正方體中三棱錐的三視圖研究

1 問題背景

三視圖問題是新課改后高考必考內容，試題的類型也在不斷的變化和創新.正方體和三棱錐是關于三視圖試題中的兩個重要的模型，結合這兩個模型構造、設計出了很多新穎別致的試題.比如：（2013年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學（理））一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），若畫該四面體的三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）.

通過對該試題的解答，會產生哪些啟發和聯想呢？

2 問題解答

首先，根據題意在空間直角坐標系中構造出四面體A-B1D1C的的圖形;

其次，為了便于研究這個四面體的三視圖，將四面體的圖形進行補充，補充出如圖1所示的四面體的各個頂點都在正方體

ABCD-A1B1C1D1的頂點;

圖1 圖2

第三，做該四面體三視圖中的正視圖時，以平面zOx為投影面，做出四面體A-B1D1C在正方體的正視圖為ADD1A1.如圖2所示，答案A.

感悟：當我們將四面體A-B1D1C放在正方體ABCD-A1B1C1D1中時，以平面zOx為投影面的正視圖ADD1A1很容易被找到，之所以容易就是因為找到了正方體這個模型，結合這個模型再找它的三視圖就變得容易了.結合這個模型還會得到哪些三視圖的結論呢？

3 問題模型

3.1 提出問題

以正方體的頂點為三棱錐的頂點構成的三棱錐的三視圖會是什么樣的圖形？

為了研究問題的方便，以下的涉及三視圖的問題都是在滿足：平面zOy為正視圖的投影面，平面xOy為俯視圖的投影面，平面zOx為左視圖的投影面的條件下進行的.

3.2 分類解答

類型1 正方體中相交于同一點的三條棱構成的三棱錐.

如圖3所示，在正方體中，相交于同一點的三條棱構成的三棱錐因為頂點的位置的不同應該有8個.在這8個三棱錐中，每個三棱錐的三視圖（如圖4所示）都是三個全等的等腰直角三角形.

圖3 圖4

類型2 正方體中成異面直線的兩條棱的四個端點構成的三棱錐.

在正方體中，由成異面直線的兩條棱的四個端點構成的三棱錐共有16個.這16個三棱錐的三視圖也是全等的等腰直角三角形.例如，由成異面直線的棱AD，A1B1的頂點構成的三棱錐如圖5所示，與成異面直線的棱D1D，A1B1的頂點構成的三棱錐，如圖7所示，具有完全相同的三視圖.如圖6、8所示.

圖5 圖6圖7 圖8

類型3 正方體中成異面直線的一條棱與正方體的一條面對角線構成的三棱錐.

在正方體中，成異面直線的一條棱與一條面對角線構成的三棱錐有兩類：一類是和棱相交的側面的對角線與棱構成的三棱錐.例如，如圖9所示，A1B1，BC1四個頂點構成的三棱錐.此類三棱錐與類型1中的由同一頂點出發的三條棱構成的棱錐完全相同.如圖10所示，此類三棱錐的三視圖為三個全等的等腰直角三角形.

圖9 圖10圖11 圖12

另一類是和棱平行的平面內的對角線與棱構成的三棱錐.例如，如圖11所示，A1B1，AC四個頂點構成的三棱錐.如圖12所示，此類三棱錐的三視圖中有一個正方形和兩個全等的等腰直角三角形.

類型4 正方體中成異面直線的一條棱與正方體的一條體對角線構成的三棱錐.

在正方體中，成異面直線的一條棱與正方體的一條體對角線構成的三棱錐共有24個.

圖13 圖14

例如，如圖13所示，棱A1B1和體對角線AC1的頂點構成的三棱錐的三視圖為三個全等的等腰直角三角形，如圖14所示.同樣其他的三棱錐構成的三視圖也是三個全等的等腰直角三角形.

類型5 正方體中成異面直線的兩條面對角線構成的三棱錐.

在正方體中，成異面直線的兩條面對角線構成的三棱錐分成兩類：

一類是兩個面對角線在相交的兩個面中，如圖15所示，此類的面對角線的頂點構成的三棱錐和一條棱與一條面對角線構成的棱錐是一樣的.如圖16所示，此類三棱錐的三視圖是三個全等的等腰直角三角形.

圖15 圖16圖17 圖18

另一類是兩個面對角線在兩個互相平行的平面中，如圖17所示，此時構成的三棱錐的三視圖是三個全等的正方形，如圖18所示.特別要注意三視圖中正方形內部兩條對角線的虛實.

類型6：正方體中成異面直線的面對角線和體對角線的頂點構成的三棱錐.

圖19 圖20

在正方體中，成異面直線的面對角線和體對角線的頂點構成的三棱錐一共有24個，如圖19所示.如圖20所示，這樣的三棱錐的三視圖是兩個全等的等腰直角三角形和一個正方形.這種三棱錐構成的三視圖是唯一一種既有直角三角形，又有正方形的三視圖.

3.3 規律總結

通過以上各類不同三棱錐的三視圖發現，由正方體的頂點為頂點的各種不同類型的三棱錐的三視圖具有下列特點：

第一，構成三視圖的圖形為等腰直角三角形或正方形.

第二，構成三視圖的等腰直角三角形都全等.

第三，構成三視圖的正方形的兩條對角線都存在，且一個虛線，一個實線.

第四，構成三視圖的等腰直角三角形或正方形的邊長都相同.

第五，只有以面對角線和體對角線端點為頂點構成的三棱錐的三視圖才能使等腰直角三角形和正方形同時存在.

第六，只有互相平行的面對角線構成的三棱錐的三視圖才都是正方形.

4 問題拓展

拓展1：在棱長為1的正六棱柱中，若以棱柱的四個頂點為頂點構造三棱錐，則三棱錐的三視圖有哪些圖形？這些圖形之間有什么關系？

拓展2：如果將棱長為1的正四面體水平放在xOy所在的平面內，且水平旋轉正四面體，使底面的棱與y軸分別成0，π6，π4，π3，π2角時，那么正四面體在zOy所在的平面的投影面的正視圖是什么圖形？

綜上所述，研究三棱錐的三視圖問題往往需要找到三棱錐所在的幾何模型，而正方體恰恰是高中數學中立體幾何教學的一個重要的模型，很多問題通過正方體模型進行研究都會有事半功倍的效果.通過研究在正方體中三棱錐的三視圖具有的特點，可以發現其三視圖具有的變化規律.同樣研究其他基本的幾何體中的三視圖問題會發現新的特征.因為關于三視圖的很多問題通過正方體模型研究后會變得輕松容易，所以進一步拓展其他幾何模型中的三視圖問題會有效拓展學生思維的空間.因為三視圖問題是立體幾何中一個重要的概念，在歷年高考中關于三視圖的試題都有體現，所以將正方體中的三棱錐模型化可以有效地培養學生的空間想象能力，提高學生解答高考試題的能力.同樣，通過將三視圖具有的特征和原幾何模型對照研究會有效地提高學生分析問題、解決問題的能力.通過對不同類型的分類處理，可以有效培養學生的邏輯推理能力.

作者簡介 王恩賓，男，1963年生，遼寧沈陽人，碩士，中學高級教師，沈陽市骨干教師，沈陽市名師（學科帶頭人），沈陽市教師資格認定組組長，沈陽市高中數學教研員.主要從事高中數學的教學研究、數學考試評價研究.