談談全稱量詞與存在量詞

馬艷

量詞包括全稱量詞與存在量詞兩種，前者是指“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞，通常用符號“x”表示“對任意x”;后者是指“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞，通常用符號“x”表示“存在x”.全稱量詞和存在量詞是新課程高考的必考內容，考查方式十分靈活、多樣，而且可以和其他知識交匯綜合考查.下面就教學中的案例四則，來說明一下全稱量詞與存在量詞的考查方式.

1 準確地利用量詞敘述數學內容

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，表示為“x∈M，p（x）”;含有存在量詞的命題稱為特稱命題，表示為“x∈M，p（x）”.這里M為給定的集合，p（x）是一個關于x的命題（結論）.我們要能區分全稱命題和特稱命題，并能判斷其真假.

例1 （2013·新課標Ⅰ高考）已知命題p：x∈R，2x<3x;命題q：x∈R，x3=1-x2，則下列命題中為真命題的是（ ）.

A.p∧q B.p∧q

C.p∧q D.p∧q

解析 對于命題p：取x=-1，可知為假命題，命題q：令f（x）=x3+x2-1，且f（0）·（1）<0，故f（x）有零點，即方程x3+x2-1=0有解，q：x∈R，x3=1-x2為真命題，選項A，p∧q為假命題，錯誤;選項B，p∧q為真命題，正確;選項C，p∧q為假命題，錯誤;選項D，p∧q假命題，錯誤.故選B.

點評 要判定一個特稱命題為真，只要在M中找到一個元素x，使p（x）為真，否則命題為假;要判定一個全稱命題為真，必須對給定集合中的每一個元素x，證明p（x）都為真，但事實上要判定一個全稱命題為假，只需在給定的集合內找出一個x0，使p（x0）為假即可.

2 正確地對含有一個量詞的命題進行否定

一般地，全稱命題的否定是：全稱量詞變為存在量詞，且將結論否定，即“x∈M，p（x）”的否定為“x∈M，p（x）”;特稱命題的否定是：存在量詞變為全稱量詞，且將結論否定，即“x∈M，p（x）”的否定為“x∈M，p（x）”.

例2 （2013·四川高考）設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集.若命題p：x∈A，2x∈B，則（ ）.

A.p：x∈A，2x∈B

B.p：xA，2x∈B

C.p：x∈A，2xB

D.p：xA，2xB

解析 根據題意可知命題p：x∈A，2x∈B的否定是p：x∈A，2xB，故選C.

點評 不含量詞的命題的否命題是將命題的條件和結論都進行否定，如“若x=1，則x2-3x+2=0”的否命題為“若x≠1，則x2-3x+2≠0”;不含量詞的命題的否定是命題的條件不變，只將結論進行否定，如“若x=1，則x2-3x+2=0”的否定為“若x=1，則x2-3x+2≠0”.實際上這里x=1可以寫成x∈{xx=1}或x∈{xx=1}，其意義不會發生變化，只是因為沒有可選擇變化的余地、范圍，再加上量詞就顯得多此一舉.

3 充分地發揮含有一個量詞的命題的否定在解題中的功能

對于有些數學問題，如果能靈活地將全稱命題與特稱命題進行相互轉化，則往往能使問題化難為易，迎刃而解.

例3 若二次函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]內至少存在一點c，使得f（c）>0，則實數p的取值范圍為 .

解析 若二次函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]內任意一點c，總有f（c）≤0，則f（-1）≤0，

f（1）≤0，，解得p≤-3，或p≥32，故原題所求p的范圍為-3，32.

點評 本題題設屬特稱命題，若直接求解，則需分類討論，頭緒繁多，操作困難.于是不妨考慮其否定：若二次函數f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區間[-1，1]內任意一點c，總有f（c）≤0，求得此情形下實數p的取值范圍，然后得出結論.

4 準確地把握全稱量詞和存在量詞的區別和聯系

有些數學問題中既有全稱量詞又有存在量詞，要能分清層次關系，理解本質.

例4 （2014·濟南模擬）已知函數f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，函數g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，其中常數a≥1.若對x1∈[0，1]，總x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，則a的取值范圍為 .

解析 f（x）=4（2-x）+92-x-16，可以求得f（x）的值域為[-4，-3];

g′（x）=3x2-3a2=3（x+a）（x-a）且a≥1，從而g（x）在0，1上單調遞減，所以g（x）的值域為[1-3a2-2a，-2a].

依題意得f（x）的值域為g（x）值域的子集，

所以-4≥1-3a2-2a，

-3≤-2a，

a≥1，得1≤a≤32.

答案：1，32

點評 不難發現，對某個給定的x1，總x0∈0，1，使得g（x0）=f（x1）成立等價于f（x1）是函數g（x），x∈0，1值域中的一個元素.于是，不難理解，對x1∈0，1，總x0∈0，1，使得g（x0）=f（x1）成立等價于f（x），x∈0，1的值域為g（x），x∈0，1值域的子集.

在高中階段，對于兩種量詞的教學，不追求形式化的定義，否則對于學生來說很難理解，況且課時也不允許.教學中應當以案例為主開展教學活動，注意引導學生通過對案例的分析，正確掌握量詞的用法，理解它們的含義，糾正出現的邏輯錯誤，體會運用常用邏輯語言表述數學內容的準確性、簡潔性.