高中數學概念教學淺議

●徐 同 翟士杰

高中數學概念教學淺議

●徐 同 翟士杰

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。數學概念的學習一般要經過從孤立到系統、從抽象到具體、從表面到本質的過程。數學概念的教學的一般策略是創設情境，引入概念；抓住實質，理解概念；設計練習，應用概念。

高中；數學概念；教學

一、數學概念及其學習

（一）數學概念

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。在數學中，除了少量幾個最基本的概念（如：點、直線、平面、集合等等）外，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。

正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵——對象的“質”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍。一般來說，數學概念是運用定義的形式來揭露其本質特征的。但在這之前，有一個通過實例、練習及口頭描述來理解的階段。比如，兒童對自然數，對運算結果——和、差、積、商的理解，就是如此。到小學高年級，開始出現以文字表達一個數學概念，即定義的方式，如分數、比例等。有些數學概念要經過長期的醞釀，最后才以定義的形式表達，如函數、極限等。定義是準確地表達數學概念的方式。

（二）數學概念學習的一般過程

從學生學習的角度講，數學概念的形成一般要經歷以下幾個過程：

從表面到本質——理解概念的內涵與外延（如定義、名稱、例子、屬性等），把握概念的深層結構，即對概念的核心、精髓的理解與把握；

從抽象到具體——對概念的不同表現形式的具體把握，對抽象概念的生動形象描述，解讀概念的關鍵詞，把握概念的細節，掌握更多的典型、精彩的例子，即對概念的豐富細節的了解，對概念變化的把握；

從孤立到系統——對概念之間的關系、聯系的認識，通過對概念間關系的考察，從概念的聯系中把握概念的核心所在，即在概念系統中認識概念，使概念得到充分的整合，概念間聯系更加緊密，將概念組織為具有層次性、立體化的結構體系，增強概念的靈活遷移能力。

二、數學概念教學的策略

下面以“且”與“或”為例，[2]就數學概念教學的策略進行初步的思考。

（一）案例背景

《“且”與“或”》選自高中數學人教B版高中數學選修2-1第一章常用邏輯用語。邏輯是研究思維形式及其規律的一門基礎學科。學習數學需要全面的理解概念，正確的進行表述，判斷和推理，這就離不開對邏輯知識掌握和應用。在日常生活，學習，工作中，基本的邏輯知識是認識問題，研究問題不可缺少的工具。而本部分內容邏輯聯結詞又是邏輯知識的基礎，也是學生在初中數學中學習過簡單的命題知識進一步深化和推廣；不僅需要用已學過的數學知識為載體，而且需要把常用邏輯用語用于后續的數學學習中。本節重點是通過數學實例，了解邏輯聯結詞“且”與“或”的含義，能正確地表述相關數學內容。難點是簡潔、準確地表述“且”命題、“或”命題，以及對新命題真假的判斷。

（二）教學過程

1.創設情境，引入概念

教材加強概念的引入，引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程。合理設置情境，符合學生認識水平，使學生積極參與教學，了解知識發生、發展的背景和過程，使學生感受到學習的樂趣，這樣也能使學生加深對概念的記憶和理解。

片段1

教師讓學生說說命題有關的實例，從中抽取兩個語句，讓學生判斷它們是否是命題。接著教師引導學生思考如果在兩個命題中間加上一個“且”字聯結，是否是命題呢？如果在兩個命題中間加上一個“或”字聯結，是否是命題呢？引入課題。

在概念教學過程中，教師應在學生現有的知識背景、能力水平和心理特點的基礎上，給學生提供適當的范例，引導學生對實例進行觀察、比較，對概念進行假設、驗證，從而獲得正確的概念。在引入過程中調動了學生積極性，培養了勇于發現，大膽探索的精神。

2.抓住實質，理解概念

數學概念是為了解決數學問題，對概念理解不清，在解題時就會出現錯誤；對概念理解不透徹，常會遇到問題束手無策。要正確深刻地理解概念絕非易事，數學概念具有嚴密的科學性，因此概念教學應讓學生準確把握概念的內涵和外延，教師要根據學生的知識結構和能力特點，從多方面著手，適當引導學生剖析概念，抓住概念的實質。

片段2

教師引導學生發現p∧q與之前學習的集合中的交集相類似，通過類比激發學生求知欲有助于學生探究概念，理解概念。

給出新命題p∧q，注意強調重點。接著用自然語言解釋，再用此定義來解釋集合中的交集，用維恩圖來理解p∧q的意義，加深學生對p∧q的理解。接著，通過問題探究，進一步加深對用邏輯聯結詞“且”構成新命題的理解，學會如何由命題p，q的真假來判斷命題p∧q的真假。

【問題探究】

用“且”聯結下列各組命題組成新命題，并說出命題p，q和p∧q的真假：

（1）p：正方形是矩形， q：正方形是菱形；

（2）p：y=cosx是周期函數， q：y=cosx是奇函數；

（3）p：（-1）2=-1， q：3是質數；

（4）p：1g0.1＞0， q：1g11＜0。

學生分組討論，并用表格歸納說出命題p，q和p∧q的真假。

問題探究給出p，q兩個命題的真假的四種情況，放給學生探究，適當引導學生去發現問題，進行對比，進行研究。通過探究新命題的真假，體會由具體到抽象的思維方法，抓住概念的本質，進行剖析概念，加深對概念的理解。

3.設計練習，應用概念

數學概念教學的主要目的是讓學生在理解概念的基礎上，運用知識解決數學問題，提高數學能力，全面提高學生素質。所以在練習設計上一定要精、針對性強，便于提高學生的能力。

片段3

教師給出例題，學生利用新知識分析問題、解決問題。

例1 分析下列命題的組成，用“∧”表示出來，并判斷該命題的真假：

（2）菱形的對角線垂直且互相平分；

（3）函數y=sinx是最小正周期為π的偶函數。

從例題中引導學生分析命題并判斷真假，并注意及時總結，進一步鞏固所學知識。

概念應用指的是通過應用概念去認識同類事物，加深對概念的本質理解，這是概念應用與理解同步的過程。正是由于概念應用直接有效的教學效果，使得教師都很注重教學的應用策略，往往通過經典的例題來透析概念的本質內涵，一般可以從辯證的角度入手出題，諸如正反兩方面、學生易錯點、概念難點，這些細節的地方入手，亦可以從概念的關鍵要領入手解決，往往會取得良好的教學效果。筆者在這里就不加例舉了。

三、概念教學中注意的一些問題

人類認識數學概念具有“漸進性”，個體對數學概念的認識要“重演人類的認識過程”，而數學概念的高度抽象性，決定了對它的認識過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個螺旋上升、在已有基礎上再概括的過程。以學生為主體，關注學生認知，從學生認識水平出發，重視學生參與，有利于學生積極學習概念；安排概念的辨析、精致的過程，即要對概念內涵進行“深加工”，對概念要素做具體界定，讓學生在對概念的正例、反例做判斷的過程中，更準確地把握概念的細節；在概念的系統中學習概念，即要通過概念的應用，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時，建立相關概念的聯系，這是一次新的概括過程。[3]

[1][3]章建躍.中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考，2010，（3）.

[2]普通高中課程標準實驗教科書（數學）選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2004：10-13.

（責任編輯：金傳寶）

徐 同 翟士杰/山東師范大學附屬中學數學教師