完善概念意象 理解概念本質

【摘要】青年教師基本功競賽中一道關于“分數”判斷題的答題情況引發了廣泛思考：形式上的不平均分，為什么會對分數概念的形成產生影響？通過科學選取三至六年級部分學生為樣本，采用書面測試和訪談的形式，探究學生對于“平均分”理解上的偏差，并分析產生這種偏差的原因，其中學材的影響是關鍵因素，進而提出防止和糾正這種偏差的策略措施，概念教學需要完善概念意象，才能促進學生掌握概念本質。

【關鍵詞】概念教學;分數;學材;概念意象

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）41-0036-03

【作者簡介】張所濱，江蘇省泰州市教育局教研室（江蘇泰州，225300），高級教師，江蘇省數學特級教師。

一、緣起

一次青年教師基本功競賽中，有這樣一道判斷題：下圖因為不是平均分，所以陰影部分不能用 表示。（ "）

部分參加測試的教師打“√”，理由是圖形沒有平均分，陰影部分不能用分數表示。教師對分數概念的本質尚且存在模糊認識，那么學生的認識情況又如何呢？

帶著這樣的疑問，筆者用同樣的題目，對隨機選擇的一所學校三至六年級各兩個班學生進行了測試，測試結果如下：

從表中數據可以看出，三、四年級學生的正確率較低，五、六年級學生的正確率均超過了50%。

二、追問

這一現象引起了筆者的思考，為什么三、四年級與五、六年級測試的結果差異較大？其核心影響因子是什么？

在訪談時，五、六年級答對的學生陳述了三種理由，第一種，用等分法（如圖1）;第二類，用割補法（如圖2）;第三類，拼接法（如圖3）。

（圖1） " " "（圖2） " " "（圖3）

從這里，我們不難發現，五、六年級學生由于有了多邊形面積的知識基礎，從而想到了如圖2、圖3的方法來解答，而三、四年級學生還沒有這樣的知識基礎，只有少數學生是通過圖1的方法獲得結果。

其實，用分數表示陰影部分，實際上就是用一個數來表示陰影部分與整個圖形面積之間的關系，而與所分圖形的具體形狀無直接關系。

但是，為什么很多學生、甚至教師對分數概念的認識容易受到直觀圖形的影響，而出現認識偏差呢？帶著這樣的思考，筆者對三、四年級學生又進行了一項測試：下面哪些圖形中的涂色部分表示的是 ？

（圖4） " " （圖5） " "（圖6） " "（圖7）

前三個圖形學生的判斷結果高度一致，但對圖形7的意見出現了很大分歧。

師：請認為可以用 表示的同學說說理由。

生：平行四邊形被平均分成了4份。

此時，有學生說這不是平均分。

師：為什么你認為不是平均分？

生：兩個三角形的形狀不一樣。

顯然，這些學生對于形狀不同的兩個三角形是否一樣大不能確定。筆者為了讓學生看得更清楚，指著圖引導學生。

師：平行四邊形被平均分成了幾個小平行四邊形？

生：兩個。

師：左邊平行四邊形被平均分成了幾份？

生：兩份。

師：右邊平行四邊形被平均分成了幾份？

生：兩份。

師：那整個平行四邊形被平均分成了幾份？

生：4份。

師：陰影部分是不是 ？

…………

在剛才的對話過程中，學生的思維清晰地顯示出來，他們認為只有分得的每個部分形狀一樣才能叫平均分。而對于筆者的引導，顯然理解起來有一定的難度。

筆者研究了幾種不同版本的教材，對“認識分數”的內容編排進行了比較，發現每個版本的教材在初次認識分數時，提供的圖形都是平均分成形狀相同、大小相等。同時，教師教學過程中提供給學生的自然也是分成形狀相同、大小相等的圖形，學生經過反復的感官刺激，自然就會產生這樣的認知偏差。

三、重建

基于上述分析，筆者以三年級學生為研究對象，在沒有相關面積知識基礎的情況下，嘗試通過完善概念的意象，引導學生正確認識與理解圖形的平均分，來理解“分數”概念的本質。

首先引導學生折出一張長方形紙的 ，并進行比較（如圖8～圖10）。盡管分法不一樣，但只要平均分成兩份，每份都可以用 來表示，學生對于分數的意義就會有更為深刻的理解。

（圖8） " " （圖9） " "（圖10）

在找到共同點后，筆者再次引導學生比較圖8～圖10中的陰影部分，讓學生發現有什么不同點。經過比較學生發現，在圖8～圖10中，雖然分法不一樣，所得的每一份形狀也不一樣，但都是平均分，因此陰影部分都是長方形紙的 。找共同點是為了更好地抽象概括，找不同點是為了更好地把握概念的本質。

經過這一比較后，筆者請學生對圖7重新作出判斷。經過討論，學生先畫出圖11并這樣解釋，將平行四邊形平均分成兩份，得到兩個小的平行四邊形，再將每個小的平行四邊形平均分成兩份（如圖12），這樣就將整個圖形平均分成了四份，因此，陰影部分可以用 來表示。在圖13中，兩個小的平行四邊形也都平均分成了兩份，只是分法不同，這樣也是將整個圖形平均分成了4份，因此，圖13（即圖7）中陰影部分也可用 來表示。

（圖11） " "（圖12） " "（圖13）

這樣，學生經歷了長方形紙的 、平行四邊形的 的探索過程，豐富了分數概念的意象，在充分感知的基礎上明晰了圖形“平均分”的內涵。

在進一步認識分數時，筆者安排了這樣一道習題：

多數學生這樣表示 ：

有一個學生這樣表示：

盡管該生結合分數概念講出了理由，但還是有部分學生無法理解，認為這不是平均分。

經過仔細研究教材，我們發現這里教材安排的習題與例題有以下的共同點：1.在表示平均分時，總是從左往右或從上往下進行平均分;2.在用分數表示時，總是表示左面的部分或上面的部分，也就是按順序表示。

編者為什么如此編排？這樣編排到底給學生怎樣的心理暗示？造成怎樣的認知影響？

筆者做了個實驗，在做完教材上的習題1后，呈現圖14，讓學生說一說能用分數表示嗎？如果可以，用怎樣的分數來表示？

（圖14）

不出意料，許多學生都認為這不可以用分數來表示，他們認為沒有平均分怎么能用分數表示呢？筆者動畫演示，將右側豎著的三個小正方體旋轉平放在最上面，變成圖15。

（圖15）

學生看到此圖后立刻明白，可以用 來表示，因為將這些小正方體平均分成了兩部分。筆者追問，涂色的個數與未涂色的個數有沒有變化？學生回答，沒有變化。再次追問，為什么現在可以用 表示？有學生回答，現在平均分成了兩份，因為涂色的個數與未涂色的個數相等，各占兩排，也就是平均分成了兩份。進一步追問，既然涂色的與未涂色的沒有變化，并且個數相等，那原題中涂色的小正方體能用 表示嗎？此時，筆者出示這樣一道習題：有12根小棒，你能拿出其中的 嗎？學生回答拿出 的過程與方法：先將12根小棒平均分成2份，取出其中的1份，也就是取出6根。多數學生都經歷了先平均分再取的過程。筆者再次提問，你能直接拿出其中的 嗎？如果不能直接拿出來，可以先分一分再取一取。學生受到啟發，從中取出了4根。筆者進一步追問，可以調換其中的1根嗎？學生回答可以，只要取出4根就可以。筆者最后追問，圖中涂色的部分能用 表示嗎？學生搶答可以，并且說出涂色的與未涂色的盡管位置不是整齊排放，但涂色的個數與未涂色的個數一樣多，也就是平均分成了相等的兩份。經過這樣的教學，讓學生準確理解了平均分，剔除了形式上的干擾，突出了平均分的本質。

在概念教學時，為了有利于學生形成正確的概念，我們應給學生提供較為科學、合理而全面的學材，一方面是指素材內容的齊全，但更重要的是呈現方式的多樣化，唯有這樣才能使概念意象豐盈起來，才能剔除非本質的因素，從而更為準確地理解與掌握所學概念，深刻地把握其本質。