幾何直觀：尋找解決問題的“天平”

【關鍵詞】幾何直觀;解決問題;天平模型;解決問題的策略;假設

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）33-0059-03

【教材編排】

《解決問題的策略：假設》是蘇教版教材六年級上冊的內容。教材安排了兩道例題，例1是“倍數關系”的假設：小明把960毫升果汁倒入6個小杯和2個大杯，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的■，小杯和大杯的容量各是多少毫升？例2是“相差關系”的假設：在2個同樣的大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是100個。每個大盒比每個小盒多裝8個，每個大盒和小盒各裝多少個？

【課前思考】

自從使用新課標教材以來，這節課得到了很多教師的精彩演繹，所形成的“策略”教學似乎已成經典，很難超越。但聽完課后，始終有幾個問題困擾著我：

1.學生比較容易解決“倍數關系”的假設問題，為什么解決“相差關系”的假設問題時，不少學生會一籌莫展？困難在哪里？

2.本節課，學生掌握“假設”的策略，感悟“假設”的思想就夠了嗎？解決問題的關鍵在哪里？還有哪些數學的意義和價值？

【學情分析】

課前，在學生沒有任何準備的情況下，我就上述兩道例題對學生進行了前測。結果，例1的準確率達到了61.9%，例2的準確率僅為19.0%。其實，對于“把兩種不同的量假設或轉化成同一種量”，學生在前面的學習中已經積累了一定的經驗，如異分母分數加減、名數的化聚等。

事實上，解決問題的核心是找到數量間的相等關系，“假設”策略是為找到新的等量關系服務的。因此，如何引導學生尋找假設后的等量關系就成了“解決問題的策略”教學的關鍵。

【設計意圖】

數學是研究“數”與“形”的科學。現代腦科學研究表明，人的大腦對幾何空間有一種認識的本能，對空間的感知能力最強，對“形”最為敏感和深刻。本課中，作為“數”的等量關系對于小學生來說是比較抽象的，那么，能否找到一個合適的“形”來促進學生的理解和應用呢？

我們知道，學習方程時，學生是通過天平來認識和理解等式的，天平是建立方程這個模型的模型。那么，天平能否成為建立解決問題中“等量關系”這個模型的模型呢？事實上，數量間的相等關系是一種數學模型，是解決問題的關鍵。因此，利用幾何直觀引導學生找到數量間的相等關系這個天平模型，成為我重構這節課的主要思考點。另外，從人的發展來看，把握人生的天平對學生今后的人生發展至關重要。這樣的教學，不僅能夠突破難點，促進學生理解數學，對學生認識自然、認識自我也具有一定的教育意義。

因此，我把例1、例2進行了改編和整合，采用“梨和蘋果的重量”這一相同主題的素材，既便于天平這個模型的介入，也有利于學生進行知識的對比，促進學生認知結構的形成。

【教學過程】

環節一：感悟天平，體驗簡單的數量關系

師：能看懂這張圖嗎？這里的天平表示什么意思？

生：4個蘋果一共重600克。

師（板書：4個蘋果的重量=600克）：有了這個數量間的相等關系，求1個蘋果的重量就可以直接用——（用總重量除以蘋果的個數）

這一環節的教學，旨在引導學生理解當題目中只有一種量并且建立相等的數量關系時，就可以直接解決問題，為后面理解“為什么要假設”設置認知沖突，激活學生的已有經驗。之所以用天平而不是文字敘述的形式來呈現，是因為這樣做更能凸顯“等量關系”這個解決問題的關鍵，即用天平的平衡性表示數量間的相等關系，利用幾何直觀促進學生的理解和掌握。

環節二：理解天平，體驗變化的數量關系

師：能看懂這張圖嗎？這里的天平又是什么意思呢？

生：1個梨和2個蘋果一共重600克。

師：要求1個蘋果和1個梨的重量，能用600÷3嗎？

生：不能。

師：為什么天平兩邊相等，卻不能除以3呢？

生：因為梨和蘋果的重量不一樣。

（板書：不同的量。）

生：如果都是蘋果或者都是梨就好了。

師：不改變題目的意思，你有什么辦法能變成都是蘋果或者都是梨嗎？

生：可以補充一個條件。

師：說說看，可以補充怎樣的條件？

生1：一個梨的重量是蘋果的2倍。（倍數關系）

生2：一個梨比一個蘋果重150克。（相差關系）

…………

師：你能找到每一種假設背后的“天平”嗎？

生1：4個蘋果的重量是600克。

生2：2個梨的重量是600克。

…………

“為什么要假設”是形成策略的前提。只有讓學生感受到“為什么要假設”，才能讓他們體會到解決這類問題的起點，即掌握這類問題的背景和特征。從學生已有的知識經驗分析，學生很難主動根據其中的數量關系進行合理的假設。這時，教師通過相同情境的變換，激發學生的認知沖突，喚醒學生潛在的假設經驗，使他們產生“如果都是蘋果或者都是梨就好了”的心理趨向。同時，觸及知識的本源——把不同物體假設成同一物體。

“怎樣假設”是形成策略的重點。上述環節中，我引導學生開展觀察、比較、操作、討論等探求解決問題的方法的活動。在學生自主探索的基礎上引導他們交流：你是怎樣假設的？為什么要這樣假設？同時倡導解決問題的策略的多樣化。通過比較，得出兩種思路的共同之處是將“兩種不同的水果”假設為“同一種水果”。

“找到假設后的等量關系”是解決問題的關鍵。從前測的情況看，學生自己也能解決問題。但解決問題不等于體會到了數學的實質，所以，本環節重點要讓學生理解解決問題的關鍵是找到假設后的等量關系。教學中，我始終利用天平這個模型引導學生理解：雖然水果的數量變了，但天平的平衡沒有改變，因此可以找到這個等量關系來解決，使學生體會到問題解決的實質。

環節三：應用天平，體驗復雜的數量關系

師：如果現在老師給你一個“相差關系”的條件——一個梨比一個蘋果重150克，這個問題還能用假設策略來解決嗎？為什么？

生：可以用假設的策略，因為題目中有兩種量，而且有一定的關系可以假設。

師：怎樣假設？自己先獨立思考，然后在四人小組里討論交流。

（小組討論后全班交流。）

生：可以把梨假設為蘋果。

師：想象一下，如果把一個梨換成一個蘋果，天平會怎么樣？真的是這樣嗎？

（課件動態演示天平由平衡變不平衡的過程。）

師：請大家仔細觀察，你發現了什么？為什么左邊一端高上去了？

生：因為把左邊的梨換成蘋果后，重量少了150克。

師：現在變成一種水果了，能用600除以3嗎？為什么？

生：不能，因為天平兩邊不平衡，也就是說兩邊的數量不相等。

師：看來問題的關鍵是找到等量關系，也就是使天平——

生：要讓天平重新平衡，才能直接除以3，求出1個蘋果的重量。

師：怎樣使天平重新平衡呢？

生：可以在右邊減去150。

師：為什么？

生：因為把左邊的梨換成蘋果后，重量少了150克。要保證天平平衡，右邊應該也要減去150克。

（課件動態演示天平由不平衡變平衡的過程。）

師：減去之后，它們的等量關系是——

生：3個蘋果的重量=600-150（克）。

…………

生2：還可以把蘋果換成梨。

（課件動態演示天平由平衡變不平衡的過程。）

師：怎樣讓天平再次平衡？為什么？

生：因為把蘋果換成梨，左邊重了150×2克，要保持天平平衡，右邊也要加上150×2克。

（課件動態演示天平由不平衡變平衡的過程。）

師：加上之后，它們的等量關系是——

生：3個梨的重量=600+150×2（克）。

解決相差關系的假設問題，是本課教學的難點所在，原因有兩個方面：一是假設后的總量變了，原有的等量關系不成立，需要找到新的等量關系;二是假設后數量關系變得更加復雜了，加上數量關系本身的抽象性，學生對數量的變化較難把握，難以找到新的等量關系。要突破這個難點，需要強化“天平”這個模型，利用假設后天平不平衡了，需要找到新的平衡（等量關系）才能解決問題。同時，利用課件動態呈現天平由“平衡→不平衡→新的平衡”的過程，可以加深學生對“等量關系”以及“如何找到新的等量關系”的體驗，引導學生直觀地理解兩邊數量的變化，從而根據天平的平衡原理找到新的等量關系。

環節四：比較天平，體驗相等的數量關系

師：比較例1和例2，有什么相同的地方？

生1：題目中都有兩種不同的量，而且這兩個量之間存在一定的關系，這樣的問題適合用假設的策略把兩種不同的量轉化為同一種量來解決。

生2：假設后都要找到數量間的相等關系，也就是找到天平，才能解決問題。

師：例1和例2都是假設，它們有什么不同的地方？

生：例1是水果的數量變了，總量沒有變化;例2是水果的數量沒變，但總量變了。

…………

師：同學們觀察得真仔細！但是同學們，我們學習數學，還要透過這些現象看本質。不管怎樣假設，不管總量變與不變，要解決問題，我們都需要找到什么？

生：要找到平衡的天平，就是假設后數量間的相等關系。

師：對，這是解決數學問題的關鍵。我們看，假設要利用數量間的關系，假設后又要找到新的數量間的相等關系，數學就是研究關系的學科。數學就是這么奇妙，在變與不變中存在著內在的聯系。

如果僅僅從解題的角度，這一環節并不重要，甚至可以不要。但數學學習不僅要獲得知識和技能，更重要的是體驗數學思想，而要體驗思想，比較、歸納和反思就顯得尤為重要。上述環節，我便是在引導學生從“變”與“不變”中體會數學的假設和守恒思想，感受數學之美，從而使他們理解了“數學是研究數量關系與空間形式的科學”這一學科特質。

“天平”這個模型在學生頭腦中留下了深刻的印象，他們也積累了不少相應的活動經驗，這種經驗對他們今后解決類似的問題具有積極的作用。可以預見的是，以后遇到相似的場景，他們頭腦中的“天平”就會很容易被激活、喚起并提取出來，進而尋求題目中數量間的相等關系來解決問題。

（作者單位：江蘇省常熟市實驗小學）