讓數學概念在適度開放中自然生長

【摘要】數學概念的知識結構是數學概念體系中各知識點間一種比較穩定的聯系形式。在概念教學中，教師要著眼于整體知識結構的建構，把握概念生長的脈絡。根據知識點之間的內在聯系和學生的實際認知水平，在合適的時機進行適度開放，可使學生觸類旁通地理解概念，從而呈現出一個自然生長的狀態。

【關鍵詞】數學概念;知識結構;用字母表示數;開放;生長

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）21-0011-02

【作者簡介】范艷華，江蘇省無錫市錫山區教育局教研室（江蘇無錫，214101），一級教師，無錫市數學學科帶頭人。

一、課前思考：著眼于整體知識結構，把握概念生長的脈絡

“用字母表示數”是學生在代數領域學習的起點。我們應該著眼于這一概念專題的整體知識結構，讓學生能對這一概念專題有一個貫通性的理解。

1.“用字母表示數”中的“數”的內涵理解。

在小學數學教學中，教師常常把用字母表示的“數”分為“特定的數”與“變化的數”，如撲克牌中的字母J、K、A等都表示特定的數，而例題中“擺一個三角形用3根小棒，擺a個三角形用3a根小棒”，這里的a就表示一個變化的數。這樣的教學其實是粗糙的，在學生頭腦中形成的認知也是模糊的。

首先，撲克牌中的字母屬于生活數學，和代數中的字母有一定的區別。其次，如果只說用字母表示變化的數，只說明了其一，這里的“變”與“定”是辯證統一的，隨著自變量的確定，應變量的值也就確定了。另一方面，自變量的“變”也是在一定取值范圍內的變化，并不是廣泛意義上的“變”。

在代數領域，用字母表示的“數”的內涵可以理解為在函數領域的“變量”、不等式領域里在一定范圍內的未知量和方程領域里確定的未知量。

2.“用字母表示數”在中小銜接中的整體貫通。

學習了“用字母表示數”之后，就小學階段而言，將會學習方程的意義以及方程的初步應用，初中階段則會進一步學習方程、不等式、函數等相關知識，這些知識的學習都將以此概念為基礎。

二、課中新探：切準合適的開放點，拓寬概念生長的視野

小學階段對于“用字母表示數”這一概念教學的知識技能目標主要是：讓學生理解并學會用字母表示數，能用含有字母的式子表示數量關系或計算公式;會用數代替字母求出含有字母的式子的值。

除此以外，在這一概念的教學中，還可以在一些適當的點上進行合理的開放，做到滲透、貫通而不越位，讓學生的思維自然而然向更高層次生長?，F以蘇教版五上《用字母表示數》第二課時為例談幾點思考和嘗試。

1.正反求值，開放理解“變量”與“定量”的關系。

對于代入求值，如果僅僅通過代入幾個零散的數，學生對“變”與“定”的關系是沒有深刻的理解的。因此，在教學中涉及代入求值時，可以以此作為一個開放點，讓學生比較深刻地體會“變量”與“定量”的關系。

師：我們已經知道在3+2a這個式子中，a表示增加的三角形的個數，3+2a表示對應的共需小棒的根數，只要確定了a的值，也就知道3+2a的值了。反過來，如果知道了3+2a的值，也就知道a的值了，大家來試著填一填。

上述教學中，通過一組順向思維的代入求值，讓學生深刻地感受到：在3+2a這個式子中，只要a的值確定了，這個式子的值也就隨之確定了;a的取值不同，這個式子的值也就不同，并且3+2a這個式子所反映的數量間的關系總是不變的。反過來，通過逆向思維，已知式子的值求這個字母的值，讓學生進一步強烈地感受其中蘊含的自變量和應變量之間的一一對應關系。同時，在逆向求值的過程中，其實已經蘊含了方程的思想。

2.一式聯想，開放理解數量關系結構。

教學這一概念時，教師往往會讓學生根據所提供的數學信息用含有字母的式子表示相關的數量關系，而對于在不同的數學情境中一個含有字母的式子可以表示符合相同結構的一系列不同的數量關系很少涉及。在教學中，可以作如下嘗試：

教師出示1200-3x，讓學生根據已知信息將問題補充完整，并具體說說這個式子在題目中的含義。

（1）一冷水壺中有1200毫升果汁，已經倒滿了3杯， ？

（2）甲、乙兩地相距1200千米，一列火車從甲地開往乙地， ？

（3）商店運進1200千克西瓜， ？

…………

“1200-3x”在不同的情境中可以表示不同的含義，在同一情境中也可以表示不同的含義。但是在這些不同中始終蘊含著一個相同的本質：數量關系結構是相同的。在這一過程中，學生經歷了“同→不同→同”的思維過程，從而貫通地理解了式子的數學本質。

3.提前滲透，開放理解取值范圍。

對于含有字母的式子的取值范圍，在小學階段，只是讓學生初步了解這里字母的取值是有一定范圍的，對此，學生常常處于似懂非懂的狀態。綜觀知識的生長脈絡，這一知識實際上和不等式有著直接的聯系。因此，與其講得模糊不清，不如在適當的時候用適當的方法滲透，讓學生早一點想通。

根據“一冷水壺中有1200毫升橙汁，已經倒滿了3杯，每杯x毫升，還剩多少毫升？”討論1200-3x的取值范圍。

生1：可以是任意數。

生2：不對，總共只有1200毫升橙汁，如果取任意數的話有可能會超出1200毫升。

師：也就是說式子1200-3x的值在這里一定大于或者等于0，對嗎？

生：對的。

師：那么這時候，x的范圍應該是怎樣的呢？討論一下。

學生通過討論得出：x小于或等于400（根據學生的情況也可以引入“≤”這個數學符號）。

原本一個教師想講又不敢深涉的點，其實對于學生而言并沒有那么深奧難懂，與其遮遮掩掩，不如將其點透。通過這樣一個取值范圍的討論，實際上學生已經自然而然地接觸到了更高的數學思想——不等式的思想。而且學生已經在進行分類討論了，在這里，盡管學生還不知道這就是不等式中的字母取值討論，但是他們已經到達了下一個知識的生長節點。

三、課后悟得：概念教學，沒有不可超越的絕對界限

數學概念的知識結構，是數學概念體系中各知識點間一種比較穩定的聯系形式，不是各部分的簡單組合，受其內在規律的支配。因此，在數學概念教學中，沒有絕對的界限，不能將數學概念的知識點進行人為的絕對分割，而應根據知識的內在聯系和學生的實際認知水平在合適的時機進行適度開放。上述幾個教學片段中，都是在適度開放中將學生的思維延伸到了下一個知識的生長節點，在這樣的學習過程中，學生對概念的理解不再是單向封閉的，而處于一種貫通性理解的狀態。在以后的概念學習中，學生將會進行觸類旁通的聯想與銜接，從而呈現出一個自然生長的狀態。