張小春

1983年《中等數學》第4期刊登了第一屆美國數學邀請賽復賽試題，其中有這樣一道試題：“對于和它的每一個非空子集，我們定義交替和如下：把子集中的數按從大到小的順序排列，然后從最大的數開始交替地加減各數（例如1，2，4，6，9的交替和是9-6+4-2+1=6，而5的交替和就是5）。對于n=7，求所有這些交替和的總和。”

文中作者王連笑老師給出了這一道試題的相對簡單的解答。之后各地陸續出現類似考題（例如文[2]中提及的2005年地方聯考題）。文中作者劉國平老師對此題作出了多種不同的解答和分析。筆者深受啟發，筆者通過對此道試題解法地比較、研究與探索，尋求了一種更為容易推廣的解法，希望能引起讀者的興趣。

記Nn=1，2…，n，設其任一非空子集A=a1，a2…，a■k（1≤k≤n， a1>a2>…>a■k），其中ai∈Nn（1≤i≤k），記這樣的集合的交替和為σ（A）=■（-1）i-1ai，并且約定σ（？準）=0，并記所有的這樣的交替和的總和為φn=■？滓（A）。

引理〓當n？埸A時，？滓（A∪n）=n-？滓（A）.（1）

證明〓設A=a1，a2…，a■k，（1？燮k？燮n，a1>a2>…>a■k）則A∪n=n，a1，a2…，a■k。故由交替和的定義可知：？滓（A）=■（-1）■i-1ai= a1-a2+a3-a4+…+（-1）k-1a■k，而？滓（A∪n）=n-a1+a2-a3+…+（-1）ka■k=n-？滓（A）。證畢。

若令φn（x）=■x？滓（A），由引理則可得到如下定理：

定理1〓當n為非負整數時，φn（x）=■x？滓（A）=（1+x）n. （2）

證明〓易見φn（x）=■x？滓（A）+■x？滓（A）=■（x？滓（A）+x？滓（A∪{n}））=■（x？滓（A）+xn-？滓（A））=■x？滓（A）+■xn-？滓（A）=φn-1（x）+xn·φn-1（■）。所以

φn（x）=φn-1（x）+xn·φn-1（■）（x≠0），①

∴φn（■）=φn-1（■）+■·φn-1（x）（x≠0），②

∴xn·φn（■）=xn·φn-1（■）+φn-1（x）（x≠0），③

∴φn（x）=xn·φn（■）（x≠0），④

∴φn-1（x）=xn-1·φn-1（■）（x≠0），⑤

∴φn（x）=φn-1（x）+x·φn-1（x）=（1+x）·φn-1（x）⑥

由⑥式可知，當n為正整數時，φn（x）是一個首項為φ1（x），公比為（1+x）的等比數列。因為φ1（x）=■x？滓（A）=x？滓（？準）+x？滓（N1）=x0+x1=1+x，所以φn（x）=φ1（x）·（1+x）n-1=（1+x）n。

經驗證可知上式對n=0也成立。證畢。

定理2〓當n為非負整數時，φn=■？滓（A）=n·2n-1.（3）

證明〓由定理1，當n為正整數時，在（2）式兩邊對x求導后再乘x得

x·φn（x）=■？滓（A）·x？滓（A）=nx（1+x）n-1⑦

在⑦式中再令x=1得

φn=■？滓（A）=n·2n-1

經驗證可知上式對n=0也成立。證畢。

在定理2中代入n=7得φn=■？滓（A）=n·2n-1=7×27-1=448，這正是原題的解。定理1中的（2）式和定理2中的⑦式應用廣泛，通過賦值可產生有趣的結果。茲舉1例。

例〓在 （2） 式中令x=1，可得

φn（1）=■1=2n（4）

這表示Nn的子集個數有2n個。在（2）式中令x=-1，可得

φn（-1）=■（-1）？滓（A）=0〓n≥11〓n=0（5）

當n≥1時，這表示Nn的所有子集（包括空集）中，交替和為偶數的子集個數與交替和為奇數的子集個數相等；當n=0時，因為N0是空集，而σ（？準）=0，所以φ0（-1）=1。

上述定理及舉例都是在定義了一個關于集合交替和的集函數情況下進行討論和研究的結果，延續這一思路，還可定義和構造更多的集函數或者集組函數，詳細探討與研究留給感興趣的讀者。

責任編輯〓鄒韻文endprint