演繹推理能力 在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的培養(yǎng)策略探析

【摘要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明和計(jì)算能使本來抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系等變得更加清晰、有條理。理性審視演繹推理對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，積極探索演繹推理能力的培養(yǎng)策略，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力、培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的重要途徑。

【關(guān)鍵詞】推理;演繹推理;數(shù)與代數(shù);數(shù)學(xué)思維;培養(yǎng)策略

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）21-0037-03

【作者簡(jiǎn)介】徐紅萍，江蘇省連云港市墟溝中心小學(xué)（江蘇連云港，222000），高級(jí)教師，連云港市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

在2002年召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，各國(guó)專家達(dá)成了共識(shí)：基礎(chǔ)教育中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力尤其是演繹推理能力應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)教育的中心任務(wù)。大會(huì)還提出，各國(guó)早期數(shù)學(xué)教育的課程設(shè)置基本上是將焦點(diǎn)集中在算術(shù)概念、計(jì)算和算法上，進(jìn)入七年級(jí)或八年級(jí)后，突然要求學(xué)生理解并寫出嚴(yán)密的推理過程，缺少一定的“緩沖余地”，學(xué)生普遍感到吃力，產(chǎn)生畏難情緒……時(shí)隔9年，由于演繹推理邏輯性太強(qiáng)，再加上部分教師的思想認(rèn)識(shí)不到位，演繹推理的訓(xùn)練力度并不樂觀，學(xué)生的演繹推理能力普遍缺失，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在課程內(nèi)容中對(duì)“推理能力”作了一定的修改和定位，這勢(shì)必應(yīng)引起我們對(duì)“演繹推理”的思考和重視。

一、意蘊(yùn)解讀：演繹推理的內(nèi)涵詮釋

（一）演繹推理釋義

推理是一種高級(jí)、復(fù)雜的思維活動(dòng)，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的前提推出新結(jié)論的過程。演繹推理是推理方法的一種，是由一般原理推出特殊情況下的結(jié)論?！叭握撟C法”是演繹推理的基本方式，包括：大前提——已知的一般原理;小前提——所研究的特殊情況;結(jié)論——根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出判斷。新課標(biāo)這樣定義“演繹推理”：演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。

（二）演繹推理的特點(diǎn)

1.邏輯性。演繹推理是由一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，所以也稱為邏輯推理。因而邏輯性是演繹推理的顯著特點(diǎn)。

2.實(shí)踐性。兒童的演繹推理能力不是單純地依賴證明或計(jì)算獲得的，而是伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的推進(jìn)同步形成的，應(yīng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過程。

3.發(fā)展性。隨著知識(shí)的不斷豐富，小學(xué)生或多或少積累了一些演繹推理的經(jīng)驗(yàn)和方法，這些經(jīng)驗(yàn)和方法有力促進(jìn)了其邏輯思維能力、抽象思維能力的發(fā)展。

二、價(jià)值追尋：培養(yǎng)演繹推理能力的教學(xué)意義

1.演繹推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程和教學(xué)的重要目標(biāo)。

新課標(biāo)對(duì)“演繹推理”進(jìn)行了明確的定義，并指出：數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力?？梢姡堇[推理能力的培養(yǎng)是新課標(biāo)提出的重要教學(xué)目標(biāo)。

2.演繹推理能力的培養(yǎng)有利于數(shù)學(xué)推理能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的形成。

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證的推理，這是他的專業(yè)也是他那門學(xué)科的特殊標(biāo)志。”彭加勒等數(shù)學(xué)家也認(rèn)為：演繹推理始終應(yīng)是數(shù)學(xué)推理能力的核心，是數(shù)學(xué)推理的根本特性。可見，演繹推理能力的培養(yǎng)有利于數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

3.小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的關(guān)鍵期。

國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者對(duì)演繹推理能力的發(fā)展作了相當(dāng)多的研究，均認(rèn)為演繹推理能力是隨著年齡的發(fā)展而發(fā)展的，并在小學(xué)高年級(jí)呈現(xiàn)加速的趨勢(shì)。這些學(xué)者的實(shí)踐研究都在提示我們：必須抓住小學(xué)這個(gè)關(guān)鍵期來培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。

三、引領(lǐng)滋養(yǎng)：培養(yǎng)演繹推理能力的教學(xué)策略探析

綜觀小學(xué)各冊(cè)教材，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大內(nèi)容領(lǐng)域均為培養(yǎng)學(xué)生的綜合推理能力提供了豐富的素材?！皵?shù)與代數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容領(lǐng)域，自然就成了培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力的主陣地。下面結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例，談?wù)勗凇皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力的策略。

（一）聚焦概念定義，滲透演繹推理能力

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，數(shù)學(xué)定義的理解、概念的判斷、數(shù)的認(rèn)識(shí)等常常需要借助演繹論證來計(jì)算或證明。因此，教師要充分利用這塊主陣地，讓每個(gè)學(xué)生積極參與推理概念的過程，從而滲透演繹推理的思想方法。

1.聚焦概念——論證結(jié)論的科學(xué)性。

小學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的初始階段往往浮于表面。這時(shí)，就需要教師設(shè)計(jì)一連串有助于學(xué)生思考的“問題鏈”，來幫助其強(qiáng)化對(duì)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。教學(xué)蘇教版五下《認(rèn)識(shí)方程》時(shí)，有這樣一道判斷題：x=1是方程。很多學(xué)生都認(rèn)為這句話是錯(cuò)的，不少學(xué)生還振振有詞地找我理論：

生：這里的x=1屬于方程的解，怎么能是方程呢？

師：你再仔細(xì)想想方程的概念。

生：這里的x=1和我們常見的方程x+5=10、2x=200看起來不太一樣。

師：x=1是含有未知數(shù)的等式，它是不是方程呢？

生：哦，應(yīng)該是的。

顯然，受例題的影響，學(xué)生認(rèn)為只有出現(xiàn)形如x+5=10這樣的數(shù)字和字母組成的等式才屬于方程。教師一步步引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了“方程的定義是‘含有未知數(shù)的等式叫方程’→x=1是含有未知數(shù)的等式→獲得結(jié)論作出判斷”這樣的“三段論”推理過程，逐步明晰了方程的特征。

2.鎖定定義——解釋結(jié)論的特殊性。

受思維定勢(shì)的影響，遇到一些特殊的現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，思維定勢(shì)仍然容易干擾學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)理解。這時(shí)，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，對(duì)特定情境下的結(jié)論作出合乎邏輯的解釋。教學(xué)蘇教版三下《認(rèn)識(shí)平年、閏年》一課時(shí)，出現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：小華到13歲時(shí)，只過了3個(gè)生日。你知道她的生日是哪一天嗎？為什么她只過了3個(gè)生日？學(xué)生對(duì)于過生日的生活經(jīng)驗(yàn)就是人到多少周歲就過多少個(gè)生日，一般情況下這種想法是對(duì)的。但如果有人恰逢2月29日這一天出生，則只能每四年才過一次生日。通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“回顧閏年定義→2月29日每四年出現(xiàn)一次→13÷4=3（個(gè)）……1（年）”這樣的層層推理過程，他們自然就能理解這種因閏年引起的特殊現(xiàn)象。

3.回眸數(shù)學(xué)——甄別結(jié)論的合理性。

當(dāng)學(xué)生基本掌握了概念的含義后，為了豐富知識(shí)的外延，教師要善于利用一些具體的生活實(shí)例，來幫助學(xué)生抽取概念的本質(zhì)屬性。如教學(xué)蘇教版六上《認(rèn)識(shí)比》一課時(shí)，學(xué)生把體育競(jìng)賽中的“比”混同于數(shù)學(xué)上的“比”，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生判斷的：兩個(gè)數(shù)的比表示什么→球賽中的比分表示什么→球賽中的比不是數(shù)學(xué)上的比。及時(shí)運(yùn)用演繹推理的思路啟發(fā)學(xué)生思考，巧妙地幫助學(xué)生甄別剛剛認(rèn)識(shí)的“數(shù)學(xué)比”與“生活比”之間本質(zhì)的不同，進(jìn)而完善他們對(duì)數(shù)學(xué)上的“比”的把握。

（二）應(yīng)用數(shù)的運(yùn)算，訓(xùn)練演繹推理能力

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，數(shù)的運(yùn)算遍布小學(xué)的各冊(cè)教材，這些計(jì)算教學(xué)離不開演繹推理的參與。演繹論證是進(jìn)行正確計(jì)算的重要手段，應(yīng)用數(shù)的運(yùn)算能使演繹推理的訓(xùn)練落到實(shí)處。

1.定理導(dǎo)航——應(yīng)用推理來判斷。

現(xiàn)行蘇教版教材通常會(huì)在通過舉例等不完全歸納法探究得出定理、定律之后，安排一些對(duì)比練習(xí)來鞏固、加深學(xué)生對(duì)定理、定義等的理解。這時(shí)，一般都會(huì)運(yùn)用演繹推理的思維方法幫助學(xué)生進(jìn)行判斷。如在教學(xué)蘇教版四下《乘法分配律》一課時(shí)，教材中呈現(xiàn)了一些形如這樣的算式來讓學(xué)生判斷它們的得數(shù)是否相等：（28+16）×7和28×7+16×7，可以這樣組織教學(xué)活動(dòng)：回顧一般規(guī)律（大前提）→觀察實(shí)際算式（小前提）→對(duì)實(shí)際情況作出判斷（獲得結(jié)論）。應(yīng)用演繹推理的論證方法，使學(xué)生在有理有據(jù)的推理過程中領(lǐng)會(huì)從一般運(yùn)算律到特殊算式的判斷方法。

2.法則提煉——應(yīng)用推理來求解。

小學(xué)階段，在具體情境中同時(shí)出現(xiàn)多條已知前提條件的情況下，就需要在逐個(gè)分析的基礎(chǔ)上，溝通多個(gè)已知前提條件之間的聯(lián)系，再根據(jù)共同大前提下提煉出的小前提推理得出最終結(jié)論。例如：一個(gè)兩位數(shù)，同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是（ "）。不少學(xué)生的答案錯(cuò)成了60，這說明單一使用“三段論”推理方法并不能滿足解決問題時(shí)的多方需要，只有幫助學(xué)生綜合應(yīng)用演繹推理方法才能求出最佳答案。

（三）理清數(shù)量關(guān)系，發(fā)展演繹推理能力

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。學(xué)生對(duì)于總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量等簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的判斷比較熟練，但遇到稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)往往會(huì)感到束手無策。演繹推理就可以很好地幫助學(xué)生整理信息、理清數(shù)量關(guān)系。

1.去粗取精——從無序走向有序。

如教學(xué)蘇教版六下《成反比例的量》，需要從變量的角度來認(rèn)識(shí)兩個(gè)量之間的反比例關(guān)系（如圖1）時(shí)，學(xué)生的思考過程就顯得混亂無序了。

學(xué)生普遍出現(xiàn)的問題是：看圖填表的結(jié)果準(zhǔn)確無誤，但回答問題時(shí)抓不住要點(diǎn)，不顧推理的因果關(guān)系。課堂上通過指導(dǎo)學(xué)生緊扣反比例的意義，使他們抓住“三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的乘積都是12”對(duì)第一個(gè)問題進(jìn)行了有理有據(jù)的解釋。可見，學(xué)生的邏輯推理確實(shí)需要學(xué)會(huì)從無序走向有序，這是理解數(shù)量關(guān)系的基本前提。

2.化繁為簡(jiǎn)——從無頭緒走向有頭緒。

面對(duì)稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，如何從看似無緒的條件信息中理清數(shù)量之間的聯(lián)系，對(duì)于學(xué)生來說是比較困難的。所以，把看似無緒的關(guān)系理出頭緒，是解決此類問題的關(guān)鍵。比較三個(gè)間接量的大小時(shí)就有演繹推理思想的滲透。例如：A的 是B，B的 是C，則三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（ ）。題中的兩個(gè)條件貌似分割獨(dú)立，其實(shí)有數(shù)B作為橋梁在支撐著三個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系。根據(jù)A的 是B，得出A>B;根據(jù)B的 是C，得出B>C;最后得出A>B>C。演繹推理的思想是學(xué)生探索等量關(guān)系的重要思維工具，在分析不等式方面也有著重要的作用，找出具有紐帶作用的中間量有助于學(xué)生分析不等式的關(guān)系。

3.去偽存真——從混沌走向清亮。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常常要求學(xué)生根據(jù)所掌握的法則、定義等來解決具體問題，而有時(shí)題目中提供的條件并不能直接和相應(yīng)的概念建立聯(lián)系，這就需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知信息推理出潛在信息，再依據(jù)潛在信息作出正確的推理。如在講解一道判斷題——“一種農(nóng)藥的濃度一定，配置農(nóng)藥的藥和水的千克數(shù)成正比例關(guān)系”時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為根據(jù)濃度的定義不能直接得出農(nóng)藥和水的千克數(shù)成正比例關(guān)系的結(jié)論，而依據(jù)“藥+水=藥水”可以推算出藥和水的千克數(shù)的比值是一定的，所以，“配置農(nóng)藥的藥和水的千克數(shù)成正比例關(guān)系”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題的必要工具”。運(yùn)用演繹推理可以使學(xué)生直接獲得結(jié)論，有時(shí)還需要進(jìn)一步分析得出間接結(jié)論后再作最后的判斷。

數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育。”兒童演繹推理能力的形成和發(fā)展不同于一般知識(shí)與技能的獲得，它是一個(gè)隱性的、緩慢的漸進(jìn)過程，需要師生共同實(shí)踐、運(yùn)用。教師要順應(yīng)兒童思維發(fā)展的需要，關(guān)注其演繹推理意識(shí)和能力的培養(yǎng)，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，有刪改。