“倍”的建模教學

吳月珠

兩數之間的倍比關系，主要包括：整數倍、小數倍、分數（表示率）、百分數、比等，是小學數學教學的重點也是難點。這類教學要高效，必建模。下邊，我以人民教育出版社小學數學三年級《倍的認識》的第一課時為例，談“倍”的建模教學。

人民教育出版社小學數學三年級《倍的認識》的第一課時是“整數倍”的學習，是學生第一次學習兩數之間的倍比關系。今后學習的小數倍、分數（表示率）、百分數、比等內容，都可以看作是本節課的教學內容的擴展。所以，這個課時的建模教學是兩數之間的倍比關系建模教學的基礎，決定著這個知識網絡建構的成敗。我將從本節課教學過程中的課堂實施、素材選擇、基本模型的表述設計三個方面談“倍”的建模教學。

合適的學習起點、明確的操作要求、清晰的思維方法、足夠的模型表象、科學的比較辨析是建模教學的重要手段，下面，通過三年級《倍的認識》的第一課時“整數倍”的課堂實施談這些手段的落實方法：

一、用舊模型建立新模型，找準模型建設的起點

孩子們在一年級學習“比多比少”的時候，掌握了比較兩數的方法，也建立了“同樣多”的模型。此學習方法和模型與倍的認識一脈相承，我們選擇從這里起步。

二、教給操作方法，實現全員獲得基本活動經驗的目標

“同樣多”的復習，主要是為幫助學生初步感知標準，并回憶比較的方法。上圖顯示的環節則是教給學生操作方法，并在教師引領下第一次通過口述，經歷模型建設的四步曲：1. 花蝴蝶的數量和黑蝴蝶比；2.花蝴蝶有3只，以花蝴蝶的數量為1份；3.通過圈一圈，知道黑蝴蝶里有“2個3只”；4.黑蝴蝶的只數是花蝴蝶的2倍。

這樣的操作、口述設計，讓觀察、比較方法變成顯性，便于學生自查和模仿，更有利于全員積累基本的活動經驗。操作是為了發現規律，為避免學生成為“操作工”，我們在一開始通過言傳身教、同學榜樣的方法讓學生以表述為抓手，為將基本活動經驗內化思想方法邁出堅實的一步。

其后，花蝴蝶的只數不變，黑蝴蝶的數量疊加至9只、12只，讓孩子們通過“自己劃一劃，圈一圈，想一想”和“同桌互相說一說你的做法和發現”的練習，讓學生獨立思考、同位互助，再歷兩次基本模型的構建過程。花蝴蝶和黑蝴蝶數量的3次比較，學生初步感知2、3、4倍的意義。

三、設計一定數量的基礎訓練，為“倍”的模型積累表象

以上3道練習都是基礎練習，我們從具體情境走向了不同的圖形，從第一行的圖形和第二行的圖形相同，走向第一行的圖形和第二行的圖形不相同，從按幾個幾分開排列到間距相等的圖形分開排列的，旨在豐富感性材料的變化，讓學生通過操作、表述，從多側面、多維度、全方位感知兩組數量間的倍數關系，為“倍”的模型的準確構建提供可能。

四、類比辨析，抽象模型

這是基礎練習后的的類比辨析環節，其目的是要在具體素材中初步抽象出“倍“的模型。我們從2個2、2個3、2個4，拓展到2個5，2個6，……，從具體的、能數出來的圖形到以集合的形式表示的圖形，讓學生在大概5分鐘內經歷了小組討論、師生互動，最后讓學生體會：

通過類比辨析，學生從不斷變化的素材、數量、形式等感性材料中找到不變的規律，半具體、半抽象模型雛形逐步抽象出來。

五、對比辨析，凸顯實質

學生在解決兩數之間的倍比關系的問題時，我們經常責怪學生審題不認真，總被紛繁復雜的素材所迷惑而找錯標準。但是，錯誤產生的根源是教學本身。回顧這類課的教學，在“倍”建模之初，我們表征模型時總是給學生大量似是而非的規律。如標準量都擺在第一行，物體的擺放按“幾個幾”組合、甚至總結出“大數÷小數=倍數”等。基于此，我們在課堂的后半段，基本模型逐漸建立起來的時候，設計三個不同層次練習，通過制造沖突，讓學生的思維受到碰撞，使模型經歷了一次又一次更深層次打磨，實現去其表面，凸顯實質的目標。

本題的設計，在排列和組合上都作出了變化：不再是簡單的第二行和第一行比；不再是有幾個組合，結果就說一個量是另一個量的幾倍。解決問題二時出現了一個珍貴的錯例：桃子的個數是梨的（6）倍，因為看到桃子有6堆（6個3），就說桃子的個數是梨的（6）倍。這正凸顯了我們前面的教學設計的問題：素材的排列組合一直有著這樣的規律，這是一個“偽真理”。

在辨析真偽的過程中，學生重新經歷解決倍比問題的四步曲：一是去除無關信息，找到比較的兩個量，二是明確以多少為一份，三是觀察第二個量有幾個這樣的一份，四是確定第二個量就是標準量的幾倍。在這里，我們重點做兩個對比：錯例與正解對比，體會：找準“1份數” 很重要，不要輕易受表象所迷惑；問題二與問題一的解決過程做對比，學生體會：問題在變化，但是解決問題的方法不變。這是“倍”的模型的第二次抽象，解決問題的思想方法在比較中逐步凸顯。

以上這題練習旨在去除排列組合的限制，幫助學生丟掉“劃一劃，圈一圈”的拐棍，直接通過觀察、比較、思考，經歷一次“倍”的模型建設的內部運動。實踐證明，經過幾輪的沖擊，模型建立也牢固起來了，大部分學生掌握了解決問題的基本步驟，在看起來雜亂無章的素材中，按照以上描述的“四部曲”順利地解決了問題。

上面這組練習已經是應用模型解決問題的訓練，“倍”的模型的呈現正嘗試突破排列、突破數量、突破形式去呈現求幾倍量和標準量的問題，在解決不斷變化的問題中使用建立起來的“倍”的模型，使學生進一步熟悉模型，為以后用“不變的模型”去解決“萬變的問題”做好準備。

為保證課堂實施的有效性，我們還在素材的選擇和思想方法的表述方面進行了再設計。

素材組織方面，我們以《爸爸去哪兒》為主線，以游覽蝴蝶谷、圖形王國、百果園、糖果樂園來貫穿全課；素材的選擇方面：新授部分以紅蝴蝶、藍蝴蝶數量比較為素材，基礎練習部分以圓、五角星、三角形、正方形的數量比較為素材，變式練習部分以蘋果、梨、桃、香蕉等水果的數量比較為素材，應用部分則以畫小棒為素材，放棄了人教版教材中南方孩子不熟悉的素材，旨在避免不必要的干擾，為調動學生學習積極性，提高課堂教學效率、夯實“倍”的模型建設奠定了基礎。

模型是抽象的，模型的建設過程是隱性的。學生需要“抓手”，借以在數學活動中獲得經驗，內化提升；教師需要“抓手”，及時檢測建模教學，調整教學策略。我們選擇了表述解決問題的思想方法作為“抓手”。表述做到了“三接軌：與操作過程接軌、與學生的話語系統接軌、與小學階段的倍比關系這個學習系統接軌。我們的表述方式是：（〓）和（〓） 比，以 （〓）的數量為1份，（〓）里有（〓）個（〓），就說（〓） 是（〓）的（〓）倍。比如，“藍蝴蝶3只，紅蝴蝶6只，紅蝴蝶是藍蝴蝶的幾倍”，可以說：（紅蝴蝶）和（藍蝴蝶）比，以（藍蝴蝶）的數量為1份，紅蝴蝶里有（2）個（3只），就說紅蝴蝶是藍蝴蝶的（2）倍。這樣的表述可以幫助學生找到思維軌跡，使無痕的思想方法變得有跡可循，對幫助學困生尤為重要。

責任編輯〓龍建剛endprint