簡潔更需嚴謹

1 問題提出

題目1 已知定義域為R的函數f（x）=

-2x+b2x+1+a是奇函數，求a，b的值.

文[1]給出了如下的解答.

方法1：因為f（x）是定義域為R的奇函數，所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即b-12+a=0，b-121+a=-b-24+a，聯立兩式解得b=1，a=2.

方法2：因為f（x）是定義域為R的奇函數，所以f（0）=0，即b-12+a=0，所以b=1.從而f（x）=1-2x2x+1+a.又f（-x）=-f（x），得1-2-x2-x+1+a=-1-2x2x+1+a，整理得（2-a）（1-2x）=0，這個等式對一切x∈R成立，

所以有2-a=0，即a=2.

評析 文[1]指出方法1直接利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），得到方程組來進行求解，簡化了計算.但筆者認為，方法1看似簡潔，實際上極不嚴謹.

2 錯誤分析與糾正

從f（x）是定義域為R的奇函數，當然能得到f（0）=0，f（-1）=-f（1），但反過來，若f（0）=0，f（-1）=-f（1），能得到f（x）是定義域為R的奇函數嗎？顯然不行.“f（x）是定義域為R的奇函數”是“f（0）=0，f（-1）=-f（1）”的充分不必要條件.所以若利用方法1求解，還沒有結束，需要檢驗b=1，a=2時，f（x）是定義域為R的奇函數.過程如下：

當b=1，a=2時，f（x）=-2x+12x+1+2.

因為f（x）+f（-x）=-2x+12x+1+2+-2-x+12-x+1+2=-2x+12x+1+2+-1+2x2+2x+1=0.

所以有f（-x）=-f（x）.從而f（x）是奇函數.所以b=1，a=2.

至于方法2，同樣也需要檢驗.

當然，題目1也可以采用定義法做，這樣看似繁瑣，卻可以避免檢驗，也可鍛煉解題者處理帶字母的運算能力.具體過程如下：

因為f（x）是定義域為R的奇函數，所以a≥0，且對于任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），從而f（x）+f（-x）=-2x+b2x+1+a+-2-x+b2-x+1+a=0，整理得：（2b-a）22x+（2ab-4）2x+（2b-a）=0，對于任意的x∈R成立.所以2b-a=0

2ab-4=0，又因為a≥0，所以得b=1，a=2.

3 類似錯誤的延續

3.1 一次隨堂聽課中的問題

在一次推門聽課中，上課教師這樣評價了學生的解題過程.

題目2 已知f（x）=x3+ax2+3x-9，若f（x）在x=-3時取得極值，求a的值.

學生說，先求導f′（x）=3x2+2ax+3，因為f（x）在x=-3時取得極值，所以f′（-3）=0，即30+6a=0.從而得a=-5.教師對學生的回答評價是：“很好，很簡潔.”然后就繼續處理另一個問題了.

評析 由于“f（x）在x=-3時取得極值”是“f′（-3）=0”充分不必要條件，因此上述解答，也未結束.還需要檢驗在x=-3左右的導數值是否異號.此題學生所犯的錯誤與文[1]中對題目1的解法錯誤的本質是相同的，但教師的評價，無疑會助長學生處理問題的不嚴謹.

3.2 教材中的一處商榷

教材[2]，[3]中對于橢圓標準方程的推導過程，筆者認為就有不嚴謹之處.先摘錄如下（為了方便說明，筆者給每個方程加了序號）：

以經過橢圓兩焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy.

設M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c>0），那么焦點坐標F1，F2分別為（-c，0）和（c，0）.又設M到F1，F2的距離的和為2a.

由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

因為|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2，

所以

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a. （1）

為化簡這個方程，將左邊的一個根式移到右邊，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，（2）

將這個方程兩邊平方，得

（x+c）2+y2=

4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2，（3）

整理得

a2-cx=a（x-c）2+y2， （4）

上式兩邊再平方，得

a4-2a2cx+c2x2=

a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， （5）

整理得

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），（6）

兩邊同除以a2（a2-c2），得

x2a2+y2a2-c2=1. （7）

之后，教材中通過引入字母b，就給出了橢圓方程的標準形式.

評析 事實上，這樣的公式過程并沒有結束.方程（7）與原方程（1）是否同解，并未給出解釋.而在方程的變形過程中經歷了兩次平方處理，這顯然有可能破壞了方程的同解性.所以還需要進一步說明兩次平方前后的方程是否同解.可作如下的補充：

先說明方程（4）與（5）是否同解.方程（5）同解于方程.

a2-cx=a（x-c）2+y2和a2-cx=-a（x-c）2+y2.

由方程（5）的同解方程（6）可知|x|≤a.又因為a>c>0，所以a2-cx>0，說明上式的第二個等式為矛盾等式.因此方程（4）與（5）同解.類似的，可以說明方程（2）與（3）也同解（本文從略）.當然也可根據學情說明檢驗從略，但是絕不能一字不題，就過去了.否則會為學生在以后求解無理方程時，不驗根導致錯誤，埋下錯根.

4 關于錯解的思考

從報刊雜志、教師的課堂評價到教材都出現了這些看似簡潔，實則不嚴謹的錯誤.引起了筆者深入的思考.

41 錯誤的原因

首先是對答案的急功近利的追逐.題目1與題目2的錯解中，結果是正確的，但這也只是碰巧.若將題目1改為“若f（x）=lg（2x1+x+a）（a∈R）是奇函數，求a的值.”或“已知函數f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函數，求a+b的值”.若按題目1的錯解處理方法，改后的第一個題目就只能得到一個錯解，而后一個題目又會出現增解.若將題目2改為“已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值10，求a的值”，若按照處理題目2時，那位教師和他的學生們采用的方法，就會導致增解，產生錯誤.對答案的一味追逐，無疑助長解題者偶爾做“對”的欣喜，結果對了就行，恕不知，錯誤就掩蓋在正確的結果中，下次按同樣的方法去解，答案正確與否，就很難說了.

其次是對相關數學知識的不求甚解，乃至一知半解.教什么永遠比怎樣教更重要，數學教師帶著對相關數學知識的誤解，如何能教好學生.題目1與題目2錯解的實質是一樣的，即在推理的過程中，把上條件是下條件的充分不必要條件誤認為是充要條件了.

最后是嚴謹性和可接受性的矛盾.編寫教材的專家學者當然知道，給學生展現的橢圓標準方程的推導過程是欠嚴謹的，可能是出于對學生可接受性的考慮.但筆者認為，即便如此，也應注明“檢驗從略”.

4.2 類似錯誤的糾正策略

第一，要有數學學科意識.數學學科有別于其他學科，數學要求步步有據，這才能保證結果是正確的，無容置疑的.不論是學生，還是教師只有具有這種數學學科的理性精神，才可能學到真數學，而不是一個所謂的正確答案.

第二，要理解真數學.解題時，理解每一個相關概念，原理.用正確的方法和原理來指導解題才是學到了真數學.當然這里不是反對猜想、特殊化等解題方法，但是非理性必須得給出理性的解釋.

第三，要積累一些錯誤解法的反例，通過反例教學增強學生的“免疫力”.正例的作用很重要，反例的作用有時會更為有效，通過一個例子說明一些錯誤的解法，往往具有較好的效果.

有時，看似簡潔的解法，卻掩蓋了嚴重的邏輯漏洞.嚴謹性是數學學科的重要特征，我們在處理數學問題時，必須步步有據，絕不能含含糊糊過去.

參考文獻

[1] 劉祥.基本初等函數（I）[J].數學通訊，2013，（1-2）（上）：86-87.

[2] 單墫.普通高中課程標準實驗教科書（選修2-1）[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[3] 劉邵學.普通高中課程標準實驗教科書（選修2-1）[M].人民教育出版社.2007.

作者簡介 仝建，男，1980年生，安徽靈璧人，中學一級教師，主要從事數學課堂教學理論與實踐研究.