走向促進理解的數學教學

【摘要】在數學學習中，理解是第一位的。理解有其豐富的內涵和不同的層次：工具性理解、關系性理解和創新性理解。數學學習中的理解有其顯性特征：自然的表達、個性的創造、主動的聯結和靈活的應用。理解取決于個人特定情況下的學習過程：在問題情境中理解，在結構聯系中理解，在變式比較中理解，在活動體驗中理解，在應用解釋中理解。

【關鍵詞】促進理解;內涵解讀;顯性特征;策略建構

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）29-0025-03

【作者簡介】仇學春，南京市瑯琊路小學（南京，210024）級部主任，一級教師，南京市數學學科帶頭人，曾獲全國中小學信息技術創新與實踐活動網絡教研團隊競賽特等獎。

在數學學習中，理解是第一位的。數學理解是學生獲得數學對象意義的關鍵。可以說，沒有理解，學生就沒有深刻的思維;沒有理解，數學知識的運用就無從談起;沒有理解，數學教育也就沒有了意義。

一、內涵解讀：走向理解的原點

理解是我們在日常教學中經常使用的詞匯。通常，我們會把“理解”簡單地認為是“聽懂了”或者“會做了”。實際上，數學學習中的理解有其豐富的內涵。

美國心理學家大衛·帕金斯認為，所謂理解，是指個體可以運用信息做事情，而不是他們記得什么。當學生理解事物時，他們可以用自己的話來解釋概念，在新的情境中能夠適當地運用信息，做出具有創新性的比喻及推論。[1]顯然，他對理解的界定源于認知心理學對理解的界定，都是以信息的內部表征作為解釋的基礎。

華東師范大學李士锜教授認為：學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的、有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。[2]

英國數學心理學家R.斯根普認為理解有兩個不同的層次：工具性理解和關系性理解。[3]工具性理解的教學較容易在短期內，以及有限（特別是與最初的學習情境相似）的活動范圍內產生明顯的效果，但不利于學生在全新的情境中應用該知識（即遷移），不利于他們對整個生存環境的理解，也就不利于其長期的發展。只有從工具性理解達到關系性理解的層次，個體才能把握數學對象的本質。關系型理解的標志有以下特征：揭示知識發生的過程，進行邏輯分析，提升為數學思想方法，形成自身的認知結構。關系型理解更深一步會進入創新性理解的層次，所謂創新性理解，就是在認識知識結構本身的基礎上，對已有知識進行提高、推廣和拓展，或對某種操作進行更新和改變。[4]

二、顯性特征：走向理解的支撐點

教師可利用學生的外部表現來判斷學生是否理解了數學知識。學生理解數學知識的重要標志是他們能把語言表達、實際操作和具體運用這三者結合起來，從對數學對象表層的理解上升到對數學對象本質的把握。

哈佛大學也提出了理解的四個維度和它們的特征：（1）知識：轉換過的直覺認識;連貫的、豐富的知識網絡。（2）方法：建設性的質疑;構建領域內的知識;驗證領域內的知識。（3）目標：知道所學知識的用途;運用所學知識;內化知識，并能夠獨自靈活運用。（4）形式：掌握了不同類型的表征方式;有效運用不同類型知識的符號系統;能夠根據不同的對象和情境提示進行思考。教師要捕捉學生學習的外在表現，學會判斷學生是否理解了所學。

基于上述對理解的維度和特征的認識，筆者認為，在數學教學中加強學生對數學知識理解的主要途徑有：加強新舊知識間的聯系，抓變式與比較，抓反思，加強數學知識的系統化，抓靈活運用，培養學生對數學方法的理解，等等。數學學習中的理解需要關注以下顯性特征：

1.自然的表達。

記憶是理解的基礎，而表達是記憶的基本方法。通過學生的表達，教師可以了解學生對知識理解的程度，使得學生對數學知識理解的缺陷得以暴露并得到糾正。對同一知識，每個學生都有不同角度、不同層次的理解，從而自發地產生數學學習的內部需要。

2.個性的創造。

學習不是純粹的模仿或記憶，要通過合理的數學活動為學生提供探索知識的時間和機會，讓學生經歷知識的“再創造”過程。Carpenter、Resnick等人的研究表明，數學理解有助于發明創造。他們認為：豐富的內部知識網絡容易激活、引導和檢驗，這是創造與發明的基礎，而完善的圖式建構依賴于理解。[5]

3.主動的聯結。

理解數學知識既包括認識這個知識的本質屬性，也包括掌握它與其他知識之間的聯系。要對知識形成深刻的、真正的理解，學習者獲得的知識就應該是結構化的、整合性的，而不是零碎的。零散無序的知識會使學生頭腦混亂，就題論題、不講聯系會使學生的理解停留在低層次的水平，數學教學應努力讓學生的認知結構系統化。

4.靈活的應用。

對數學知識的靈活運用既是對是否理解了數學知識的一種檢驗，也是深入理解數學知識的一種方法。因此，這是對數學理解的深層次促進。在解決問題的過程中，特別是解題思路受阻時，要靈活地轉化題目中的條件和結論，以便更深刻地理解題目的含義。這樣，久而久之，學生對知識點的理解就會更加靈活，最終發揮它們的動態效應。

三、策略建構：走向理解的生長點

建構主義學說認為：數學知識不可能以實體的形式存在于個體之外。那么，真正的理解只能由學習者自身基于自己的經驗背景建構起來。理解取決于學生個體特定情況下的學習活動過程，否則就是死記硬背或生吞活剝，是被動的、復制式的學習。可以從以下幾個方面著手來促進學生的數學理解：

1.情境：在問題中理解。

問題情境作為一種以激發學生的問題意識為價值取向的數據材料和背景信息，是從事數學活動的環境，是產生數學行為的條件，推動著學習者不斷進行更加深入的理解。

教學蘇教版五下《圓的認識》，可以創設套圈游戲的情境，讓學生思考：同學們站成一排套圈公平嗎？如果讓你來設計，怎樣玩才公平呢？學生根據自身靈活而多樣的經驗進行多元化的表征，在情境中認識“定點”和“定長”，初步體驗圓是什么。套圈的情境為學生認識圓提供了腳手架，成為推動學生不斷深化理解的深層次力量。

2.聯系：在結構中理解。

本文中的理解，是指在學生頭腦中形成關于該數學知識的內部網絡，使數學知識與已有的認知結構建立起聯系。

教學蘇教版六上《分數乘整數》，學生自主探究 ×3為什么等于 時，可能有以下幾種想法：

（1）畫圖理解：

（2）轉化為分數加法：

×3= + + = =

（3）轉化為整數除法：

×3=3÷10×3=3×3÷10=

（4）轉化為小數：

×3=0.3×3=0.9=

四種方法出來后，學生大多不知道它們之間的內在聯系，這時就需要教師的引導：這些方法有什么相同的地方呢？都是在算什么？引導學生分析不同的方法都是在算3×3，算出來是9個 ，也就是 ，使學生把理解算理和抽象算法融合在一起，把分數、整數、小數有效地聯系起來。

3.變式：在比較中理解。

變式問題的設計一方面可以評判學生對數學知識的本質是否達到了較為深刻的理解，同時也可以在問題解決的過程中深化學生對數學本質的認識。

教學蘇教版五下《真分數和假分數》時，可以設計這樣一個變式練習：

（1）在分數 的（ "）中填上自己的學號，判斷它是什么分數。在數軸上， 大概在什么位置？ 大概在什么位置？你發現了什么？

（2）如果 是假分數，（ "）中最大填幾？如果它是真分數，（ "）中最小填幾？有多少個？

（3）如果 是假分數，（ "）中最大填幾？如果它是真分數，（ "）中最小填幾？

這個練習分了三個層次：第一個層次通過填寫學號，理解什么是真分數和假分數，并且結合數軸理解它們的概念和內涵;第二個層次靈活判斷，理解分子與分母之間的大小關系;最后一個層次進行抽象，理解真分數和假分數的本質特征。

4.活動：在體驗中理解。

數學教學是數學活動的教學，在數學活動中可以充分暴露學生在理解上的不足。在活動中交流體驗，可以促進學生更深入地理解知識。

教學《圓的認識》，探究圓的特征時可以設計這樣一個活動：圓還有什么秘密？讓學生折一折、量一量、比一比、畫一畫、想一想，用不同的方法去發現圓的秘密，并在小組內開展研究，全班分享各自的想法，通過交流帶給學生“我知道得更多”的感受。使學生在交流、交鋒、質疑、補充、總結、提煉等過程中，豐富了對圓的認識，加深了對圓本質特征的理解。

5.應用：在解釋中理解。

數學在現實世界中有著廣泛的應用，教師應引導學生在實際生活中解釋、應用數學知識，以加強他們對數學的理解。

教學蘇教版六上《認識比》時，可以設疑：你們知道芭蕾舞演員跳舞的時候為什么要踮起腳尖嗎？從而引出黃金比，再聯系生活實際，解釋穿高跟鞋跟跳芭蕾舞的道理是一樣的。然后問學生：根據黃金比，你認為老師站在講臺上哪個位置最合適？這樣的拓展，不僅有助于學生理解比的含義和應用價值，還有助于他們感悟數學思想方法。

兒童對數學的理解常常是稚嫩的、不成熟的，但這種理解往往都是合乎常理的、具有個性的。我們要珍視這種最初的、樸素的理解，創造機會鼓勵學生用自己的方式表達他們對數學的理解，給各種基于思考的觀點與想法提供碰撞的機會，使這些方法相互驗證、相互啟迪、相互激蕩，以加深學生對數學的理解，催生學習的真正發生。

【參考文獻】

[1]楊雪梅.為理解而教：多元智能理論追求的教學目標[J].北京教育（普教版），2004（4）：23-26.

[2]李士锜.PME：數學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001：64-87.

[3]馬復.試論數學理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起[J].數學教育學報，2001，10（3）：50-53.

[4]任偉芳等.“工具性理解”“關系性理解”和“創新性理解”[J].數學教育學報，2014，23（4）：69-73.

[5][美]D.A.格勞斯.數學教與學研究手冊[M].陳昌平，譯.上海：上海教育出版社，1999：131-194.

[6]黃海瀅.對2011版課標視域下“數學理解”的理解[J].江蘇教育（小學教學版），2014（6）：30-32.