數學“童畫”：讓兒童的思維過程看得見

【摘要】數學“童畫”是一種基于兒童的可視化學習方式，其價值指向學習本體、兒童天性和數學思維，具有兒童性、可視性、動態性、結構性等特征。在數學教學中，教師應注意通過“童畫”形式的抽象、示例、解釋、預測、建構等活動，不斷優化學生的學習方式，提高學生的數學思維能力。

【關鍵詞】數學“童畫”;兒童化;可視化;看得見;思維過程

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）41-0031-03

【作者簡介】楊友平，江蘇省宜興市陽羨小學（江蘇宜興，214200）副校長，高級教師，無錫市數學學科帶頭人。

時下，變革學習方式的研究與討論頗熱。究竟什么樣的方式最好？“用感性的方式表達理性”（黑格爾語）是最美的方式。筆者嘗試用數學“童畫”的方式引導學生開展可視化學習，收到了較好的效果。所謂數學“童畫”，就是引導兒童用自己理解和親近的畫圖方式，將數學知識、數量關系、公式規律等直觀地表達出來，并主動進行觀察、比較、猜想、推理、分析、綜合等思維活動。

一、價值指向：從“本生”到“生本”

兒童的學習是一個“自己掌握”的過程。數學“童畫”主張以“生本”為出發點，用兒童的視角審視，用兒童的方式表達，用兒童的心智思考，以真正實現促進兒童自身發展的教育本義。

1.回歸學習本體。真正的學習只能依靠學生自己來完成。傳統的畫圖策略偏重于畫圖規范，體現教師意志。數學“童畫”指向學生本身，注重將知識、資源、方法等圍繞學生去展開，為他們提供自由表達、自我解讀、主動參與觀察、發現、思考活動過程的機會，強調“回到學生，依靠學生，為了學生”。

2.順應兒童天性。兒童生性好問、好玩、好涂鴉，這決定了他們的學習帶有鮮明的感性色彩。數學崇尚理性，但不能排斥感性。因為學習的核心除了“形成知識”，還要生發思想、涵育情感、生長道德，否則將會進入“具有一切知識卻迷了路”的困境。數學“童畫”是可玩的，一個符號、一個簡圖、一種思考均從兒童出發，攜帶著兒童的認識、經驗與獨特想法，盡管不完備，可能很幼稚，卻是兒童思維生發的原點。

3.學會數學地思維。數學“童畫”主張讓兒童嘗試從自己的角度觀察，學著用數學的眼光把握、抽象事物，用圖式的方式表述、搜索、推論、構建和整合，突破線性思維，培養符號意識、創新意識和思維能力。數學“童畫”建立在個體的數學現實基礎上，以可視化的方式（如符號表述、圖式構建、信息搜索、直觀推論、系統整合等）促進學生學會數學地思維。

二、特征把握：從被動“會學”到主動“學會”

數學“童畫”不等同于傳統教學中的教學生畫圖分析問題，也有別于用畫圖法來解決問題，它除了具有一般性、知識性、綜合性的特征之外，還具有兒童性、可視性、動態性、結構性等特征。它的兒童性、可視性便于學生發現知識、規律和關系。它的動態性、結構性有利于學生進行思維導視、問題解決和知識重構。

1.兒童性。數學“童畫”源于兒童本身，必然帶有兒童特有的情趣、認知、想象、經驗等，一個符號、一幅圖畫、一種模型都是一種兒童化的圖式，既契合兒童的視角、思考方式和語言特征，又能反映客觀事物的必要與非必要特征，還滲透著某種數學思想。

2.可視性。“從某種層面上說，讓學習方式看得見，其本質就是讓學生的思維看得見，讓思維可視化。”[1]心理學研究表明：小學生的思維處于以具體形象思維為主導并逐漸向抽象邏輯思維過渡的階段。可見，通過符號、圖畫、圖表、模型、數軸、線段圖等數形結合的數學“童畫”這一“橋梁”，可以幫助學生直觀地理解數學概念和數量關系。

3.動態性。皮亞杰認為：圖式是指動作的結構或組織。作為一種特殊的圖式，數學“童畫”“構成圖式的各個部分即變量有恒定的，也有變化的”，“圖式的加工過程是通過對加工的信息進行擬合、優化、評價而進行的，對某些信息的加工甚至有幾個圖式相互比擬、進行評估，最后才能做出決策”。當圖式形象在具體學習情境中得到兒童化、符號化、模型化的描述，學生能及時梳理舊知與經驗時，教師應引導學生從以靜態知識為特點的形式層面走向以動態思維為特點的發現層面，以促進其進行更積極的思考。

4.結構性。在學生建構知識的過程中，其現有的知識和經驗具有重要的作用。“童畫”特征的圖式可以作為一個模型化的知識“集成”，準確激活舊經驗與新知識之間的聯系，通過調整、改造建立新的知識結構，反映學生立體的數學思維過程與層次，促進新知從外感到內化的有效轉化。

三、學習可視：從學習“發生”到思想“生發”

對要學習的知識進行可視化的表達，可以降低知識的復雜度和難度，實現知識的系統化、結構化。通過數學“童畫”，有助于學生的學習發生內在的變化，使其在知識經驗之上生發思想，激發他們主動、自覺、深度地學習數學。

1.“童畫”抽象，讓特征“抓得準”。

數學學習最重要的不是記住多少知識，而是從現實背景中看到數學知識及其意義，學會用數學的方式去探索和思考。數學“童畫”能夠形象地呈現抽象的內容，為學生提供直觀、生動的數學學習背景，有利于學生表征與理解抽象的概念。因此，為學生提供一個有利于模型生成的指涉問題與現實背景十分必要。例如：教學蘇教版一下《練習六》“認識單數和雙數”時，出示乒乓球、羽毛球單打、雙打背景圖。教師問：單打是什么意思？雙打呢？你能自己畫圖表示出來嗎？學生用小人、圓圈等符號表示并交流：單打就是一方各一個人打比賽，雙打就是一方各兩個人打比賽。在此基礎上，教師出示第六題情景圖介紹：左邊的門牌號2、4、6、8、10等數是雙數，右邊的門牌號1、3、5、7、9等數是單數，它們有什么區別？你能再畫一畫單數和雙數嗎？引導學生觀察圖中單數與雙數的特點，學生發現單數“最后有一個多余”的本質特征。兒童畫出的每一個簡圖都形象地表征了單、雙數的典型特征，為他們理解概念提供了生動的表象。

2.“童畫”示例，讓思路“看得見”。

小學生的學習過程帶有鮮明的直觀性特點，對抽象的語言描述、符號意義、復雜問題等在理解、把握上存在一定的困難。數學“童畫”具有兒童化的直觀示例作用，其抽象出的典型特征可以用特定的示例加以表征，清晰地呈現出指向問題解決的“思維地圖”。例如：教學蘇教版六上《解決問題的策略：假設》，出示練習題：全班42人在公園劃船，租10只船正好坐滿，每只大船坐5人，每只小船坐3人，租的大船、小船各有多少只？問題拋出后，教師見學生沒有具體思路，提醒學生：10只船中到底有幾只大船？可以畫一畫簡圖，試一試。如果全部看成小船，可以坐多少人？還有多少人沒船坐？如果全看成大船呢？在教師啟發下，學生通過畫一畫、算一算、議一議，獨立探索出了多種方法。學生根據圖示發現：“如果全看成小船，則還有42-10×3=12（人）沒船坐。”教師追問：“為什么會有12人沒船坐？”學生答：“把1只大船看成1只小船，會少坐5-3=2（人），因此大船有12÷（5-3）=6（只）。”根據簡圖直觀演示很容易就能計算出大船的只數。還有學生想到“全看成大船”“把5只船看成大船，5只船看成小船”等方法。通過簡圖示例和教師啟發，學生很容易就能找到用假設法解決實際問題的路徑。

3.“童畫”解釋，讓發現“說得通”。

解釋是數學學習的重要方法，依托數學“童畫”的可視性指示對輸入的信息進行解釋，有助于學生把握問題的關鍵，看清知識的來龍去脈，明晰知識的聯系和規律，使問題迎刃而解。例如：教學蘇教版五下《和的奇偶性》，學生通過列舉若干個“兩個數的和”發現：偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數。如果就此結束學習和思考，規律僅僅是符號化的記憶素材，如果放手讓學生自主解釋，就會加深他們對知識的意義構建。因此，教師設計了一個解釋意義環節：如何確認發現規律的一般性和合理性？學生答：“多舉幾個例子。”教師啟發：“除了用列舉法驗證確認，還可以畫圖來解釋，你能試一試嗎？”學生畫出下圖直觀解釋自己理解的和的奇偶性規律。

4.“童畫”預測，讓推論“想得到”。

學習是一種自主、自覺的活動。在數學教學中，應重視培養學生的合情推理和演繹推理能力，鼓勵學生積極參與知識探索、大膽推理與預測，使他們能清晰地表達自己的想法，再造數學知識生長的過程。例如：教學蘇教版三下《長方形和正方形的面積計算》，設計操作環節：（1）預測。在方格紙內（每格1厘米×1厘米）任意圍幾個長方形，統計它們的長、寬、面積各是多少，操作交流后，預測長方形的面積與什么有關，如何求面積。（2）嘗試。用若干個小方塊紙片（1厘米×1厘米）量出一張名片的面積。學生擺一擺后通過簡圖反饋。大部分學生用小方塊擺滿，得到面積3×4=12（平方厘米）;少數學生用小方塊沿長邊與寬邊分別擺一行和一列，也得出面積。這時，引導學生組織第一次思辨：同樣是用擺小正方形的方法求面積，哪種擺法更簡便？為什么？引導學生進行合情推理。（3）簡化。在第一次優化操作的基礎上，呈現小東的照片（5厘米×4厘米），讓學生用小方塊量出它的面積，看誰擺的小方塊最少且速度最快。學生通過操作實物圖，推想出下面三種擺法，比較發現，方法3（用一個小方塊量一量并做記號）所用方塊最少，方法最巧妙，但做記號較慢。（4）優化。簡化操作方案后教師繼續追問，組織第二次思辨：如果一個小方塊也不用，用什么工具可以直接量出長和寬各可擺多少個邊長為1厘米的小方塊？學生頓悟，發現原來可以用厘米尺量出長、寬的厘米數——也就是各能擺小方塊的個數，列出算式4×5=20（平方厘米），回顧預測、觀察討論：長方形的面積與它的長和寬有什么關系？怎樣求長方形的面積？這樣，在學生親身感悟的基礎上，利用直觀圖，引導學生獨立思考并把自己的新發現、新方法和新體會在組內進行討論、交流、思辨，逐步構建起具有自己意義的新認知結構。

（方法1） " （方法2） " （方法3）

5.“童畫”建構，讓關系“理得清”。

根據建構主義理論和圖式理論的觀點，學習是學習者建構自己的知識經驗的過程。在建構知識的過程中，將學生的知識背景和問題情景通過直觀的圖式呈現，能讓學生有意識地從認知結構中提取相關的舊知識經驗，自主參與新知識的同化和順應活動，從而進一步理清數量關系、優化知識結構，提高知識建構的效果。例如：教學蘇教版五上《用字母表示數》，可以引導學生用對兒歌的形式探究用字母表示數：1只兔—4條腿，2只兔—幾條腿？3只、4只、5只呢？你是怎么想到的？引導學生用3×4、4×4、5×4等算式表示兔腿的個數。接著呈現被遮住一部分兔的圖問學生：你能用什么式子來表示共有幾條腿？在簡圖的直觀啟發下，學生想出了“只數×4”“？×4”“○×4”“A×4”等表示形式，更深刻地感知到符號的價值與意義。

數學“童畫”作為一種兒童化、可視化、數學化的學習方式，既能優化教師的“教”，又能激發學生的“學”，有利于培養學生的符號感，使他們自主構建新知識，促進他們數學地思維。

【參考文獻】

[1]成尚榮.讓學習看得見[N].中國教師報，2013-10-23（12）.

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