發(fā)掘?qū)W科教學(xué)價值 追求有深度的數(shù)學(xué)課堂

【摘要】有深度的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)建立在充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)價值的基礎(chǔ)之上。讓學(xué)生在理解中學(xué)會思考，培育理性精神;在探究中獲得發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識;在活動中體悟思想，感受數(shù)學(xué)的魅力;在對話中贏得激勵，保持對數(shù)學(xué)的好奇與熱愛。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂;學(xué)科教學(xué)價值;有深度;理性精神;創(chuàng)新意識

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）29-0074-03

【作者簡介】郭慶松，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室（南京，210013）教研員，高級教師，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)。

作為一門貫穿義務(wù)教育、高中教育乃至高等教育的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)無疑在整個課程體系中占有極其重要的地位。既然如此，“為什么要學(xué)數(shù)學(xué)”就成了我們必須要叩問的問題。一個當(dāng)然的理由：數(shù)學(xué)在社會生產(chǎn)和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，它不僅是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，在人文科學(xué)與社會科學(xué)中也發(fā)揮著越來越大的作用。然而，僅限于此嗎？美國數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)就現(xiàn)代社會對（高中）數(shù)學(xué)知識的使用情況進(jìn)行了概算，結(jié)論是：數(shù)學(xué)家等“生產(chǎn)數(shù)學(xué)”的人占1%，工程師、數(shù)學(xué)教師等使用數(shù)學(xué)的人占29%，而不用數(shù)學(xué)的人占70%。事實(shí)上，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)中諸如“圓錐體積”這樣的知識我們究竟能有多少機(jī)會使用呢？顯然，數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及其基礎(chǔ)性至少還不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全部理由。那么，除此之外，數(shù)學(xué)的教學(xué)價值究竟何在？我們應(yīng)該如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)這些價值呢？對這些問題的深入追問與實(shí)踐探索，將會使我們的數(shù)學(xué)課堂保持足夠的深度。

一、在理解中學(xué)會思考，培育理性精神

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，這句一直被人們奉為經(jīng)典的話至少包含兩層含義：數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物;數(shù)學(xué)也是思維訓(xùn)練的有效載體。作為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)是人們把握事物本質(zhì)屬性的有力工具，數(shù)學(xué)知識的形成經(jīng)歷了高度的抽象與概括、嚴(yán)密的推理與論證過程，這一過程的核心便是思考。這就意味著，當(dāng)我們將數(shù)學(xué)知識作為學(xué)習(xí)者的認(rèn)識對象時，學(xué)習(xí)者必須經(jīng)過豐富的思維活動才能達(dá)成對數(shù)學(xué)知識的理解，學(xué)習(xí)者也正是在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的理解過程中學(xué)會思考。因此，讓學(xué)生在理解中學(xué)會思考應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要價值追求。

這是江蘇省2014年義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測測試卷中的一道題：

下列選項(xiàng)（ ）最接近下圖中鉛筆的長度。

A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm

學(xué)生作答此題的正確率并不理想，問題何在？究其緣由是學(xué)生對測量含義的理解不到位，反思我們的課堂教學(xué)，我們是否對“一端對準(zhǔn)0刻度，另一端所對準(zhǔn)的刻度即是所測量對象的長度”這一具體測量的操作步驟強(qiáng)調(diào)得過分了，從而淡化了學(xué)生對測量本質(zhì)含義的理解？長度的測量，其實(shí)質(zhì)是看被測對象所包含長度單位的數(shù)量。基于這樣的認(rèn)識，我們在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識長度單位1厘米后，不妨設(shè)計(jì)以下幾個環(huán)節(jié)教學(xué)測量：首先，側(cè)重通過“用1厘米去量”的測量活動，讓學(xué)生充分理解“一個物體（或線段）長幾厘米，就是看它包含多少個1厘米”;待學(xué)生感到這樣的測量方式的確不便后，再引入（甚至讓學(xué)生嘗試發(fā)明）由若干個長度單位組成的工具——尺;最后，仍舊基于測量的基本原理，讓學(xué)生自主探索用尺測量長度的方法。

上述關(guān)于測量的教學(xué)告訴我們，即便是貌似簡單的基礎(chǔ)知識或基本技能的教學(xué)，也應(yīng)該建立在理解的基礎(chǔ)之上。當(dāng)我們將學(xué)習(xí)的目標(biāo)定位于理解時，獲得知識的過程便不再是簡單的模仿或機(jī)械的記憶，弄清知識的前因后果、掌握操作的原理依據(jù)的過程必然伴隨著學(xué)生的積極思考。在這一過程中，學(xué)生不僅會賦予所學(xué)知識以豐富的意義，還將逐漸學(xué)會有根有據(jù)地思考問題。因而，從某種意義上來說，這也是學(xué)生理性精神逐漸形成的過程。

二、在探究中獲得發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。”這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“創(chuàng)新意識”表述的起始語句，呼應(yīng)了其在“前言”開始部分的表述：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。”那么，數(shù)學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)新能力方面的獨(dú)特價值究竟表現(xiàn)在何處？我們又該怎樣發(fā)掘出數(shù)學(xué)這方面的價值，并最終將之體現(xiàn)于課堂教學(xué)中呢？在對教學(xué)內(nèi)容做適當(dāng)加工的基礎(chǔ)上，精心組織數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程成為學(xué)生經(jīng)歷探索、獲得發(fā)現(xiàn)的歷程，不失為一條培養(yǎng)創(chuàng)新意識的有效途徑，這也是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所謂的“再創(chuàng)造”。

以蘇教版六下《圓錐的體積》一課的教學(xué)為例，在認(rèn)識圓錐后，可以設(shè)計(jì)以下幾個環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生展開探究活動：

（1）讓學(xué)生基于已有的幾何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自主提出有關(guān)圓錐的研究問題，進(jìn)而篩選出“圓錐的體積如何計(jì)算”作為進(jìn)一步合作探究的問題。

（2）觀察與圓錐體積相關(guān)的因素，并猜想可能的計(jì)算圓錐體積的方法。

（3）設(shè)想并討論研究圓錐體積的實(shí)驗(yàn)方法以及實(shí)驗(yàn)材料的選擇方法。

（4）利用圓錐、圓柱模型以及沙子（或水）等材料開展實(shí)驗(yàn)。

（5）對比實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，做出歸納。

（6）回顧整個研究歷程，并總結(jié)圓錐體積的計(jì)算方法。

事實(shí)上，上述實(shí)驗(yàn)并非嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)推理過程，但對教學(xué)內(nèi)容的合理加工以及教學(xué)過程的精心組織，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個有效的探究、發(fā)現(xiàn)之旅。從自主發(fā)現(xiàn)并提出問題到設(shè)想研究問題的方法、與同學(xué)合作完成實(shí)驗(yàn)，最終利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)歸納、概括出圓錐體積的計(jì)算方法，這一過程幾乎構(gòu)成了一個微型的科學(xué)研究過程，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”的同時，也發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容既要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，又要符合兒童的認(rèn)知規(guī)律。這就決定了小學(xué)數(shù)學(xué)在某種程度上既有科學(xué)的一面，也有日常的一面，甚或有兒童的一面。因此，將數(shù)學(xué)內(nèi)容加工成可體驗(yàn)“再創(chuàng)造”的材料，大致可循三條路徑：其一，沿著數(shù)學(xué)知識的歷史形成過程，將古人的發(fā)現(xiàn)歷程濃縮于課堂之中;其二，遵循數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系，為完善知識結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)展開探究;其三，依據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，借助直觀材料或生活經(jīng)驗(yàn)在樸素的探究活動中體驗(yàn)類比、猜想、歸納、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動過程。對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的合理加工，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)價值的重要途徑，也是數(shù)學(xué)從科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科的具體體現(xiàn)。

三、在活動中體悟思想，感受數(shù)學(xué)的魅力

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中居于核心地位，與具體的數(shù)學(xué)知識是上下位關(guān)系。對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟不僅意味著思維品質(zhì)的提高，也有利于學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。從一定意義上講，思想一旦領(lǐng)悟，即便學(xué)生已經(jīng)遺忘了具體的數(shù)學(xué)知識，在領(lǐng)悟思想過程中所經(jīng)歷過的心靈激蕩和對知識的深刻理解仍將使他們受用終身，這不僅是數(shù)學(xué)思想的價值所在，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力所在。

數(shù)學(xué)思想一般具有內(nèi)隱性的特點(diǎn)，在課堂教學(xué)中必須結(jié)合具體的內(nèi)容，通過豐富的活動讓學(xué)生逐步體悟。以抽象為例，作為最基本的數(shù)學(xué)思想之一，小學(xué)階段眾多數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)都離不開抽象，小學(xué)生也是在建構(gòu)概念的過程中逐步體悟抽象的思想。例如：在一年級首次認(rèn)識長方形、正方形、圓形等圖形時，一方面要讓學(xué)生接觸大量的直觀材料，讓他們經(jīng)歷看圖形、找圖形、摸圖形、說圖形、做圖形、畫圖形等豐富的活動，調(diào)動他們的多種感官，首先獲得圖形的豐富表象，再逐步去除顏色、質(zhì)地等非本質(zhì)特征，抽象出其本質(zhì)的形狀特征;另一方面，通過對圖形變式的感知與辨析，在大小不同、擺放位置不一、比例不一的各式圖形中抽象、概括出它們的共同屬性。在這樣的過程中，抽象發(fā)揮著重要的作用，然而它又如春雨般潤物無聲。

再如：轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中應(yīng)用極為廣泛的思想，因其具有思想的內(nèi)隱性特點(diǎn)，同時會具體表現(xiàn)為相應(yīng)的轉(zhuǎn)化方法與策略，我們可以在小學(xué)高年級時，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識并體會這一思想的價值。例如：在學(xué)習(xí)每一個具體平面圖形的面積計(jì)算方法時，可以讓學(xué)生通過操作、推理等活動深入體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的具體步驟，感受有形的轉(zhuǎn)化方法;在相關(guān)平面圖形的面積計(jì)算方法都學(xué)完后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生對整個小學(xué)階段所學(xué)的這方面的知識進(jìn)行整理，并形成一個良好的知識結(jié)構(gòu)（如下圖），由此讓學(xué)生體悟轉(zhuǎn)化思想的價值與魅力。

四、在對話中贏得激勵，保持對數(shù)學(xué)的好奇與熱愛

數(shù)學(xué)是理性的，但數(shù)學(xué)探索的過程激情四射，充滿著火熱的思考。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程何嘗不是如此呢？學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的參與度、投入度，以及由此獲得的積極情感體驗(yàn)，其重要的根源即是他們對數(shù)學(xué)的好奇與熱愛。然而，現(xiàn)實(shí)卻不容樂觀。相關(guān)調(diào)查研究表明，隨著年級的升高，學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣不斷減弱。更讓人不可思議的是，到了高年級甚至有數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生也不喜愛數(shù)學(xué)。孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”興趣對于學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性是不言而喻的，基于此，我們必須反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，我們在課堂上究竟要為此做出何種改變？

課堂是對話的場域，既有教師與學(xué)生的對話，也有學(xué)生與學(xué)生的對話，更有學(xué)生與數(shù)學(xué)的對話。學(xué)生正是在這些對話中成長，在對話中建立對學(xué)習(xí)的態(tài)度，在對話中形成對數(shù)學(xué)的情感。如何使學(xué)生保持對數(shù)學(xué)的那份好奇與熱愛？最重要的莫過于在這些對話中讓學(xué)生贏得激勵。首先，在師生對話、生生對話中贏得激勵。這些激勵不是簡單的“廉價表揚(yáng)”，而是基于學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)、精彩表達(dá)，乃至面對難題時的那份執(zhí)著與堅(jiān)韌生發(fā)出來的。因此，我們要發(fā)掘數(shù)學(xué)知識在這方面的可能價值。比如：為了讓學(xué)生體驗(yàn)因挑戰(zhàn)而獲得的成功感，我們要找準(zhǔn)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，設(shè)計(jì)合適的問題，讓學(xué)生“跳一跳，才能摘到桃子”;為了讓不同的人都能贏得激勵，針對學(xué)生間的差異，我們要將問題設(shè)計(jì)得更具層次性和開放性。其次，在感受數(shù)學(xué)的價值上贏得激勵。建立在對數(shù)學(xué)知識本身特性認(rèn)知上的情感體驗(yàn)，將會更好地激勵學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。特級教師曹培英在一次訪談中曾談道：“在我看來，數(shù)學(xué)的每一個知識點(diǎn)幾乎都有令人贊嘆、激動的理由。初學(xué)加法——我今天開始學(xué)第一種數(shù)學(xué)計(jì)算了;學(xué)習(xí)減法——我會和加法相反的數(shù)學(xué)計(jì)算了，加進(jìn)來還能減出去;學(xué)了乘法就更了不起了——100個2連加要寫半天，我一秒鐘就寫好了;學(xué)了除法，我是一個小小數(shù)學(xué)家了，加減乘除都會了。”如果學(xué)生在完成相關(guān)學(xué)習(xí)任務(wù)后，能產(chǎn)生這樣的自豪與激動，那他對數(shù)學(xué)的好奇與熱愛將會更為持久且具有深度。

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