也談函數的零點問題及解法

文[1]指出函數零點問題的類型及解決方法，并給有簡潔、到位的點評;從問題的具體特征出發，選擇恰當的解題策略，使問題解決能更簡便、準確.

1 水盡疑無路

筆者根據題型一的解法求解題1（2011年山東卷理16題）：

已知函數f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），當2<a<3<b<4時，函數f（x）的零點x0∈（n，n+1），n∈N*.則n= .

解答明顯是“小題大做”，且計算過程繁瑣;題解過程也不顯有優勢.頓生疑惑：為何不能順利解決？

2 花明又一村

探究發現，利用零點的存在性定理解決該類問題，特別是零點所存在區間的這類開放性問題時，應適當輔以數形結合思想，如此才能使區間的確定更直觀自然、快捷準確.

題1可以如下分析：將問題轉化為方程logax=-x+b的根所在區間問題，若令g（x）=logax，h（x）=-x+b，從而就可以轉化為函數y=g（x）與y=h（x）圖像交點問題.簡圖如圖1：

圖1

由圖可知零點在（1，3）中，另得f（1）<0，f（2）<0，f（3）>0;故可得函數的零點x0∈（2，3），即n=2.

簡評 針對這類函數零點存在的區間問題，利用數形結合思想將函數對應的方程進行恰當變形，構造出相對簡單的兩個常見函數.然后繪出兩端的函數圖像，通過這兩個函數交點的情況來判斷，使得復雜的零點存在區間問題簡單化.

另反思文[1]中題型五根據零點求參數，采用分離變量的常規處理方法，將含參的復雜函數f（x）的零點問題，巧妙借零點與根之間的關系等價轉化.

文中例5：（2011年遼寧卷文第16題）已知函數f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是 .

解題思路是：f（x）=ex-2x+a的零點可以轉化為ex-2x+a=0的根的問題，從而最終等價轉化為a=-ex+2x的存在性問題.

若借鑒題1的解法，函數f（x）=ex-2x+a有零點方程ex-2x+a=0有實根函數y=ex與y=2x-a圖像有交點.借圖2：

圖2

分析可得：若直線l：y=2x-a0與y=ex相切于P（x0，y0），利用導數可求其切點P的坐標，不難求得是（ln2，2）;此時-a0=2-2ln2，得a0=-2+2ln2.

根據圖2可以判斷只要在y軸上的截距-a≥-a0，就可得兩函數圖像必然有公共點;即a≤2ln2-2為所求.

類似文[2]中二次函數在有限開區間內的零點問題，高考常有所考查;也可以利用上述的思路解答.有興趣的讀者可以研究2009年全國高等學校招生統一考試數學浙江卷理科第22題第（Ⅰ）問的具體的解題過程，在此不作贅述.

3 更上一層樓

零點問題是高考的熱點問題，常出現于涉及利用函數的導數研究單調性的問題中;是每年的必考知識點.要確定區間上導函數的正負，則導函數的零點是關鍵.而有時導函數對應的方程是一個超越方程，高中生的知識能力水平，非常規方程的根求而不得;這種“隱零點”問題，可以單獨作為一種重要的函數零點的問題類型.“隱零點”問題常規的處理方式是：一階求導求不到，借高階研究;或者是設而不求，適時回代.筆者選例2013年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學理21題（Ⅱ）問：已知函數f（x）=ex-ln（x+m），（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.

解答如下：當m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2）.故只需證明當m=2時，f（x）>0.

當m=2時，函數f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上單調遞增;又f′（-1）<0，f′（0）>0，故f′（x）=0在（-2，+∞）有唯一實根x0∈（-1，0）.

當x∈（-2，x0）時，f′（x）<0，當x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0;從而當x=x0時f（x）取得最小值.

由此得ex0=1x0+2ln（x0+2）=-x0，故f（x）≥f（x0）=1x0+2+（x0+2）-2≥0

綜上可證明：當m≤2時，f（x）>0.

簡評 導函數存在零點即方程存在實根，但是無法求解出;故先暫且設而不求，等到求最值時，代入替換達到預期的證明效果.

零點是函數部分的?？贾R點，厘清問題類型，針對性突破，使解題有的放矢;但也不可思維定勢，限制了學生數學思維的靈活性.高考注重對學生數學思維能力的綜合考查，學生只有通過解題后反思、探究、總結，才能對知識點理解透徹、方法掌握靈活、解題融會貫通、智能獲得提升;從而獲得處理問題的數學思想，提高思維的嚴密性、靈活性和創造性.

參考文獻

[1] 梁建.零點問題的類型及解決方法[J].中學數學（上），2014（3）：45-46.

[2] 楊華.二次函數在有限開的區間內有零點的條件[J].中學數學教學參考（上旬），2013（6）：44-45.

作者簡介 衛小國，男，1979年1月生，湖北武漢人，中學一級教師.主要研究解題教學、自主招生試題解法和高中數學建模.