在研究中發展數學思考

【教學目標】

1.通過對大問題的自主研究、交流、討論，認識圓的基本特征。

2.在研究、討論、交流的過程中，用多種方法探索半徑、直徑的特點及其之間的關系，體會“半徑能確定圓的大小”，提升學生的思考、交流能力。

3.通過研究數學與生活之間的關聯，發展學生的空間觀念，提升學生的數學思維能力。

【教學過程及意圖】

一、回顧溝通

1.今天我們要繼續認識圓，在這之前，我們已經認識過哪些平面圖形？（PPT出示長方形、正方形、三角形等）

2.我們不僅研究了它們的特征，還研究了它們的大小。就拿長方形來說，要確定一個長方形的大小，至少需要幾個數據？

長方形明明有四條邊，為什么只用兩個數據就能把它的大小確定下來呢？

3.如果要確定正方形的大小，至少需要幾個數據？為什么？

點明：看來，圖形不同，它們的特征也不同，確定它們的大小所需數據的個數也不同。

【通過思考這一連串問題，讓學生在回顧已有平面圖形特征的過程中發現：不同的圖形，由于它們各自的特征不同，確定它們的大小所需數據的個數也不同。進而使學生對確定圓的大小所需數據的個數產生研究的欲望，為這節課的大問題研究活動奠定良好的思維基礎。】

二、探索研究

1.自主研究大問題。

今天我們要研究圓，（PPT出示圓）屏幕上就有一個圓，如果要確定這個圓的大小，你覺得至少需要幾個數據呢？

誰愿意悄悄地告訴老師？

（在學生思考了一段時間后，個別了解想法。）

同意用一個數據就可以確定這個圓的大小的，請舉手。

奇怪，圓這么復雜，為什么只要一個數據就能確定它的大小呢？這個數據到底在哪里？或者說，究竟用哪一個數據就能確定這個圓的大小？

（學生獨立針對研究單上的圓進行研究：畫一畫，量一量，比一比，找到這個數據。）

【通過“如果要確定這個圓的大小，你覺得至少需要幾個數據呢”這樣一個非常有挑戰性的問題，引導學生開展自主研究活動，能充分激活學生的數學直覺、數學思考，在學生獨立研究的過程中，鼓勵學生大膽進行猜想，并嘗試把自己的想法通過畫、量、說等形式表達出來。】

2.小組交流研究結果。

在四人小組里指一指、說一說，你用哪一個數據就能確定這個圓的大小？為什么？

（小組研究，相機追問。）

3.全班交流研討。

（1）認識半徑

A.你找到了一條線段，是嗎？介紹一下是從哪里到哪里的一條線段？

（結合學生的發言介紹：圓的中心稱為“圓心”，通常用字母o表示。圓邊上的一點稱為“圓上一點”，并在學生的研究單上注明“圓上”。）

B.還有誰也找到了這樣一條線段？你們畫出的線段都一樣嗎？

這說明，像這樣從圓心出發，到圓上任意一點的線段，在這個圓里有多少條？

請你再指幾條……能指得完嗎？

看來，這樣的線段真的有無數條，這就不對了啊，既然這樣的線段有無數條，為什么只用這一條的長度就能刻畫這個圓的大小呢？

C.它們真的都相等嗎？帶著這個問題，四人小組再深入研究一下，看看能不能有不同的思考和發現。

（學生的思路：測量、畫圓時圓規兩腳的距離不變、圓心的含義等。）

由此看來，這樣的線段雖然有無數條，但它們的長度都相等，所以，只要用幾條線段的長度就能刻畫這個圓的大小了？

D.因此，我們把同一個圓里，像這樣連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑，通常用字母r表示。

（2）認識直徑

A.除了半徑，你知道在這個圓里還有什么線段也能刻畫這個圓的大小嗎？

怎樣的線段是直徑呢？你能想辦法畫出一條直徑嗎？

（學生獨立畫，教師收集、展示三種不同的畫法）有直徑嗎？在哪里？用手比劃一下。

那什么樣的線段就是直徑呢？同桌兩個人試著用自己的語言說一說。

（結合半徑、直徑的含義，PPT動態出示概念和圖像。）

B.在你的圓中，用字母o、r和d分別表示出圓心、半徑和直徑。

C.半徑有無數條，而且都相等，那直徑呢？它為什么也有無數條？它們真的都相等嗎？四人小組再好好研究一下。

（學生的思路：測量、由半徑的特征驗證、圓的軸對稱性等。）

（當學生揭示圓是一個軸對稱圖形且對稱軸有無數條時，PPT出示三條不同的對稱軸，讓學生找出對應的直徑，理解對稱軸與直徑的關系，體會直徑有無數條。）

D.剛才，我們不僅研究了直徑的特征，還談到了直徑和半徑之間的關系，你能用一個含有字母的式子來表示出它們的關系嗎？（d=2r或r=）

小結：通過剛才的研究，我們發現在同一個圓里，直徑和半徑有怎樣的特點？

正因為如此，早在兩千多年前，墨子就得出了這樣一個結論（PPT出示）：圓，一中同長也。想一想，“一中”指的是什么？“同長”呢？

說得真好！“一中同長”就是說：圓雖然復雜，但只要幾個數據就能確定它的大小？

【緊扣“用哪一個數據就能確定這個圓的大小”這樣一個大問題，引導學生進行操作、驗證、討論、交流，在師生、生生的對話、辨析、闡釋中，學生不僅能通過自己的研究發現“原來確定一個圓的大小，只要一個數據就夠了”，也對有關圓的概念、特征、關系有了充分的把握。更為重要的是，讓學生經歷和體會認識事物的一般過程和方法，即從定性角度進行描述和從定量角度進行刻畫，從而使這一板塊的研究活動始終服務于對圓的特征的探索，對圓“一中同長”特性的體會，對認識事物一般方法的感受。】

三、畫圖應用

1.結合失敗作品掌握畫圓的方法。

研究完了圓，你會畫圓嗎？瞧，（展示兩幅失敗的作品）猜猜問題可能出在哪兒。

看來畫圓也得有一些基本的方法，誰能給我們談談自己的經驗？

（總結：手握柄，針固定，兩腳距離不能變，輕轉一圈畫出圓。）

2.結合數據猜一猜。

畫之前先猜一猜，（PPT出示：①號圓半徑4厘米，②號圓直徑6厘米，③號圓半徑5厘米）哪個圓最大？哪個最小？

怎么數據最大畫出的圓反而最小呢？（鼓勵學生用不同的方法進行思考）

3.畫圓。

請在作業紙上畫出這三個圓，比一比，看誰畫得又準確又快速。（指導學生標出圓心、半徑和直徑）

收集、展示學生的作品：

A.一起來看這一幅作品（分散的三個圓）你覺得他畫得準確嗎？誰有辦法上來驗證一下？（請一位學生驗證，明確驗證方法）

B.這里還收到一幅非常特別的作品，（出示同心圓）猜猜看，在畫最大的圓時，他的圓規兩腳張開了多少厘米？中間的圓呢？最小的這個呢？

看來，半徑是多少，圓規的兩腳就應該張開多大，這樣才能準確地畫出一個指定大小的圓。

【從反思失敗的畫圓作品，到概括地提煉正確的畫圓方法，再到依據異質數據猜測畫圓的結果，最終用自己的方式畫出合適的圓，在這樣一個更為綜合、序列化的畫圓活動中，不僅能更好地提升學生畫圓的技能，發展學生的數學思維能力，還能再次印證學生之前的研究成果：只用一個數據就能確定圓的大小。】

四、圖案聯想

1.同心圓聯想。

再繼續看這幅圖，它不僅畫得漂亮，還能讓我們聯想到生活中的什么？

（學生想到靶子、水波、雷達波、光環等靜態或動態的畫面。）

瞧，抽象的數學圖案，還能讓我們聯想到如此豐富的生活畫面，孩子們，你們太有想象力了！

2.研究中的圓聯想。

剛才研究圓時有同學畫出了這幅圖

（如右圖），看著這幅圖，你能想到生活中

的什么？

如果說這是自行車車輪，車軸在哪里？為什么要把車軸裝在圓心上呢？裝在別的地方行不行？比如裝在這里呢？（出示偏移圓心后的圖）誰能模擬一下，騎著這樣的自行車在教室里轉一圈？

在笑聲中，我們也應該能感覺到，生活中的有些物品之所以要設計成圓，原來背后還有著深刻的數學原理啊！

【生活中有很多圓，借助第一板塊學生研究圓、畫圓時的兩幅作品，引導學生將抽象的圓和生活中的圓建立起聯系。這種“根據抽象的幾何圖形想象出所描述的實際物體”的要求，要比“根據具體的物體抽象出幾何圖形”有難度，但可以很好地提升學生的空間想象能力。同時，還能讓學生進一步體會到：生活中有很多物品都設計成了圓形，這樣的設計背后蘊藏著豐富的數學原理。】

五、數據猜測

老師也在生活中找了一些圓，想看看嗎？是直接公布呢，還是挑戰一下，根據一些線索來猜一猜？

1.猜半徑為15厘米的圓。

先在你的直尺上找一找15厘米的長度，猜猜看，一個半徑為15厘米的圓可能是什么？

（學生想到臉盆、小車輪、電風扇的面、鐘面等。）

（PPT出示鐘面）你在這個鐘面上找到半徑為15厘米的圓了嗎？指一指。

你還能找到其他的圓嗎？

A.找出數字里的圓、表示分的點構成的圓、鐘面中心的圓等完整的圓。

B.比劃出由60個小點構成的不完整的圓。

如果這些點再畫得滿一些，再滿一些，就成了一個圓，的確，圓在本質上就是點運動的軌跡。

C.說出或畫出三針運動后針尖畫出的圓。

秒針的針尖轉一圈能有圓嗎？分針呢？時針呢？

這三個圓哪個最大？哪個最小？為什么？

這再次說明，什么能決定圓的大小？

那什么能決定圓的位置呢？

2.猜直徑為135米的圓。

第二個圓，它的直徑達到了135米，1米有這么長，（比劃1米的長度）直徑為135米的圓會是什么呢？

（學生猜到建筑中的圓、湖泊、摩天輪等。）

（PPT出示倫敦眼）這是我和我兒子一起去倫敦乘坐倫敦眼時拍下的照片。當時，我兒子還問了我一個問題：如果我們坐在相隔最遠的兩個位置上，該怎么辦呢？比如我坐在這里，那我兒子應該坐在哪兒？

是這兒嗎？這兒？（指幾個錯誤的位置）

到底在哪里？

其實我們倆的位置如果連起來一定是什么？

這樣看來，在同一個圓里，怎樣的線段最長？

3.全課總結。

即使是一個普通的生活常識，也蘊藏著深刻的數學原理。在生活中，只要我們多留心、多觀察，相信我們對圓的認識還會不斷深入下去。

【通過兩個抽象的數據，引導學生對數學和生活之間的關聯進行充分的研究。讓學生通過一個數據思考“可能是生活中的什么”，不僅需要學生充分調動自己剛剛獲得的對半徑、直徑的準確認知，還要求學生對相關長度有正確的把握，能靈活地根據需要對半徑、直徑進行轉換，并不斷在形象和抽象間、在生活經驗和抽象數據間進行甄選，才能找到適配的答案。而在學生尋找到這些答案后，找出所有的圓的過程，找到兩個相距最遠位置的活動，則會有效地提升學生的數學想象和思考能力。】

（作者單位：南京市北京東路小學）