集合的運算性質及應用

王戶世

我們知道集合的運算是指集合的交集，并集和補集，本文給出有關集合的交、并、補的一些性質，并舉例應用.

1 性質的給出及證明

證明 集合B除了必含有am+1，am+2，…，an這n-m個元素外，還可以含有a1，a2，…，am這

m個元素中t個（t=0，1，2，…，m），所以集合B相當于在集合{a1，a2，…，am}的每個子集中添加am+1，am+2，…，an這n-m個元素而得到的，因此集合B的個數相當于求{a1，a2，…，am}的子集數，故集合B有2m個.

性質6 M{a1，a2，…，an}，且M∩{a1，a2，…，am}≠（m≤n），則這樣的集合M有2n-m個.

證明 因為M∩{a1，a2，…，am}≠，不妨設M∩{a1，a2，…，am}={a1，a2，…，ak}，其中

k≤m，可知集合M中必含有元素a1，a2，…，ak且不含有元素ak+1，ak+2，…，am，另外M中還可以含有am+1，am+2，…，an這n-m個元素中t個（t=0，1，2，…，n-m.），所以集合M相當于在

{am+1，am+2，…，an}的每個子集中添加a1，a2，…，ak這k個元素而得到的，因此集合M的個數相當于求{am+1，am+2，…，an}的子集數，故集合M有2n-m個.

性質7 滿足A∪B={a1，a2，…，an}的有序集合對（A，B）有3n組.

證明 記M={a1，a2，…，an}.

（1）當A=時，由A∪B=M，知B=M，這樣的（A，B）只有1組.

（3）同理當A只含有M中2個元素時，（A，B）有22C2n組.

……

當A=M時，（A，B）有2nCnn組，由分類計數原理知，（A，B）共有

1+21C1n+22C2n+…+2nCnn=（1+2）n=3n組.

性質8 若A，B{a1，a2，…，an}=U，且滿足A∩B={a1，a2，…，ak}（k≤n），則有序集合對（A，B）有3n-k組.

證明 由條件知A，B中都必須含有a1，a2，…，ak這k個元素，記M={ak+1，ak+2，…，an}，M中有t=n-k個元素，下面就A中其它元素（但必在M中）的個數進行討論.

（1）當A含M中零個元素時，A={a1，a2，…，ak}，A只有1個，即C0t個，

由A∩B={a1，a2....ak}，知B中除了a1，a2，…，ak這k個元素之外，B還可以含M中

若干個元素，B的個數相當于M的子集數，因此B有2t個，由分步計數原理知這樣的有序集合對（A，B）有C0t2t組.

（2）當A含有M中1個元素時，A有C1t個，因A∩B={a1，a2，…，ak}，這時B中可含有

M中其它任何元素（除A所含的）若干個，所以B有2t-1個子集，由分步計數原理知有序集合對（A，B）有C1t2t-1組.

（3）同理當A只含有M中2個元素時，有序集合對（A，B）有C2t2t-2組.

當A含有M全部元素時，（A，B）有20Ctt組，

……

由分類計數原理知，有序集合對（A，B）共有

C0t2t+C1t2t-1+C2t2t-2+…+Ctt20=Ctt2t+Ct-1t2t-1+Ct-2t2t-2+…+C0t20=（1+2）t=3t組，即有序集合對（A，B）共有3n-k組.

2 性質的應用

例1 已知B={xx2-x=0}，則滿足A∩B=A的集合A有個.

解 因為B={xx2-x=0}={0，1}，由性質1知：A∩B=AAB={0，1}，而B有4個子集，即A有4個.

點評 當題設中有A∩B=A，A∪B=B時，要注意用上述性質1，2把條件等價轉化.

例2 已知M={yy=x2+1，x∈R}，N={yy=x+1，x∈R}，那么M∩N=，M∪N=.

解 因為y=x2+1y≥1，所以M={yy≥1}，又因為y=x+1y∈R，所以N=R，MN，由性質1，2知M∩N=M;M∪N=N.

點評 熟練地運用性質1，2可以化簡集合的運算，提高解題的速度及準確性.

點評 已知集合A∩B，確定集合對（A，B）時，注意用性質8.

以上可知在集合的交集，并集運算中，熟練運用上述性質解題，簡潔明快，作為對課堂學習的補充與提高，請同學們記住并能熟練運用以上8條性質.