狀態下的一個簡單性質

莊志剛+楊云顯

橢圓中的性質很多，大多是針對焦半徑和焦點弦的某種形式出現的定值問題的研究.對于直線和橢圓相交或相切狀態下的簡單適用的結果不多.筆者曾寫過一篇關于“直線和橢圓相交狀態下的一個通用性質”[1]的文章，對標準方程下焦點三角形的面積和坐標間的對應關系進行了一點初步的研究.近來通過直線和橢圓相切狀態下的有關計算，得到下面結論，期待能對實踐應用有所幫助.

如果先以中心在原點，焦點在x軸上的標準橢圓為載體進行研究，可以得到如下結論：

圖1

性質1 如圖1，若P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上異于長軸、短軸端點外的任意一點，F1，F2為橢圓的兩焦點，如果兩焦半徑PF1，PF2的斜率存在且分別為k1，k2，設過P（x0，y0）的橢圓的切線l的斜率為k，則1k（1k1+1k2）為定值，且定值為-2λ.

為了證明上面結論，先不妨證明以下結論.

結論1 若P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上異于長軸端點外的任意一點，F1，F2為橢圓的兩焦點，設兩焦半徑PF1，PF2的斜率存在且分別為k1，k2，則（1k1+1k2）=2x0y0.

證明 設橢圓的兩焦點F1（-c，0），F2（c，0）（其中c=a2-b2），

則1k1=x0+cy0，1k2=x0-cy0，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0.

得到這個結果的過程比較容易，從這個結果可以看出，過焦點在x軸上的標準橢圓上異于長軸端點外的任意一點所得兩條焦半徑（斜率都存在）的斜率的倒數和與點的橫縱坐標有關.

結論2 設P（x0，y0）為橢圓x2λb2+y2b2=1（b>0，λ>1）上異于長軸端點外的任意一點，l為過P（x0，y0）的橢圓的切線，則其斜率k與點P坐標有關，且k=-x0λy0.

證明 λ>1，曲線表示以坐標軸為對稱軸，焦點在x軸上的橢圓，

設過P（x0，y0）的直線斜率為k，則l的方程為y-y0=k（x-x0）.

聯立方程組：x2λb2+y2b2=1，

y-y0=k（x-x0），

消去y得：

（1+λk2）x2+2（λky0-λk2x0）x+（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0. （1）

因為l為過P（x0，y0）的橢圓的切線，

所以有Δ=4（λky0-λk2x0）2-4（1+λk2）（λk2x20-2λkx0y0+λy20-λb2）=0

整理得：

λ（λb2-x20）k2+2λx0y0k+

λ（b2-y20）=0.（2）

又因為P（x0，y0）在橢圓上，所以x20λb2+y20b2=1.

所以λb2-x20=λy20，b2-y20=x20λ.

將結果代入（2）式，得到λ2y20k2+2λx0y0k+x20=0，

也即（λy0k+x0）2=0，所以k=-x0λy0.

可以看出：過焦點在x軸上的標準橢圓上異于長軸端點外的任意一點所做橢圓的切線的斜率與坐標有關，也與a2，b2的比值有關系.

在結論1和結論2的支持下，我們來證明性質1就不難了.

因為a>b>0，a2b2=λ，所以橢圓方程即x2λb2+y2b2=1，

P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上異于長軸、短軸端點外的任意一點，

所以由結論2，過P所做橢圓的切線的斜率k=-x0λy0，所以1k=-λy0x0.

焦半徑PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，所以由結論1得：1k1+1k2=2x0y0，

由上面的結果，容易得到：1k1k1+1k2=-λy0x02x0y0=-2λ，性質1得到證明.

有些與直線和圓錐曲線的位置關系有關的題目中，經常進行一些類似的定量計算，如2013年高考山東卷理科數學試題22題第三問，就考查了如下問題：

橢圓C：x24+y2=1的左右焦點分別為F1，F2，P（x0，y0）為其上異于長軸端點外的任意一點，過點P做斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個交點.設PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明：1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

可以看出，這是以上性質的特殊情形，單從結論的角度，不難得到：a2=4，b2=1，λ=a2b2=4，所以1k（1k1+1k2）=-2λ=-8.計算過程參照定理的證明，不難得到結果.

如果橢圓是中心在原點，焦點在y軸上的標準橢圓，模仿以上結論，進行以上步驟的計算研究，不難得到上面定理的另一種形式下的結論： 圖2

性質2 如圖2，若P（x0，y0）為橢圓y2a2+x2b2=1（a>b>0，a2b2=λ）上異于長軸、短軸端點外的任意一點，F1，F2為橢圓的兩焦點，如果兩焦半徑PF1，PF2的斜率存在且分別為k1，k2，設過P（x0，y0）的橢圓的切線l的斜率為k，則k（k1+k2）為定值，且定值為-2λ.

定理2的算式部分形式與定理1稍有區別，但最后的結果完全一樣.證明過程與定理1的證明類似，從略.

綜合性質1和性質2，可以看出，它們的共同特點是：結果形式簡單，關系直接明確，易于理解掌握，便于實踐應用.

圓錐曲線的學習過程中，老師們經常會遇到大量的涉及直線和圓錐曲線的定量運算的題目，解答這些題目的過程中，多加用心反思和對比，也許就會發現一些隱藏其中的有用的規律，規律的探索過程和成就感也是數學美的重要方面吧.

參考文獻

[1] 楊云顯，孟艷雙.直線和橢圓相交狀態下的一個通用性質[J].中國數學教育，2012（6）：21-22.

作者簡介 莊志剛，男，山東青島人，1966年9月生，中學高級教師，主要從事高中數學教育教學，曾獲全國教研工作先進個人，在各類刊物發表十幾篇論文;楊云顯，男，山東即墨人，1971年6月生人，中學高級教師，主要從事高中數學教育教學，曾獲青島市教學能手，在各類刊物發表多篇論文.